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As Fórmulas de Euclides podem gerar todos os ternos pitagóricos derivados ? - 337

Ternos Pitagóricos é uma sequência de três números inteiros que apresentam relações aritméticas e algébricas com o Teorema de Pitágoras: A soma dos quadrados do catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Euclides, em seu livro Os Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/ wiki/Terno_pitag%C3%B3rico

O livro digital (e-book) Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas discorre sobre várias regularidades e padrões numéricos relacionados aos ternos pitagóricos, entre elas, uma nova classificação para os mesmos:

a) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular;

b) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Não Triangular;

c) Ternos Pitagorícos Derivados Pares;

d) Ternos Pitagóricos Derivados Ímpares;

e) Ternos Pitagóricos Raros.

Os estudos, publicados no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, demonstram também que as ordens / posições dos ternos pitagóricos primitivos estão estritamente relacionados com a sequência de números triangulares.

As Fórmulas de Euclides podem gerar todos os ternos pitagóricos derivados ?

Ternos Pitagóricos Primitivos

A tabela a seguir apresenta os 15 primeiros ternos pitagóricos primitivos e derivados gerados por meio das Fórmulas de Euclides e suas regularidades numéricas:

1) os ternos pitagóricos primitivos que se encontram em posições/ordens de números triangulares são denominados de Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular;

2) 1, 3, 6, 10, 15,... são números triangulares;

3) os primeiros termos dos ternos pitagóricos primitivos são números ímpares;

4) a soma dos 2° e 3° termos de cada terno pitagórico tem como resultado um número quadrado perfeito;

5) o 1° termo é a raiz quadrada da soma dos 2° e 3° termos de cada terno pitagórico primitivo.

Ternos Pitagóricos
Primitivos e Derivados

*tabela 1*

posição/	Ternos Pitagóricos
ordem
	1° termo	2° termo	3° termo

1	3	4	5
2	8	6	10
3	5	12	13
4	15	8	17
5	12	16	20
6	7	24	25
7	24	10	26
8	21	20	29
9	16	30	34
10	9	40	41
11	35	12	37
12	32	24	40
13	27	36	45
14	20	48	52
15	11	60	61

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Fonte: Tabela adaptada de Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, Silva, Ricardo José. edição digital, 2017.

Terno Pitagórico Primitivo 3, 4, 5 e derivados

A tabela a seguir apresenta os 8 primeiros ternos pitagóricos derivados do Terno Pitagórico (3, 4, 5) gerados por meio das Fórmulas de Euclides e suas regularidades numéricas:

1) o Terno Pitagórico Primitivo (3, 4, 5) se encontra destacado em (cor laranja);

2) os ternos pitagóricos derivados em sua maioria possuem os termos pares;

3) os ternos pitagóricos derivados pares são o dobro, do dobro, do dobro... do Terno Terno Pitagórico Primitivo (3, 4, 5);

4) a soma dos 2° e 3° termos de cada terno pitagórico derivado par tem como resultado um número quadrado perfeito;

5) os primeiros termos dos ternos pitagóricos derivados ora são 1/2 ora são 1/3 da soma dos 2° e 3° termos;

6) o terno de posição 13, (27, 36, 45) destacado na (cor verde) é o primeiro terno derivado ímpar e a soma do 2° e 3° termo é um número quadrado perfeito.

7) o 3°termo de cada terno, seja ele primitivo ou derivado, tem posição fixa;

Exemplo: a partir do 3° termo do Terno Pitagórico Primitivo (3, 4, 5), e fácil reconher os seus derivados pares, pois os 3° termos vão dobrando de valor: 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, isto é, o dobro, do dobro, do dobro... do terno pitagórico primitivo.

Ternos Pitagóricos
derivados do
Terno (3, 4, 5)

*tabela 2*

		Ternos Pitagóricos

posição/	termos	Termos
ordem	m > n	1°	2°	3°	Dobro do

1	(2, 1)	3	4	5
2	(3, 1)	8	6	10	primeiro
3
4
5	(4, 2)	12	16	20	segundo
6
7
8
9
10
11
12	(6, 2)	32	24	40	quinto
13	(6, 3)	27	36	45
...
25	(8, 4)	48	64	80	décimo
...					segundo

59	(12, 4)	128	96	160	vigésimo
...					quinto

113	(16, 4)	192	256	320	quinquagésimo
					nono

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Terno Pitagórico Primitivo 3, 4, 5 multiplicado com números naturais

A tabela a seguir apresenta os 15 primeiros ternos pitagóricos derivados do Terno Pitagórico (3, 4, 5) gerados por meio da multiplicação com a sequência de números naturais.

Os produtos de cada termo do Terno Pitagórico Primitivo (3, 4, 5) pela sequência de números naturais geram sequencialmente os seus ternos pitagóricos derivados ímpares e pares.

Os ternos pitagóricos derivados ímpares e pares destacados na (cor cinza) não aparecem nas tabela 1 e tabela 2.

A questão que se coloca é a seguinte:

As Fórmulas de Euclides podem gerar todos os ternos pitagóricos derivados?

Terno Pitagórico (3, 4, 5)
multiplicado por números naturais

*tabela 3*

	terno primitivo

números	3	4	5
naturais
	ternos
	derivados
2	6	8	10

3	9	12	15

4	12	16	20

5	15	20	25

6	18	24	30

7	21	28	35

8	24	32	40

9	27	36	45

10	30	40	50

11	33	44	55

12	36	48	60

13	39	52	65

14	42	56	70

15	45	60	75

16	48	64	80

Conclusão:

Analisando os ternos:

a) Terno Pitagórico Primitivo gerado pelas Fórmulas de Euclides (tabela 1)

Números escolhidos 5 e 4 - números primos entre si.

Aplicando-os nas Fórmulas de Euclides:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

a = 5² - 4²

a = 25 - 16

a = 9

b = 2 x 5 x 4

b = 40

c = 5² + 4²

c = 25 + 16

c = 41

é o unico terno pitagórico gerados pelos termos m>n (5 e 4).

9, 40, 41 é o único terno pitagórico entre os 15 da tabela 1 que começa com o número 9.

b) Terno Pitagórico Derivado do terno (3, 4, 5) gerado por multiplicação.

Não há termos m>n, primos ou não entre si que substituídos nas Fórmulas de Euclides:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

que gere o Terno Pitagórico Derivado 9, 12, 15, concluindo-se assim que por meio das Fórmulas de Euclides não são possíveis de se gerarem todos os ternos pitagóricos derivados.

Autor: Ricardo Silva - abril/2021