O Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5, além de ser o primeiro e único cujos lados são números consecutivos, é um triângulo que possui diversas propriedades aritméticas, algébricas, geométricas e trigonométricas.
O presente estudo demonstra conexões do Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5 com a Divina Proporção, também conhecida como Proporção Áurea.
Em seu livro, A Divina Proporção - Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática, páginas 52 e 53 - Exercício II - Um triângulo Familar, H.E. Huntley faz a seguinte introdução e posteriormente demonstrações geométricas:
"Um triângulo conhecidíssimo, de fama antiga, foi utilizado pelo agrimessores egípicios para registrar o ângulo reto. Através de nós, dividia-se um corda em três segmentos, na proporção 3:4:5. Quando as extremidades são reunidas, formando um triângulo, o ângulo que subtende o segmento de 5 unidades é o ângulo reto.
As crianças aprendem este fato na escola, mas quantos universitários, igualmente, percebem que seu velho amigo, o triângulo 3-4-5 é um esconderigo para fi (Φ) e algumas de suas aproximações de Fibonacci?
O grifo é nosso.
A figura 3.3 mostra o triângulo 3-4-5 ABC. Utilizando suas indicações, faça a bissetriz do ∠ C encontrar B em O. Com centro em O, raio OB, descreva um círculo. Percebe-se facilmente que a hipotenusa CA é uma tangente: faça-a tocar o círculo em B', faça CO cortar o círculo em Q e BB' em R. Prolongue CO até encontrar o círculo em P. Então os comprimentos de segmentos a seguir podem ser conhecidos:
BC = 3,
AB = 4,
CA = 5,
AB' = 2
B'C = 3
Porque CO é bissetriz do∠ C,
AO/OB = AC/BC = 5/3;
de onde AO = 5/2,
BO = 3/2.
A linha CQROP compõe-se dos segmentos:
PO = 3/2,
OR = 3/10 √ 5,
RQ = 3/10 √ 5 ( √ 5-1 ),
QC = 3/2 ( √ 5-1 )
Também:
CP = 3( 1+√ 5 )/2 = 3 Φ
CQ = 3( √ 5-1 )/2 = 3 - Φ
Da figura podem derivar sucessivas aproximações de Fibonacci com fi:
BC/BQ = 2/1,
B'C/AB' = 3/2,
AO/OB = 5/3,
AB/BO = 8/5
Também:
CP/PQ = Φ,
PQ/CQ = Φ,
OR/RQ = Φ /2
Assim Q divide CP na secção áurea."
Tendo como base a construção geométrica de H.E. Huntley:
a) construindo um retângulo BCSO (vermelho), constata-se que é retângulo de proporção 1:2 (altura é metade da base / a base é o dobro da altura);
b) duplo quadrado forma retângulo de diagonal de √5 (verde).
Interessante notar que a bissetriz do ângulo C é a diagonal de um duplo quadrado e ao mesmo tempo de um retângulo de proporção 1:2 e originado de um triângulo pitagórico 3-4-5.
Construção de retângulo de diagonal de √5 também pode se realizada a partir de quadrado, seguindo as etapas de construções da Figura 677-03.
Trançando-se um arco (laranja), centro em C, tangenciando a circunferência (azul), na intersecção da base do duplo quadrado tem-se o Ponto Áureo, ponto este que divide a base do duplo quadrado em média e extrema razão.
Trançando-se um segmento (azul violeta) paralelo a hipotenusa AC, intersectando o ponto O e quase o Ponto Áureo (P.A), têm-se um triângulo retângulo proporcional ao triângulo 3-4-5 de vértices BO"P.A"
Interessante observar que a construção geométrica vem corroborar as palavras ditas acima de H.E. Huntley:
"O triângulo 3-4-5 é um esconderigo para fi (Φ) e algumas de suas aproximações de Fibonacci ?"
O grifo é nosso.
Analisando as construções geométricas de H.E. Huntley, bem como, as relacões das propriedades do duplo quadrado, tem-se aqui um novo método de se construir triângulos retângulos proporcionais ao Triângulo Pitagórico 3-4-5, a partir da construção geométrica de Duplo Quadrado.
a) traça-se a mediatriz da diagonal de um duplo quadrado (linha pontilhada);
b) unindo os pontos (azuis), os triângulos retângulos formados, são triângulos pitagóricos proporcionais ao Triângulo Pitagórico 3-4-5.
Interessante observar que na construção geométrica forma-se também um losango.
Autor: Ricardo Silva - junho/2026
Fonte: HUNTLEY, H.E. A Divina Proporção - Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática. Trad. de Luís Carlos Ascêncio Nunes. Brasília, Editora Universidade de Brasília, 1985
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
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