Ternos Pitagóricos são grupos de três números inteiros que apresentam relações aritméticas, algébricas e trigonométricas com o Teorema de Pitágoras, onde: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos".
| a² = b² + c² |
Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Utilizando as Fórmulas de Euclides com números primos entre si e números não primos entre si, podem ser gerados sequencialmente ternos pitagóricos primitivos e derivados.
Escolhendo-se dois números naturais m>n e os substituindo nas Fórmulas de Euclides, encontramos o termos a, b e c do Teorema de Pitágoras e consequentemente o Terno Pitagórico.
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
onde:
m > n (m tem que ser maior que n).
m e n tem que ser primos entre si.
Observação importante:
As Fórmulas de Euclides não geram ternos pitagóricos derivados ímpares sequencialmente.
As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos derivados da seguinte forma: o dobro, do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente de um terno pitagórico primitivo, isto é, ternos pitagóricos em progressões geométricas de razão 2.
Exemplos de ternos pitagóricos derivados do Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5:
6 - 8 - 10;
12 - 16 - 20;
24 - 32 - 40...
O presente estudo demonstra que as varíaveis "m" e "n" das Fórmulas de Euclides, além de gerarem ternos pitagóricos, apresentam outras propriedades relacionadas aos próprios ternos pitagóricos, bem como, propriedades geométricas de triângulo retângulos e a Números de Fermat da forma 4x+1.
A Tabela 1 apresenta os 31 primeiros ternos pitagóricos e entre eles, os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular (células laranjas) gerados pelas Fórmulas de Euclides .
Nos demais ternos, há ternos pitagóricos derivados e também primitivos de ordem não-triangulares.
Todo Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular tem:
i) o seu primeiro termo (a) um número ímpar igual e maior que 3;
ii) o segundo (b) e terceiro (c) termos, números consecutivos cuja a soma é o quadrado perfeito do primeiro termo.
| Tabela 1 | |||||
| Ternos Pitagóricos | |||||
| a partir das | |||||
| Fórmulas de Euclides | |||||
| Terno | |||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | |||
| ordem / | m | n | a | b | c |
| posição | |||||
| 1 (triangular | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 |
| 3 (triangular) | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 |
| 6 (triangular) | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
| 7 | 5 | 1 | 24 | 10 | 26 |
| 8 | 5 | 2 | 21 | 20 | 29 |
| 9 | 5 | 3 | 16 | 30 | 34 |
| 10 (triangular) | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
| 11 | 6 | 1 | 35 | 12 | 37 |
| 12 | 6 | 2 | 32 | 24 | 40 |
| 13 | 6 | 3 | 27 | 36 | 45 |
| 14 | 6 | 4 | 20 | 48 | 52 |
| 15 (triangular) | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
| 16 | 7 | 1 | 48 | 14 | 50 |
| 17 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 |
| 18 | 7 | 3 | 40 | 42 | 58 |
| 19 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 |
| 20 | 7 | 5 | 24 | 70 | 74 |
| 21 (triangular) | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 |
| 22 | 8 | 1 | 63 | 16 | 65 |
| 23 | 8 | 2 | 60 | 32 | 68 |
| 24 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 |
| 25 | 8 | 4 | 48 | 64 | 80 |
| 26 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 |
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 |
| 28 (triangular) | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 |
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Em seu livro The Pythagorean Theorem Crown Jewel of Mathematics, páginas 96 e 97, John C. Sparks [1] demonstra que a partir das próprias variáveis "m" e "n" das Fórmulas de Euclides que geram ternos pitagóricos são possíveis de saber o raio da circunferência inscrita desse mesmo terno pitagórico.
O produto da variável "n" pela diferença das variáveis "m" e "n" das Fórmulas de Euclides têm como resultado o raio da circunferência inscrita do triângulo retângulo cujos lados é um terno pitagórico gerado pelas mesmas variáveis "m" e "n" das Fórmulas de Euclides.
| n ( m - n ) |
A Tabela 2 demonstra os 31 primeiros ternos pitagóricos primitivos e derivados gerados pelas Fórmulas de Euclides e seus respectivos raios de circunferências a eles relacionados.
Interessante observar que:
a) raios de circunferências de ternos pitagóricos primitivos formam progressão aritmética (células laranjas);
b) as próprias variáveis "n" de ternos pitagóricos primitivos de ordem triangular são os raios de circunferências;
c) há ternos pitagóricos cujos raios de circunferências são iguais.
Um fato a ser abservado é que todo terno pitagórico primitivo, a hipotenusa é um número de Fermat da forma 4x + 1, onde "x" é um número triangular, isto é, produto do número 4 por um número triangular somado 1 unidade.
| Tabela 2 | ||||||
| Terno Pitagórico | ||||||
| e raio de circunferência | ||||||
| Terno | ||||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | n ( m-n ) | |||
| ordem / | m | n | a | b | c | raio |
| posição | de | |||||
| circunferência | ||||||
| 1 (triangular) | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | 1 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 | 2 |
| 3 (triangular) | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | 2 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 | 3 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 | 4 |
| 6 (triangular) | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | 3 |
| 7 | 5 | 1 | 24 | 10 | 26 | 4 |
| 8 | 5 | 2 | 21 | 20 | 29 | 6 |
| 9 | 5 | 3 | 16 | 30 | 34 | 6 |
| 10 (triangular) | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 | 4 |
| 11 | 6 | 1 | 35 | 12 | 37 | 5 |
| 12 | 6 | 2 | 32 | 24 | 40 | 8 |
| 13 | 6 | 3 | 27 | 36 | 45 | 9 |
| 14 | 6 | 4 | 20 | 48 | 52 | 8 |
| 15 (triangular) | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 | 5 |
| 16 | 7 | 1 | 48 | 14 | 50 | 6 |
| 17 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 | 10 |
| 18 | 7 | 3 | 40 | 42 | 58 | 12 |
| 19 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 | 12 |
| 20 | 7 | 5 | 24 | 70 | 74 | 10 |
| 21 (triangular) | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 | 6 |
| 22 | 8 | 1 | 63 | 16 | 65 | 7 |
| 23 | 8 | 2 | 60 | 32 | 68 | 12 |
| 24 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 | 15 |
| 25 | 8 | 4 | 48 | 64 | 80 | 16 |
| 26 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 | 15 |
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 | 12 |
| 28 (triangular) | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 | 7 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 | 8 |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 | 14 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 | 18 |
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Semiperímetro é a soma dos lados de um polígono dividido por 2.
O produto da variável "m" pela soma das variáveis "m" e "n" das Fórmulas de Euclides tem como resultado o semiperímetro do triângulo retângulo cujas variáveis "m" e "n" formam esse triângulo retângulo.
| p = m ( m + n ) |
| Tabela 3 | ||||||
| Terno Pitagórico | ||||||
| e semiperímetro | ||||||
| Terno | ||||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | m ( m + n ) | |||
| ordem / | m | n | a | b | c | semiperímetro |
| posição | ||||||
| 1 (triangular) | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 | 12 |
| 3 (triangular) | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | 15 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 | 20 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| 6 (triangular) | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | 28 |
| 7 | 5 | 1 | 24 | 10 | 26 | 30 |
| 8 | 5 | 2 | 21 | 20 | 29 | 35 |
| 9 | 5 | 3 | 16 | 30 | 34 | 40 |
| 10 (triangular) | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 | 45 |
| 11 | 6 | 1 | 35 | 12 | 37 | 42 |
| 12 | 6 | 2 | 32 | 24 | 40 | 48 |
| 13 | 6 | 3 | 27 | 36 | 45 | 54 |
| 14 | 6 | 4 | 20 | 48 | 52 | 60 |
| 15 (triangular) | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 | 66 |
| 16 | 7 | 1 | 48 | 14 | 50 | 56 |
| 17 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 | 63 |
| 18 | 7 | 3 | 40 | 42 | 58 | 70 |
| 19 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 | 77 |
| 20 | 7 | 5 | 24 | 70 | 74 | 84 |
| 21 (triangular) | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 | 91 |
| 22 | 8 | 1 | 63 | 16 | 65 | 72 |
| 23 | 8 | 2 | 60 | 32 | 68 | 80 |
| 24 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 | 88 |
| 25 | 8 | 4 | 48 | 64 | 80 | 96 |
| 26 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 | 104 |
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 | 112 |
| 28 (triangular) | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 | 120 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 | 90 |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 | 99 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 | 108 |
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A soma das variáveis "m" e "n" quando números consecutivos tem como resultado o termo "a", isto é, o cateto menor de um triângulo retângulo de ordem /posição triangular (células laranjas).
| Tabela 4 | ||||||
| Terno Pitagórico | ||||||
| e soma das variáveis "m" e "n" | ||||||
| Terno | ||||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | m + n | |||
| ordem / | m | n | a | b | c | cateto |
| posição | menor | |||||
| 1 (triangular) | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | 3 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 | |
| 3 (triangular) | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | 5 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 | |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 | |
| 6 (triangular) | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | 7 |
| 7 | 5 | 1 | 24 | 10 | 26 | |
| 8 | 5 | 2 | 21 | 20 | 29 | |
| 9 | 5 | 3 | 16 | 30 | 34 | |
| 10 (triangular) | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 | 9 |
| 11 | 6 | 1 | 35 | 12 | 37 | |
| 12 | 6 | 2 | 32 | 24 | 40 | |
| 13 | 6 | 3 | 27 | 36 | 45 | |
| 14 | 6 | 4 | 20 | 48 | 52 | |
| 15 (triangular) | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 | 11 |
| 16 | 7 | 1 | 48 | 14 | 50 | |
| 17 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 | |
| 18 | 7 | 3 | 40 | 42 | 58 | |
| 19 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 | |
| 20 | 7 | 5 | 24 | 70 | 74 | |
| 21 (triangular) | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 | 13 |
| 22 | 8 | 1 | 63 | 16 | 65 | |
| 23 | 8 | 2 | 60 | 32 | 68 | |
| 24 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 | |
| 25 | 8 | 4 | 48 | 64 | 80 | |
| 26 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 | |
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 | |
| 28 (triangular) | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 | 15 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 | |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 | |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 | |
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O produto das variáveis "m" e "n" quando números consecutivos ( diferença de 1 unidade ) tem como resultado a metade do termo "b", bem como, um número retangular (células laranjas).
O termo "b", isto é, o cateto maior de um terno pitagórico primitivo é o dobro de um número retangular.
| Tabela 4 | ||||||
| Terno Pitagórico | ||||||
| e raio de circunferência | ||||||
| Terno | ||||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | m . n | |||
| ordem / | m | n | a | b | c | metade |
| posição | cateto | |||||
| maior | ||||||
| 1 (triangular) | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | 2 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 | 3 |
| 3 (triangular) | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | 6 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 | 4 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 | 8 |
| 6 (triangular) | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | 12 |
| 7 | 5 | 1 | 24 | 10 | 26 | 5 |
| 8 | 5 | 2 | 21 | 20 | 29 | 10 |
| 9 | 5 | 3 | 16 | 30 | 34 | 15 |
| 10 (triangular) | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 | 20 |
| 11 | 6 | 1 | 35 | 12 | 37 | 6 |
| 12 | 6 | 2 | 32 | 24 | 40 | 12 |
| 13 | 6 | 3 | 27 | 36 | 45 | 18 |
| 14 | 6 | 4 | 20 | 48 | 52 | 24 |
| 15 (triangular) | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 | 30 |
| 16 | 7 | 1 | 48 | 14 | 50 | 7 |
| 17 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 | 14 |
| 18 | 7 | 3 | 40 | 42 | 58 | 21 |
| 19 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 | 28 |
| 20 | 7 | 5 | 24 | 70 | 74 | 35 |
| 21 (triangular) | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 | 42 |
| 22 | 8 | 1 | 63 | 16 | 65 | 8 |
| 23 | 8 | 2 | 60 | 32 | 68 | 16 |
| 24 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 | 24 |
| 25 | 8 | 4 | 48 | 64 | 80 | 32 |
| 26 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 | 40 |
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 | 48 |
| 28 (triangular) | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 | 56 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 | 9 |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 | 18 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 | 27 |
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A soma dos quadrados das variáveis "m" e "n" das Fórmulas de Euclides quando números consecutivos têm como resultados Números de Fermat da forma 4x + 1, onde x é um número triangular.
Exemplo 1)
Número 5
| Terno | |||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | |||
| ordem / | m | n | a | b | c |
| posição | |||||
| 1 (triangular) | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
4 x 1 ( triangular ) + 1 = 5
Exemplo 2)
Número 13
| Terno | |||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | |||
| ordem / | m | n | a | b | c |
| posição | |||||
| 1 (triangular) | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 |
| 3 (triangular) | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
4 x 3 ( triangular ) + 1 = 13
Exemplo 3)
Número 25
| Terno | |||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | |||
| ordem / | m | n | a | b | c |
| posição | |||||
| 1 (triangular) | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 |
| 3 (triangular) | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 |
| 6 (triangular) | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
4 x 6 ( triangular ) + 1 = 25
Autor: Ricardo Silva - julho/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1] SPARKS, John C. The Pythagorean Theorem Crown Jewel of Mathematics. Published by AuthorHouse. Indiana - EUA, 2008
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