Pierre de Fermat, jurista e Entusiasta Matemático francês, (1601-1665), entre várias contribuições à Matemática, em carta a Marin Mersenne (1588-1648), datada de 25 de dezembro de 1640, afirma que números da forma 4x + 1 podem ser escritos como a soma de 2 quadrados enquanto números da forma 4x + 3 não podem ser escritos como a soma de 2 quadrados.
O presente estudo demonstra o Algoritmo S2Q-2 (soma de 2 quadrados) com o qual a partir de número primo ou de quadrado perfeito da forma 4x + 1 é possível se saber os quadrados perfeitos que somados tem como resultado esses mesmos números.
O estudo também demonstra que parte de números da forma 4x + 1, onde x é um número triangular, sejam eles primos ou compostos estão estritamente relacionados com a sequência de números triangulares e retangulares e formam um grupo de números cujas duplas de raízes, bem como, os quadrados que os formam são números consecutivos.
Exemplos:
12 + 22 = 1 + 4 = 5 (primo)
22 + 32 = 4 + 9 = 13 (primo)
32 + 42 = 9 + 16 = 25 (quadrado)
52 + 62 = 25 + 36 = 61 (primo)
62 + 72 = 36 + 42 = 85 (composto)
O número 5 é o primeiro número primo da forma 4x + 1, onde x é um número triangular, que pode ser escrito como soma de 2 quadrados.
4 x 1 (triangular) + 1 = 5
| Número Primo 5 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| primo | 5 | |||||
| . | ||||||
| i | 2 | + | 3 | = | 5 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 2 | = | 1,41421 | raiz de | ||
| . | ||||||
| iii | 1 | x | 2 | = | 2 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 1 | x | 1 | = | 1 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 2 | x | 2 | = | 4 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 1 | + | 4 | = | 5 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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i) escreve-se o número primo 5 como soma de 2 números consecutivos;
(5 - 1) / 2 = 2
(5 + 1) / 2 = 3
2 + 3 = 5
ii) extrai-se a raiz quadrada da primeira parcela 2 e pega-se a parte inteira 1;
Obs.: a primeira parcela é um número retangular.
iii) o produto da parte inteira da raiz quadrada de 2 pelo seu consecutivo tem como resultado um número retangular;
1 x 2 = 2
iv) multiplica-se o fator 1 por ele mesmo, obtendo-se o quadrado perfeito 1;
1 x 1 = 1
v) multiplica-se o fator 2 por ele mesmo, obtendo-se o quadrado perfeito 4;
2 x 2 = 4
vi) a soma dos quadrados perfeitos 1 e 4 tem como resultado o número primo 5;
1 + 4 = 5
Interessante observar que:
a) elevando-se as parcelas 2 e 3 ao quadrado e subtraindo o quadrado maior do menor, a diferença dos quadrados consecutivos é o número primo 5;
32 - 22 =
9 - 4 = 5
b ) a soma das raízes é a diferença 5 é um número primo.
O número 13 é o segundo número primo da forma 4x + 1, onde x é um número triangular, que pode ser escrito como soma de 2 quadrados.
4 x 3 (triangular) + 1 = 13
| Número Primo 13 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| primo | 13 | |||||
| . | ||||||
| i | 6 | + | 7 | = | 13 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 6 | = | 2,44949 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 2 | x | 3 | = | 6 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 2 | x | 2 | = | 4 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 3 | x | 3 | = | 9 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 4 | + | 9 | = | 13 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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i) escreve-se o número primo 13 como soma de 2 números consecutivos;
(13 - 1) / 2 = 6
(13 + 1) / 2 = 7
6 + 7 = 13
ii) extrai-se a raiz quadrada da primeira parcela 6 e pega-se a parte inteira 2;
Obs.: a primeira parcela é um número retangular.
iii) o produto da parte inteira da raiz quadrada de 6 pelo seu consecutivo tem como resultado um número retangular;
2 x 3 = 6
iv) multiplica-se o fator 2 por ele mesmo, obtendo-se o quadrado perfeito 4;
2 x 2 = 4
v) multiplica-se o fator 3 por ele mesmo, obtendo-se o quadrado perfeito 9;
3 x 3 = 9
vi) a soma dos quadrados perfeitos 4 e 9 tem como resultado o número primo 13;
4 + 9 = 13
Interessante observar que:
a) elevando-se as parcelas 4 e 9 ao quadrado e subtraindo o quadrado maior do menor, a diferença dos quadrados é 65;
92 - 42 =
81 - 16 = 65
b) 65 é um número semiprimo e é produto dos números primos 5 e 13;
c) 65 é um número ímpar composto da forma 4x + 1 e que pode ser escrito com mais de uma dupla de soma de quadrados;
1 + 64 = 65
16 + 49 = 65
O número 25 é o primeiro quadrado perfeito da forma 4x + 1, onde x é um número triangular, que pode ser escrito como soma de 2 quadrados de duas forma diferentes.
4 x 6 (triangular) + 1 = 25
32 + 42 = 25
e
02 + 52 = 25
Observação: todo quadrado perfeito ímpar da forma 4x + 1, onde x é um número triangular, é escrito tendo 02 a primeira parcela e a segunda parcela a raiz desse quadrado.
| Número Quadrado 25 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| quadrado | 25 | |||||
| . | ||||||
| i | 12 | + | 13 | = | 25 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 12 | = | 3,4641 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 3 | x | 4 | = | 12 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 3 | x | 3 | = | 9 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 4 | x | 4 | = | 16 | quadrado |
| .. | ||||||
| vi | 9 | + | 16 | = | 25 | soma de 2 quadrados |
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i) escreve-se o número primo 25 como soma de 2 números consecutivos;
(25 - 1) / 2 = 12
(25 + 1) / 2 = 13
12 + 13 = 25
ii) extrai-se a raiz quadrada da primeira parcela 12 e pega-se a parte inteira 3;
Obs.: a primeira parcela é um número retangular.
iii) o produto da parte inteira da raiz quadrada de 12 pelo seu consecutivo tem como resultado um número retangular;
3 x 4 = 12
iv) multiplica-se o fator 3 por ele mesmo, obtendo-se o quadrado perfeito 9;
3 x 3 = 9
v) multiplica-se o fator 4 por ele mesmo, obtendo-se o quadrado perfeito 16;
4 x 4 = 16
vi) a soma dos quadrados perfeitos 9 e 16 tem como resultado o número quadrado 25;
9 + 16 = 25
Interessante observar que:
a) a soma dos fatores 3 e 4 é a diferença entre os quadrados 16 e 9;
16 - 9 = 7
b) 65 é um número semiprimo e é produto dos números primos 5 e 13;
4 x 10 (triangular) + 1 = 41
| Número Primo 41 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| primo | 41 | |||||
| . | ||||||
| i | 20 | + | 21 | = | 41 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 20 | = | 4,47214 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 4 | x | 5 | = | 20 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 4 | x | 4 | = | 16 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 5 | x | 5 | = | 25 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 16 | + | 25 | = | 41 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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4 x 15 (triangular) + 1 = 61
| Número Primo 61 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| primo | 61 | |||||
| . | ||||||
| i | 30 | + | 31 | = | 61 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 30 | = | 5,47723 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 5 | x | 6 | = | 30 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 5 | x | 5 | = | 25 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 6 | x | 6 | = | 36 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 25 | + | 36 | = | 61 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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4 x 21 (triangular) + 1 = 85
| Número Composto 85 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| composto | 85 | |||||
| . | ||||||
| i | 42 | + | 43 | = | 85 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 42 | = | 6,48074 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 6 | x | 7 | = | 42 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 6 | x | 6 | = | 36 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 7 | x | 7 | = | 49 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 36 | + | 49 | = | 85 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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4 x 28 (triangular) + 1 = 113
| Número Primo 113 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| primo | 113 | |||||
| . | ||||||
| i | 56 | + | 57 | = | 113 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 56 | = | 7,48331 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 7 | x | 8 | = | 56 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 7 | x | 7 | = | 49 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 8 | x | 8 | = | 64 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 49 | + | 64 | = | 113 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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4 x 45 (triangular) + 1 = 181
| Número Primo 181 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| primo | 181 | |||||
| . | ||||||
| i | 90 | + | 91 | = | 181 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 90 | = | 9,48683 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 9 | x | 10 | = | 90 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 9 | x | 9 | = | 81 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 10 | x | 10 | = | 100 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 81 | + | 100 | = | 181 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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4 x 78 (triangular) + 1 = 313
| Número Primo 313 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| primo | 313 | |||||
| . | ||||||
| i | 156 | + | 157 | = | 313 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 156 | = | 12,49 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 12 | x | 13 | = | 156 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 12 | x | 12 | = | 144 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 13 | x | 13 | = | 169 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 144 | + | 169 | = | 313 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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4 x 105 (triangular) + 1 = 421
| Número Primo 421 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| primo | 421 | |||||
| . | ||||||
| i | 210 | + | 211 | = | 421 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 210 | = | 14,4914 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 14 | x | 15 | = | 210 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 14 | x | 14 | = | 196 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 15 | x | 15 | = | 225 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 196 | + | 225 | = | 421 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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Com Algoritmo S2Q-2 (soma de 2 quadrados), tendo a medida da hipotenusa é possível então de se saber as medidas dos catetos.
Exemplos:
1) A hipotenusa mede 13 unidades, quais são as medidas dos catetos?
| Número Primo 13 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| primo | 13 | |||||
| . | ||||||
| i | 6 | + | 7 | = | 13 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 6 | = | 2,44949 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 2 | x | 3 | = | 6 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 2 | x | 2 | = | 4 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 3 | x | 3 | = | 9 | quadrado |
| . | ||||||
| vi | 4 | + | 9 | = | 13 | soma de 2 quadrados |
| . | ||||||
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O fatores 3 e 2 são o termos "m" e "n" respectivamente das Fórmulas de Euclides:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
a = ?
b = ?
c = 13
Cálculos:
a = 3² - 2² = 9 - 4 = 5 (cateto menor)
b = 2 x 3 x 2 = 12
c = 3² - 2² = 9 + 4 = 13
Resposta: O cateto menor mede 5 e o cateto maior mede 12.
2) A hipotenusa mede 25 unidades, quais são as medidas dos catetos?
| Número Quadrado 25 | ||||||
| como soma de 2 quadrados | ||||||
| quadrado | 25 | |||||
| . | ||||||
| i | 12 | + | 13 | = | 25 | consecutivos |
| . | ||||||
| ii | 12 | = | 3,4641 | raiz quadrada | ||
| . | ||||||
| iii | 3 | x | 4 | = | 12 | retangular |
| . | ||||||
| iv | 3 | x | 3 | = | 9 | quadrado |
| . | ||||||
| v | 4 | x | 4 | = | 16 | quadrado |
| .. | ||||||
| vi | 9 | + | 16 | = | 25 | soma de 2 quadrados |
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O fatores 4 e 3 são o termos "m" e "n" respectivamente das Fórmulas de Euclides:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
a = ?
b = ?
c = 25
Cálculos:
a = 4² - 3² = 16 - 9 = 7 (cateto menor)
b = 2 x 4 x 3 = 24
c = 4² - 3² = 16 + 9 = 25
Resposta: O cateto menor mede 7 e o cateto maior mede 24.
O produto de 2 números consecutivos tem como resultado número retangular.
A soma de um número retangular com o seu consecutivo tem como resultado número da forma 4x + 1.
A soma dos quadrados dos fatores têm como resultado número da forma 4x + 1.
Estas regularidades numéricas envolvendo números consecutivos, números retangulares, quadrados perfeitos é o que fundamenta o Algoritmo S2Q-2 para se descobrir números da forma 4x + 1.
| Algoritmo S2Q-2 | ||||||||||
| e Números da Forma 4x + 1 | ||||||||||
| soma 2 | ||||||||||
| quadrados | ||||||||||
| consecutivos | número | quadrado | quadrado | números | ||||||
| retagular | da forma | |||||||||
| fator | fator | (4x + 1) | ||||||||
| 1 | x | 2 | = | 2 | . | 1 | + | 4 | = | 5 |
| 2 | x | 3 | = | 6 | . | 4 | + | 9 | = | 13 |
| 3 | x | 4 | = | 12 | . | 9 | + | 16 | = | 25 |
| 4 | x | 5 | = | 20 | . | 16 | + | 25 | = | 41 |
| 5 | x | 6 | = | 30 | . | 25 | + | 36 | = | 61 |
| 6 | x | 7 | = | 42 | . | 36 | + | 49 | = | 85 |
| 7 | x | 8 | = | 56 | . | 49 | + | 64 | = | 113 |
| 8 | x | 9 | = | 72 | . | 64 | + | 81 | = | 145 |
| 9 | x | 10 | = | 90 | . | 81 | + | 100 | = | 181 |
| 10 | x | 11 | = | 110 | . | 100 | + | 121 | = | 221 |
| 11 | x | 12 | = | 132 | . | 121 | + | 144 | = | 265 |
| 12 | x | 13 | = | 156 | . | 144 | + | 169 | = | 313 |
| 13 | x | 14 | = | 182 | . | 169 | + | 196 | = | 365 |
| 14 | x | 15 | = | 210 | . | 196 | + | 225 | = | 421 |
| 15 | x | 16 | = | 240 | . | 225 | + | 256 | = | 481 |
| 16 | x | 17 | = | 272 | . | 256 | + | 289 | = | 545 |
| 17 | x | 18 | = | 306 | . | 289 | + | 324 | = | 613 |
| 18 | x | 19 | = | 342 | . | 324 | + | 361 | = | 685 |
| 19 | x | 20 | = | 380 | . | 361 | + | 400 | = | 761 |
| 20 | x | 21 | = | 420 | . | 400 | + | 441 | = | 841 |
| 21 | x | 22 | = | 462 | . | 441 | + | 484 | = | 925 |
| 22 | x | 23 | = | 506 | . | 484 | + | 529 | = | 1013 |
| 23 | x | 24 | = | 552 | . | 529 | + | 576 | = | 1105 |
| 24 | x | 25 | = | 600 | . | 576 | + | 625 | = | 1201 |
| 25 | x | 26 | = | 650 | . | 625 | + | 676 | = | 1301 |
| 26 | x | 27 | = | 702 | . | 676 | + | 729 | = | 1405 |
| 27 | x | 28 | = | 756 | . | 729 | + | 784 | = | 1513 |
| 28 | x | 29 | = | 812 | . | 784 | + | 841 | = | 1625 |
| 29 | x | 30 | = | 870 | . | 841 | + | 900 | = | 1741 |
| 30 | x | 31 | = | 930 | . | 900 | + | 961 | = | 1861 |
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Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - setembro /2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
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