Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Algoritmo da Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos - 590

O triângulo retângulo escaleno de lados 3-4-5 é um triângulo muito especial e importante, o único triângulo cujos lados são números inteiros e consecutivos e que já era de conhecimento de antigas civilizações como a mesopotâmica, egípcia, indiana, chinesa e japonesa. Estas civilizações utilizavam o triângulo retângulo de forma empírica e prática nas demarcações de terras e em construções diversas, pois a partir dele, forma-se um ângulo reto, isto é, ângulo de 90 graus.

Posteriormente, na Civilização Grega, os chamados Pitagóricos, descobrem uma fórmula com a qual são possíveis de se calcularem lados de triângulos retângulos, fórmula esta denominada de Teorema de Pitágoras e que afirma que "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados do catetos", ou também que "A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa" representadas respectivamente pelas equações: a² = b² + c² e = b² + c² = a² .

Outro grande passo, entre outros, dado pela Civilização Grega, com outro expoente Pitagórico, o Matemático Euclides de Alexandria, foi a publicação do livro Os Elementos onde há demonstrações de algoritmos que geram os chamados Ternos Pitagóricos, conjuntos de 3 números inteiros que tem relação como Teorema de Pitágoras.

Olhando atentamente para o Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5, mas especificamente para o número 5, contata-se que ele pode ser escrito como soma de 2 números quadrados:

1² + 2² = 5,

como também os números: 13, 17, 29, 37, 41,... e outros.

Fato este que despertou a atenção de matemáticos como: Diofanto de Alexandria (200-284 d.C.), Edward Waring (1736-1798), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) e outros.

Pierre de Fermat, jurista e entusiasta matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como a soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como a soma de 2 quadrados.

O presente estudo demonstra o Algoritmo S2Q-1 (soma de 2 quadrados) com o qual a partir de raízes e seus quadrados perfeitos ímpares são possíveis de se gerarem números da forma 4x + 1.

O algoritmo também demonstram relações numéricas entre raízes e seus quadrados perfeitos consecutivos com números retangulares, triangulares, bem como, somas e produtos de 2 números consecutivos na geração de números da forma 4x + 1.

O Algoritmo S2Q-1 (soma de 2 quadrados) gera a partir de uma raiz e seu quadrado números da forma 4x + 1 que em sua grande maioria não são quadrados perfeitos, exceto quadrados perfeitos raros, tais como: 25, 841, 28561, 970225, 32.959.081,... que são soma de 2 quadrados.

Diferença entre 2 números Quadrados Perfeitos

A diferença entre dois números quadrados perfeitos, sendo um sucessor e outro antecessor têm como resultado termos da sequência de números ímpares a partir do número 3.

Na sequência de números ímpares se encontram entre seus termos sequencialmente:

a) números primos;

b) números ímpares compostos;

c) números quadrados perfeitos ímpares (exceto o número quadrado perfeito 1).

Interessante observar que a diferença entre 2 quadrados consecutivos que tem como resultado outro quadrado perfeito, a raiz quadrada é sua ordem / posição e que também é produto do número 4 por um número triangular.

Soma de 2 números Quadrados Perfeitos Consecutivos

A soma de dois números quadrados perfeitos têm como resultados números ímpares a partir do número 5 da forma 4x + 1, onde x é um número triangular.

Exemplos:

a) 4 x 1 + 1 =5

b) 4 x 3 + 1 = 13

c) 4 x 6 + 1 = 25

Entre os números ímpares se encontram entre seus termos:

a) números primos;

b) números ímpares compostos;

c) números quadrados perfeitos ímpares cujas ocorrências são raras.

Exemplos:

9 + 15 = 25

400 + 441 = 841

15.161 + 14.400 = 28.851

Interessante observar que a soma de 2 números quadrados perfeitos pares consecutivos dividido por 4 tem como resultados os mesmos números da forma 4x + 1 acima da Tabela-2.

Demonstrações do Algoritmo S2Q-1

A seguir demonstrações do Algoritmo S2Q-1 da Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos.

Número quadrado perfeito 9 e número primo 5

Interessante observar que o quadrado perfeito 9 ( 4 x 2 + 1 = 9 ) gera o número primo 5 ( 4 x 1 + 1 = 5).

i) escreve-se o número quadrado perfeiro 9 como a soma de 2 números consecutivos;

( 9 - 1 ) / 2 = 4

( 9 + 1 ) / 2 = 5

4 + 5 = 9

a parcela 5 é um primo e pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

ii) escreve-se a segunda parcela 5 como a soma de 2 números consecutivos;

( 5 - 1 ) / 2 = 2

( 5 + 1 ) / 2 = 3

2 + 3 = 5

5 é um primo e pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

a primeira parcela 2 é um número retangular.

iii) escreve-se a primeira parcela 2 como produto de 2 números consecutivos;

a raiz quadrada 3 mais 1 dividido por 2 é igual a 2.

( 3 + 1 ) / 2 = 2

1 (antecessor) x 2 = 2

a soma dos fatores 1 + 2 = 3 (raiz quadrada de 9).

o produto 2 é um número retangular.

Observação importante: nesta etapa, obtêm-se também termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides, os números 2 e 1 que gera o Terno Pitagórico Primitivo Triangular 3-4-5.

iv) multiplica-se o fator 1 por ele mesmo;

1 x 1 = 1

v) multiplica-se o fator 2 por ele mesmo;

2 x 2 = 4

a soma dos quadrados 1 + 4 = 5

5 é um primo e pode ser escrito como soma de 2 quadrados

Número quadrado perfeito 25 e número primo 13

Interessante observar que o quadrado perfeito 25 ( 4 x 6 + 1 = 25 ) gera o número primo 13 ( 4 x 3 + 1 = 13).

i) escreve-se o número quadrado perfeiro 25 como a soma de 2 números consecutivos;

( 25 - 1 ) / 2 = 12

( 25 + 1 ) / 2 = 13

12 + 13 = 25

a parcela 13 é um primo e pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

ii) escreve-se a segunda parcela 13 como a soma de 2 números consecutivos;

( 13 - 1 ) / 2 = 6

( 13 + 1 ) / 2 = 7

6 + 7 = 13

13 é um primo e pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

a primeira parcela 6 é um número retangular.

iii) escreve-se a primeira parcela 6 como produto de 2 números consecutivos;

a raiz quadrada 5 mais 1 dividido por 2 é igual a 3.

( 5 + 1 ) / 2 = 3

2 (antecessor) x 3 = 6

a soma das parcelas 2 + 3 = 5 (raiz quadrada de 25).

o produto 6 é um número retangular.

Observação importante: nesta etapa, obtêm-se também termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides, os números 3 e 2 que gera o Terno Pitagórico Primitivo Triangular 5-12-13.

A soma de 2 + 3 = 5 (raiz quadrada de 25)

iv) multiplica-se o fator 2 por ele mesmo;

2 x 2 = 4

v) multiplica-se o fator 3 por ele mesmo;

3 x 3 = 9

a soma dos quadrados 4 + 9 = 13

13 é um primo e pode ser escrito como soma de 2 quadrados.

Número quadrado perfeito 49 e número quadrado 25

Interessante observar que o quadrado perfeito 49 ( 4 x 12 + 1 = 49 ) gera o número primo 25 ( 4 x 6 + 1 = 25).

i) escreve-se o número quadrado perfeiro 49 como a soma de 2 números consecutivos;

( 49 - 1 ) / 2 = 24

( 49 + 1 ) / 2 = 25

24 + 25 = 49

a parcela 25 é primeiro quadrado perfeito que pode ser escrito como soma de 2 quadrados de duas formas diferentes.

ii) escreve-se a segunda parcela 25 como a soma de 2 números consecutivos;

( 25 - 1 ) / 2 = 12

( 25 + 1 ) / 2 = 13

12 + 13 = 25

25 é primeiro quadrado perfeito que pode ser escrito como soma de 2 quadrados de duas formas diferentes.

a primeira parcela 12 é um número retangular.

iii) escreve-se a primeira parcela 12 como produto de 2 números consecutivos;

a raiz quadrada 7 mais 1 dividido por 2 é igual a 4.

( 7 + 1 ) / 2 = 4

3 (antecessor) x 4 = 12

a soma das parcelas 3 + 4 = 7 (raiz quadrada de 49)

o produto 12 é um número retangular.

Observação importante: nesta etapa, obtêm-se também termos "m" e "n" das Fórmulas de Euclides, os números 4 e 3 que gera o Terno Pitagórico Primitivo Triangular 7-24-25.

A soma de 3 + 4 = 7 (raiz quadrada de 49)

iv) multiplica-se o fator 3 por ele mesmo;

3 x 3 = 9

v) multiplica-se o fator 4 por ele mesmo;

4 x 4 = 16

a soma dos quadrados 9 + 16 = 25

25 é primeiro quadrado perfeito que pode ser escrito como soma de 2 quadrados de duas formas diferentes:

3² + 4² = 25

e

0² + 5² = 25

Algoritmo S2Q-1 e números da forma 4x + 1

Utilizando o Algoritmo S2Q-1 com raíz e quadrado perfeito ímpar, gera-se parte de números também da forma 4x + 1.

Interessante observar que:

a) os quadrados perfeitos são gerados multiplicando-se 4 por um retangular e somado 1 unidade;

b) outra parte de números da forma 4x + 1 são gerados multiplicando-se 4 por um triangular e somado 1 unidade.

Assim como quadrados perfeitos impares podem ser escritos como 2 números consecutivos, um dos consecutivos que é ímpar também pode ser escrito como 2 números consecutivos, aliás, todo número ímpar maior que pode ser escrito como 2 números consecutivos.

O produto de 2 números consecutivos tem como resultado número retangular.

A soma de um número retangular com o seu consecutivo tem como resultado número da forma 4x + 1.

A soma dos quadrados dos fatores têm como resultado número da forma 4x + 1.

Estas regularidades numéricas envolvendo números consecutivos, números retangulares, quadrados perfeitos é o que fundamenta o Algoritmo S2Q-1 para se descobrir números da forma 4x + 1.

Conclusão Primeira

Toda dupla de números consecutivos elevada ao quadrado e somadas têm como resultados números da forma 4x + 1, onde x é um número triangular.

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

3² + 4² = 25

5² + 6² = 61

6² + 7² = 85

Soma de 2 Números Quadrados Perfeitos Ímpares Consecutivos

A soma de 2 números quadrados perfeitos ímpares consecutivos têm como resultados números pares que divididos por 2 resultam em números da forma 4x + 1, onde x é um número quadrado perfeito.

Exemplos:

a) 4 x 1 + 1 = 5

b) 4 x 4 + 1 = 17

c) 4 x 9 + 1 = 37

Conclusão Segunda:

Determinados números da forma 4x + 1, onde x é um quadrado perfeito, escritos como soma de 2 quadrados, têm um dos quadrados, o número quadrado 1 predominante.

Todo quadrado pefeito par somado de 1 unidade resulta em um número da forma 4x + 1.

Exemplos:

a) 1² + 2² = 5 ( 4 x 1 +1 )

b) 1² + 4² = 17 ( 4 x 4 + 1)

c) 1² + 6² = 37 ( 4 x 9 + 1 )

c) 1² + 8² = 65 ( 4 x 16 + 1 )

Números Quadrados Perfeitos Ímpares

O produto do número 4 por número retangular somado 1 unidade tem como resultado número quadrado perfeito ímpar a partir do quadrado 9.

Números quadrados perfeitos ímpares são números da forma 4x + 1.

Conclusão Terceira:

Números Quadrados Perfeitos Ímpares escritos como soma de 2 quadrados, tem o quadrado 0, como quadrado predominante.

Exemplos:

a) 0² + 3² = 9

b) 0² + 5² = 25 e 3² + 4² = 25

c) 0² + 7² = 49

d) 0² + 9² = 81

Conclusão Quarta:

Números da forma 4x + 1 podem ser separados em grupos e escritos como soma de 2 quadrados das seguintes formas:

a) grupos em que a primeira parcela é 0² e a segunda parcela um número ímpar ao quadrado cujo resultado é quadrado perfeito ímpar;

b) grupos em que a primeira parcela é 1² e a segunda parcela um número par ao quadrado cujo resultado pode ser um número primo ou número ímpar composto;

c) grupos em que a primeira parcela e a segunda parcela são números consecutivos cujo resultado pode ser um número primo, um quadrado perfeito (quadrado perfeito raro) ou um número ímpar composto;

Lembrando que:

1) os números consecutivos também são termos das Fórmulas de Euclides para se gerarem ternos pitagóricos;

2) números primos escritos como soma de 2 quadrados têm um única dupla de 2 quadrados;

3) números ímpares compostos escritos como soma de 2 quadrados têm mais de uma dupla de soma de 2 quadrados.

Outras propriedades e regularidades numéricas

d) todo terno pitagórico primitivo de ordem / posição triangular, isto é, em que o cateto menor é um número ímpar e o cateto maior e a hipotenusa são números consecutivos que somados é o quadrado do cateto menor, tais como:

1) 3 - 4 - 5

2) 5 - 12 - 13

3) 7 - 24 - 25

4) 9 - 40 - 41

a hipotenusa (4x + 1) pode ser escrita como soma de 2 quadrados ou mais, é o caso do quadrado perfeito 25.

e) todo terno pitagórico cujos termos "m" é maior que 3 e o termo "n" o número 1 e que somados é um ímpar, a hipotenusa é um quadrado perfeito somada 1 unidade:

1) 35 - 12 - 37 ( 36 + 1 = 37 )

2) 63 - 16 - 65 ( 64 + 1 = 65 )

3) 99 - 20 - 101 ( 100 + 1 = 101 )

4) 143 - 24 - 145 ( 144 + 1 = 145 )

Esses ternos pitagóricos se encontram em ordens / posições uma a mais que um terno pitagórico primitivo de ordem / posição triangular, propriedades estas publicadas no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas.

Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - agosto/2025

Fontes Bibliográficas:

GARBI, Gilberto. Outro Belo Teorema de Fermat. Revista RPM 38 - https://rpm.org.br/cdrpm/38/1rpm.htm

NETO, Angelo Papa. Soma de 2 quadrados. IFCE

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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