Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Número Primo como Soma de Números Quadrado e Número Primo - 613

Pierre de Fermat, jurista e entusiasta matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números primos da forma 4x + 1 podem ser escritos como a soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como a soma de 2 quadrados.[1]

Entre os números da forma 4x + 1 se encontram tanto números primos quanto números compostos.

Os números primos da forma 4x + 1 são escritos unicamente como dupla de soma de 2 quadrados, enquanto números compostos gerados de números primos da forma 4x + 1 são escritos com mais de uma dupla de soma de 2 quadrados.

O presente estudo demonstram que:

a) números primos da forma 4x + 1 escritos como soma de quadrado(s) e número primo(s), o(s) número primo(s) da soma é(são) também da forma 4x + 1;

b) números primos da forma 4x + 3 escritos como soma de quadrado(s) e número(s) primo(s), o(s) número(s) primo(s) é(são) também da forma 4x + 3.

Todo número natural subtraído dele próprio tem como diferença o número 0 (zero).

O número 0 (zero) é um número quadrado perfeito.

Todo número natural somado com 0 (zero) têm como resultado esse número natural.

Números Primos da forma 4x + 1

Nos exemplos a seguir, números quadrados perfeitos foram subtraídos sequencialmente de números primos da forma 4x +1.

Nas diferenças há quadrados perfeitos e números primos da forma 4x + 1.

Número primo 5

Número primo 5 escrito como soma de 2 quadrados.

1 + 4 = 5

Número primo 5 escrito como soma de quadrado e primo.

0 + 5 = 5

A parcela 5 é um número primo da forma 4x + 1.

Número primo 13

Número primo 13 escrito como soma de 2 quadrados.

4 + 9 = 13

Número primo 13 escrito como soma de quadrado e primo.

0 + 13 = 13

A parcela 13 é um número primo da forma 4x + 1.

Número primo 17

Número primo 17 escrito como soma de 2 quadrados

1 + 16 = 17

Número primo 17 escrito como somas de quadrados e primos.

0 + 17 = 17

4 + 13 = 17

As parcelas 13 e 17 são números primos da forma 4x + 1.

Número primo 29

Número primo 29 escrito como soma de 2 quadrados.

4 + 25 = 29

Número primo 29 escrito como somas de quadrados e primos.

0 + 29 = 29

16 + 13 = 29

As parcelas 13 e 29 são números primos da forma 4x + 1.

Número primo 37

Número primo 37 escrito como soma de 2 quadrados.

1 + 36 = 37

Número primo 37 escrito como soma de quadrado e primo.

0 + 37 = 37

A parcela 37 é um número primo da forma 4x + 1.

Número primo 41

Número primo 41 escrito como soma de 2 quadrados.

16 + 25 = 41

Número primo 41 escrito como somas de quadrados e primos.

0 + 41 = 41

4 + 37 = 41

36 + 5 = 41

As parcelas 5, 37 e 41 são números primos da forma 4x + 1.

Número primo 53

Número primo 53 escrito como soma de 2 quadrados

4 + 49 = 53

Número primo 53 escrito como somas de quadrados e primos.

0 + 53 = 53

16 + 37 = 53

36 + 17 = 53

As parcelas 17, 37 e 53 são números primos da forma 4x +1.

Número primo 61

Número primo 61 escrito como soma de 2 quadrados.

25 + 36 = 61

Número primo 61 escrito como soma de quadrado e primo.

0 + 61 = 61

A parcela 61 é um número primo da forma 4x +1.

Números Compostos da forma 4x + 1

Números compostos da forma 4x + 1 são números que são produtos de números primos da forma 4x + 1.

Diferentemente de números primos da forma 4x + 1, os números compostos têm mais de uma dupla de soma de 2 quadrados.

Número composto 65

65 é o primeiro número composto da forma 4x + 1 cujos fatores são 5 e 13, números primos da forma 4x + 1.

5 x 13 = 65

Número composto 65 escrito como soma de 2 quadrados.

1 + 64 = 65

16 + 49 = 65

Número composto 65 escrito como somas de quadrados e primos.

4 + 61 = 65

36 + 29 = 65

As parcelas 29 e 61 são números primos da forma 4x +1.

Número composto 377

377 é produto dos números 13 e 29, números primos da forma 4x + 1.

13 x 29 = 377

Número composto 377 escrito como soma de 2 quadrados.

16 + 361 = 377

121 + 256 = 377

Número composto 377 escrito como somas de quadrados e primos.

4 + 373 = 377

64 + 313 = 377

100 + 277 = 377

144 + 233 = 377

196 + 181 = 377

324 + 53 = 377

As parcelas 53, 181, 233, 277, 313, 373 são números primos da forma 4x +1.

Números Compostos da forma 4x + 1 (não escritos)

Números compostos da forma 4x + 1 que não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.

Número composto 21

O número composto 21 é da forma 4x + 1, mas não pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

4 x 5 + 1 = 21

21 é um número semiprimo produto dos primos 3 e 7.

3 x 7 = 21

3 e 7 são números primos da forma 4x + 3.

Número composto 21 escrito como somas de quadrados e primos.

4 + 17 = 21

16 + 5 = 21

As parcelas 5 e 17 são números primos da forma 4x +1.

Número composto 33

O número composto 33 é da forma 4x + 1, mas não pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

4 x 8 + 1 = 33

33 é um número semiprimo produto dos primos 3 e 11.

3 x 11 = 33

3 e 11 são números primos da forma 4x + 3.

Número composto 33 escrito como somas de quadrados e primos.

4 + 29 = 21

16 + 17 = 21

As parcelas 17 e 29 são números primos da forma 4x +1.

Números Quadrados Perfeitos da forma 4x + 1

Número quadrado perfeito 9

O número quadrado perfeito 9 é da forma 4x + 1 e pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

0 + 9 = 9

O número quadrado perfeito 9 escrito como soma de quadrado e primo.

4 + 5 = 9

A parcela 5 é um número primo da forma 4x +1.

Interessante observar que:

a) a raiz quadrada de 9 é 3;

b) 3 é um número da forma 4x + 3;

c) 9 pode ser escrito com soma de quadrado e primo;

d) a parcela 5 é 1 unidade menor que 6;

e) 6 é o dobro da raiz quadrada 3.

Outros quadrados perfeitos que podem ser escritos como soma de quadrado e primo: 49, 81, 225, 361, 441, 729, 961.

f) √49 = 7

36 + 13 = 49

13 é 1 unidade menor que 14 (dobro de 7)

g) √81 = 9

64 + 17 = 81

17 é 1 unidade menor que 18 (dobro de 9)

h) √225 = 15

196 + 29 = 81

29 é 1 unidade menor que 30 (dobro de 15)

i) √361 = 19

324 + 37 = 361

37 é 1 unidade menor que 38 (dobro de 19)

j) √441 = 21

400 + 41 = 441

41 é 1 unidade menor que 42 (dobro de 21)

k) √729 = 27

676 + 53 = 729

53 é 1 unidade menor que 54 (dobro de 27)

l) √961 = 31

900 + 61 = 961

61 é 1 unidade menor que 62 (dobro de 31)

Número quadrado perfeito 25

O número quadrado perfeito 25 é da forma 4x + 1 e pode ser escrito como somas de 2 quadrados.

0 + 25 = 25

9 + 16 = 25

O número quadrado perfeito 25 não pode serescrito como soma de quadrado e primo.

Interessante observar que:

a) a raiz quadrada de 25 é 5;

b) 5 é um número da forma 4x + 1;

c) 25 não pode ser escrito com soma de quadrado e primo.

Outros quadrados perfeitos que não podem ser escritos como soma de quadrado e primo: 121, 169, 289, 529, 625, 841.

Números Primos da forma 4x + 3

Nos exemplos a seguir, números quadrados perfeitos foram subtraídos sequencialmente de números primos da forma 4x + 3.

Nas diferenças há números primos da forma 4x + 3.

Número primo 7

Número primo 7 não pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

Número primo 7 escrito como somas de quadrados e primos.

0 + 7 = 7

4 + 3 = 7

As parcelas 3 e 7 são números primos da forma 4x + 3.

Número primo 11

Número primo 11 não pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

Número primo 11 escrito como somas de quadrados e primos.

0 + 11 = 11

4 + 7 = 11

9 + 2 = 11

As parcelas 7 e 11 são números primos da forma 4x + 3.

Número primo 19

Número primo 19 não pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

Número primo 19 escrito como somas de quadrados e primos.

0 + 19 = 19

16 + 3 = 19

As parcelas 3 e 19 são números primos da forma 4x + 3.

Número primo 23

Número primo 23 não pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

Número primo 23 escrito como somas de quadrados e primos.

0 + 23 = 19

4 + 19 = 23

16 + 7 = 23

As parcelas 7, 19 e 23 são números primos da forma 4x + 3.

Número primo 31

Número primo 31 não pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

Número primo 31 escrito como soma de quadrado e primo.

0 + 31 = 31

A parcela 31 é um número primo da forma 4x + 3.

Número primo 43

Número primo 43 não pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

Número primo 43 escrito como somas de quadrados e primos.

0 + 43 = 43

36 + 7 = 43

As parcelas 7 e 43 são números primos da forma 4x + 3.

Número primo 47

Número primo 47 não pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

Número primo 47 escrito como somas de quadrados e primos.

0 + 47 = 47

4 + 43 = 47

16 + 31 = 47

36 + 11 = 47

As parcelas 11, 31, 43 e 47 são números primos da forma 4x + 3.

Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - outubro/2025

Fontes Bibliográficas:

[1]NETO, Angelo Papa. Soma de 2 quadrados. IFCE

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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