Números de Fermat da Forma 4x + 1 são números múltiplos de 4 somados 1 unidade.
Entre os números da Forma 4x + 1, há:
a) números primos que podem ser escritos como soma de 2 quadrados de um único modo, isto é, uma dupla como soma de 2 quadrados;
b) números compostos que podem ser escritos com soma de 2 quadrados de mais de um modo, isto é, mais de 1 dupla de soma de 2 quadrados;
c) números que não podem ser escritos como soma de 2 quadrados, exemplos: 15, 21, 27 e outros.
Números de Fermat da Forma 4x + 3 não podem ser escritos como soma de 2 quadrados.
A soma de dois números quadrados perfeitos consecutivos têm como resultados números ímpares a partir do número 5 da forma 4x + 1, onde x é um número triangular.
O presente estudo demonstra a Fórmula S2Q-3 (Soma de 2 Quadrados - Versão 3) com a qual são possíveis de se gerarem números da forma 4x + 1, onde x é um número triangular e saber a sua soma de 2 quadrados consecutivos.
| n . (n + 1) | ||
| Tn | = | ___ |
| 2 |
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, ...
Na fórmula: 4x + 1, onde a incógnita x é um número triangular, então pode-se fazer a seguinte substituição:
i)
| n . (n + 1) | ||||
| 4 | . | ______ | + | 1 |
| 2 |
ii)
| 4n2 + 4n | ||
| ______ | + | 1 |
| 2 |
iii)
| 2n2 + 2n + 1 |
Dobro de um quadrado mais o dobro de sua raiz e mais 1 unidade, onde n é um número natural maior que 0 (zero).
Na prática é somar 2 raízes, 2 quadrados e 1 unidade.
Exemplos:
a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
b) 2 + 2 + 4 + 4 + 1 = 13
c) 3 + 3 + 9 + 9 + 1 = 25
i) 2 x 1 + 2 x 1 + 1 = 5
ii) 5 é da forma 4x+1
iii) decompõe-se 5 como soma de 2 consecutivos
iv) 5 = 2 + 3
v) subtrái-se a raiz 1 da parcela 2
2 - 1 = 1
vi) soma-se a raiz 1 com parcela 3
3 + 1 = 4
vii) somam-se a diferença 1 e soma 4
1 + 4 = 5
Com a Fórmula S2Q-3 pode-se se saber que números da forma 4x + 1, onde x é um número triangular que são somas de 2 quadrados.
i) 2 x 4 + 2 x 2 + 1 = 13
ii) 13 é da forma 4x+1
iii) decompõe-se 13 como soma de 2 números consecutivos
iv) 13 = 6 + 7
v) subtrái-se a raiz 2 da parcela 6
6 - 2 = 4
vi) soma-se a raiz 2 com parcela 7
7 + 2 = 9
vii) somam-se a diferença 4 e soma 9
4 + 9 = 13
Com a Fórmula S2Q-3 pode-se se saber que números da forma 4x + 1, onde x é um número triangular que são somas de 2 quadrados.
i) 2 x 9 + 2 x 3 + 1 = 25
ii) 25 é da forma 4x+1
iii) decompõe-se 25 como soma de 2 números consecutivos
iv) 25 = 12 + 13
v) subtrái-se a raiz 3 da parcela 12
12 - 3 = 9
vi) soma-se a raiz 3 com parcela 13
13 + 3 = 16
vii) somam-se a diferença 9 e soma 16
9 + 16 = 25
Com a Fórmula S2Q-3 pode-se se saber que números da forma 4x + 1, onde x é um número triangular que são somas de 2 quadrados.
Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - dezembro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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