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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números figurados quadrados centrados e sequências numéricas - 321

Números figurados, números poligonais ou números geométricos são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos formando as mais diversas figuras geométricas como: triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, etc.

Números poligonais centrados são uma classe de números figurados cujas figuras geométricas são construídas através de um ponto inicial central e acrescentando-se quantidades de pontos múltiplos de um número natural.

Neste estudo são demonstrados, entre outras, as seguintes regularidades numéricas:

a) que o quádruplo de um número triangular somado com 1 unidade tem como resultado um número figurado quadrado centrado;

b) que a soma de termos consecutivos da progressão aritmética (1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, ...) têm como resultados números hexagonais.

Números figurados quadrados centrados

Os números figurados quadrados centrados são formados construindo-se quadrados por meio de arranjos de pontos equidistantes começando por um ponto central e acrescentando-se quantidades de pontos em múltiplos de 4.

1 + 4 = 5

5 + 8 = 13

13 + 12 = 25

25 + 16 = 41

41 + 20 = 61

61 + 24 = 85

85 + 28 = 113

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113,... são números figurados quadrados centrados.

Números figurados quadrados centrados e Progressão aritmética

A seguinte tabela apresenta padrões e regularidades numéricas entre números triangulares (cor laranja) e progressão artmética de razão 4 com a sequência de números quadrados centrados (cor amarela).

A progressão aritmética cujo primeiro termo é 1 e de razão 4 apresenta termos intercalados da sequência de números figurados quadrados centrados (cor amarela).

Cada número figurado quadrado centrado, exceto o número 1, está a uma posição abaixo de um número triangular.

Exemplos:

a) o número figurado quadrado centrado 5 está abaixo do triangular 1;

b) o número figurado quadrado centrado 13 está abaixo do triangular 3;

c) o número figurado quadrado centrado 25 está abaixo do triangular 6.

Os intervalos entres números quadrados centrados e a progressão aritmética de razão 4 tem como resultado a sequências de números naturais.

Exemplos:

a) entre 5 e 13 há 1 intervalo;

b) entre 13 e 25 há 2 intervalos;

c) entre 25 e 41 há 3 intervalos e assim sucessivamente...

Na sequência dos números quadrados centrados há ocorrências de números primos: 13, 41, 61,...etc.

Números figurados
quadrados centrados

ordem /	números	progressão	números
posição	trian-gulares	aritmética	quadrados	intervalos
		razão 4	centrados

1	1	1	1
2		5	5
3	3	9		1
4		13	13
5		17		2
6	6	21		2
7		25	25
8		29		3
9		33
10	10	37
11		41	41
12		45		4
13		49
14		53
15	15	57
16		61	61
17		65		5
18		69
19		73
20		77
21	21	81
22		85	85
23		89		6
24		93
25		97
26		101
27		105
28	28	109
29		113	113

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Números figurados quadrados centrados e fórmula algébrica

Pode-se obter números figurados quadrados centrados a partir do termo 5 por meio do produto do número 4 por número número triangular somado de 1 unidade, utilizando-se a seguinte fórmula algébrica.

4 { n (n + 1) } + 1

_______

Exemplo:

4 { 1 (1 + 1) } + 1

_______

4 { 1 (2) } + 1

_______

4 { 2 } + 1

_______

4 { 1 } + 1

4 + 1

ou através de expressões numéricas em que o quádruplo de um número triangular somado com 1 unidade tem como resultado um número figurado quadrado centrado:

(4 x 1) + 1 = 5

(4 x 3) + 1 = 13

(4 x 6) + 1 = 25

(4 x 10) + 1 = 41

(4 x 15) + 1 = 61

Números figurados quadrados centrados e números hexagonais

A soma consecutiva dos termos da progressão aritmética (1, 5, 13, 25, 41,...) de termo incial 1 e razão 4 têm como resultados números hexagonais a partir de 6.

1 + 5 = 6

1 + 5 + 9 = 15

1 + 5 + 9 + 13 = 28

progressão	Números
aritmética	hexagonais
(1, 5, 9, 13, 17,...)

1
5	6
9	15
13	28
17	45
21	66
25	91
29	120
33	153
37	190
41	231
45	276
49	325
53	378
57	435
61	496
65	561
69	630
73	703
77	780
81	861
85	946
89	1035
93	1128
97	1225
101	1326
105	1431
109	1540
113	1653

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A diferença entre dois números hexagonais têm como resultados o termos da progressão aritmética (1, 5, 9, 13, 17,...) de razão 4 a partir do termo 5.

6 - 1 = 5

15 - 6 = 9

28 - 15 = 13

Números	progressão
hexagonais	aritmética
	(1, 5, 9, 13, 17, ...)

1
6	5
15	9
28	13
45	17
66	21
91	25
120	29
153	33
190	37
231	41
276	45
325	49
378	53
435	57
496	61
561	65
630	69
703	73
780	77
861	81
946	85
1035	89
1128	93
1225	97
1326	101
1431	105
1540	109
1653	113

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Progressão aritmética (1, 5, 9, 13, 17, 21,...) e propriedades

As divisões de termos da progressão aritmética (1, 5, 9, 13, 17, 21,...) por um termo constante da própria progressão aritmética (1, 5, 9, 13, 17, 21,...), excetuando-se o número 1, tem como resultado a própria progressão aritmética (1, 5, 9, 13, 17, 21,...).

progressão	dividido	dividido	dividido
aritmética	por	por	por
(1, 5, 9, 13, 17, ...)	5	9	13

1
5	1
9		1
13			1
17
21
25	5
29
33
37
41
45	9	5
49
53
57
61
65	13		5
69
73
77
81		9
85	17
89
93
97
101
105	21
109
113

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Conclusão

Progressões aritméticas cujos primeiros termos são o número 1 e a razão é um número natural igual ou maior que 3, são progressões aritméticas em que há intercalados entre seus termos sequências de números poligonais centrados e cujas somas de seus termos consecutivos têm como resultados números figurados poligonais.

Autor: Ricardo Silva - março/2021