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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados quadrados centrados e sequências numéricas - 321

Números figurados, números poligonais ou números geométricos são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando as mais diversas figuras geométricas como: triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, etc.

Números poligonais centrados são uma classe de números figurados cujas figuras geométricas são construídas através de um ponto inicial central e acrescentando-se quantidades de pontos múltiplos de um número natural.

Neste estudo são demonstrados, entre outras regularidades numéricas:

a) que o quádruplo de um número triangular somado com 1 unidade tem como resultado um número figurado quadrado centrado;

b) que a soma de termos consecutivos da progressão aritmética ( 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, ...) têm como resultados números hexagonais.

Números figurados quadrados centrados

Os números figurados quadrados centrados são formados construindo-se quadrados por meio de arranjos de pontos equidistantes começando por um ponto central e acrescentando-se quantidades de pontos em múltiplos de 4.

1

1 + 4 = 5

5 + 8 = 13

13 + 12 = 25

25 + 16 = 41

41 + 20 = 61

61 + 24 = 85

85 + 28 = 113

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113,... são números figurados quadrados centrados.

números figurados quadrados centrados

Números figurados quadrados centrados e Progressão aritmética

A seguinte tabela apresenta padrões e regularidades numéricas entre números triangulares (cor laranja) e progressão artmética de razão 4 com a sequência de números quadrados centrados (cor amarela).

A progressão aritmética cujo primeiro termo é 1 e de razão 4 apresenta termos intercalados da sequência de números figurados quadrados centrados (cor amarela).

Cada número figurado quadrado centrado, exceto o número 1, está a 1 posição abaixo de um número triangular.

Exemplos:

a) o número figurado quadrado centrado 5 está abaixo do triangular 1;

b) o número figurado quadrado centrado 13 está abaixo do triangular 3;

c) o número figurado quadrado centrado 25 está abaixo do triangular 6.

Os intervalos entres números quadrados centrados e a progressão aritmética de razão 4 tem como resultado a sequências de números naturais.

Exemplos:

a) entre 5 e 13 há 1 intervalo;

b) entre 13 e 25 há 2 intervalos;

c) entre 25 e 41 há 3 intervalos e assim sucessivamente...

Na sequência dos números quadrados centrados há ocorrências de números primos: 13, 41, 61,...etc.

Números figurados
quadrados centrados
         
posição/ números progressão números  
ordem trian-gulares aritmética quadrados intervalos
    razão 4 centrados  
         
1 1 1 1  
2   5 5  
3 3 9   1
4   13 13  
5   17   2
6 6 21  
7   25 25  
8   29   3
9   33  
10 10 37  
11   41 41  
12   45   4
13   49  
14   53  
15 15 57  
16   61 61  
17   65   5
18   69  
19   73  
20   77  
21 21 81  
22   85 85  
23   89   6
24   93  
25   97  
26   101  
27   105  
28 28 109  
29   113 113  
         
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Números figurados quadrados centrados e fórmula algébrica

Pode-se obter números figurados quadrados centrados a partir do termo 5 por meio do produto do número 4 por número número triangular somado de 1 unidade, utilizando-se a seguinte fórmula algébrica.

4 { n (n + 1) } + 1
_______
2

Exemplo:

4 { 1 (1 + 1) } + 1
_______
2
4 { 1 (2) } + 1
_______
2
4 { 2 } + 1
_______
2
4 { 1 } + 1
4 + 1
5

ou através de expressões numéricas em que o quádruplo de um número triangular somado com 1 unidade tem como resultado um número figurado quadrado centrado:

(4 x 1) + 1 = 5

(4 x 3) + 1 = 13

(4 x 6) + 1 = 25

(4 x 10) + 1 = 41

(4 x 15) + 1 = 61

Números figurados quadrados centrados e números hexagonais

A soma consecutiva dos termos da progressão aritmética (1, 5, 13, 25, 41,...) de termo incial 1 e razão 4 têm como resultados números hexagonais a partir de 6.

1 + 5 = 6

1 + 5 + 9 = 15

1 + 5 + 9 + 13 = 28

números figurados hexagonais
progressão Números
aritmética hexagonais
(1, 5, 9, 13, 17,...)
 
1
5 6
9 15
13 28
17 45
21 66
25 91
29 120
33 153
37 190
41 231
45 276
49 325
53 378
57 435
61 496
65 561
69 630
73 703
77 780
81 861
85 946
89 1035
93 1128
97 1225
101 1326
105 1431
109 1540
113 1653
   
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A diferença entre dois números hexagonais têm como resultados o termos da progressão aritmética (1, 5, 9, 13, 17,...) de razão 4 a partir do termo 5.

6 - 1 = 5

15 - 6 = 9

28 - 15 = 13

Números progressão
hexagonais aritmética
  (1, 5, 9, 13, 17, ...)
 
1
6 5
15 9
28 13
45 17
66 21
91 25
120 29
153 33
190 37
231 41
276 45
325 49
378 53
435 57
496 61
561 65
630 69
703 73
780 77
861 81
946 85
1035 89
1128 93
1225 97
1326 101
1431 105
1540 109
1653 113
   
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Progressão aritmética (1, 5, 9, 13, 17, 21,...) e propriedades

As divisões de termos da progressão aritmética (1, 5, 9, 13, 17, 21,...) por um termo constante da própria progressão aritmética (1, 5, 9, 13, 17, 21,...), excetuando-se o número 1, tem como resultado a própria progressão aritmética (1, 5, 9, 13, 17, 21,...).

progressão dividido dividido dividido
aritmética por por por
(1, 5, 9, 13, 17, ...) 5 9 13
 
1
5 1    
9   1  
13     1
17      
21      
25 5    
29      
33      
37      
41      
45 9 5  
49      
53      
57      
61      
65 13   5
69      
73      
77      
81   9  
85 17    
89      
93      
97      
101      
105 21    
109      
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Conclusão

Progressões aritméticas cujos primeiros termos são o número 1 e a razão é um número natural igual ou maior que 3, são progressões aritméticas em que há intercalados entre seus termos sequências de números poligonais centrados e cujas somas de seus termos consecutivos têm como resultados números figurados poligonais.

Autor: Ricardo Silva - março/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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