capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Conjecutura de Beal e Potências de Números Naturais - 690

Em todo triângulo retângulo escaleno vale a seguinte relação: "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos" ou também: "A soma dos quadrados dos catetos é igual a hipotenusa" e que é representada pela seguinte fórmula algébrica:

a² = b² + c²

conhecida como Teorema de Pitágoras.

Sendo os lados a, b e c números inteiros, diz-se que os 3 números formam terno pitagórico e o triângulo denominado de triângulo retângulo pitagórico.

O presente estudo demonstra conexões entre a Conjectura de Beal e somas repetidas de potências de mesma base de números naturais, bem como, com bases de fatores primos comuns, com expoentes de números primos.

Conjecutura de Beal e Potências de Números Naturais

Diferença de 2 de Quadrados Perfeitos Consecutivos

A diferença entre 2 números quadrados perfeitos consecutivos têm como resultados números ímpares a partir do número 3, e entres, eles números primos, bem como, números quadrados perfeitos ímpares (células laranjas).

A diferença de 2 quadrados gera sequencialmente quadrados perfeitos ímpares.

Por meio das Fórmulas de Euclides, entre outros métodos, são possíveis de se gerarem ternos pitagóricos primitivos sequencialmente, para mais informações veja estudo:

011-estudos-177-ternos-pitagoricos-e-formula-de-euclides

Tabela - 1

Diferença entre
2 números quadrados perfeitos consecutivos

número	quadrado	quadrado	diferença
(raiz)			de quadrados
			Ímpares

1	1	4	3
2	4	9	5
3	9	16	7
4	16	25	9
5	25	36	11
6	36	49	13
7	49	64	15
8	64	81	17
9	81	100	19
10	100	121	21
11	121	144	23
12	144	169	25
13	169	196	27
14	196	225	29
15	225	256	31
16	256	289	33
17	289	324	35
18	324	361	37
19	361	400	39
20	400	441	41
21	441	484	43
22	484	529	45
23	529	576	47
24	576	625	49

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Soma de 2 números Quadrados Perfeitos Consecutivos

Diferentemente, a soma de números 2 quadrados perfeitos consecutivos geram aleatoriamente quadrados perfeitos que fazem partes de ternos pitagóricos raros.

Ternos Pitagóricos Raros possuem 2 termos consecutivos, isto é, as medidas dos catetos são números consecutivos.

Por meio do Algoritmo Escada de Theon é possível de se gerarem ternos pitagóricos raros sequencialmente, para mais informações veja o estudo:

011-estudos-448-escada-de-theon-ternos-pitagoricos-primitivos-raros

A Tabela-2 apresenta as 4 primeiras somas de 2 números quadrados perfeitos consecutivos e, entre eles, os quadrados perfeitos do famoso Terno Pitagórico Primitivo e Raro:

9 + 16 = 25

3² + 4² = 5²

Tabela - 2

Soma de
2 Números Quadrados Perfeitos Consecutivos
e Ternos Pitagóricos Raros

raiz	raiz	quadrado	quadrado	soma de 2
				quadrados

3	4	9	16	25


20	21	400	441	841


119	120	14161	14400	28561


696	697	484416	485809	970225

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Último Teorema de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665), jurista e Entusiasta Matemático francês, em 1637, conjecturou tendo como base leituras do livro Arithmética de Diofanto de Alexandria e o famoso Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

de que substituindo os expoentes na equação ( bⁿ + cⁿ = aⁿ ) para números naturais maiores que 2, o Teorema de Pitágoras não teria solução.

A partir de exemplos com expoentes 3, 4, 5 e 6, por mais que tentasse, Fermat não conseguia solucioná-los, então, deixou escrito em uma das páginas do livro Arithmética de Diofanto de Alexandria:

"E impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente. Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, esta margem é demasiado estreita para a conter"

Proposição esta que ficou conhecida como Último Teorema de Fermat.

Muitos outros matemáticos de peso como: Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre, Dirichlet, Gabriel Lamé, Ernst Kummer trabalharam para tentarem provar o Último Teorema de Fermat.

Em 1995, o matemático britânico Andrew Wiles, com a ajuda de Richard Taylor, após 358 anos provaram o Último Teorema de Fermat e que posteriormente foi denominado de Teorema de Fermat-Wiles.

Teorema de Beal

Andrew Beal, um banqueiro e Entusiasta Matemático estadunidense, estudando O Último Teorema de Fermat conjecturou em 1993 que:

"Se A^x + B^y = C^z, A, B, C, x, y, e z são números inteiros positivos, com x, y, z > 2, então A, B, e C possuem um fator primo em comum"

Exemplos:

2³ + 2³ = 4⁴ ( base tem fator comum 2 )

3³ + 6³ = 3⁵ ( base tem fator comum 3 )

7⁶ + 7⁷ = 98³ ( base tem fator comum 7 )

33⁵ + 66⁵ = 33⁶ ( base tem fator comum 11 )

34⁵ + 51⁴ = 85⁴ ( base tem fator comum 17 )

Andrew Beal está oferecendo prêmio de US $1.000.000 para quem encontrar contraexemplo ou demonstração de sua conjectura, prêmio este que se encontra sob supervisão de um comitê da American Mathematical Society (AMS).

Conjectura de Beal e Potências de Base 2

A Tabela-3 demonstra a aplicação da Conjecutura de Beal em somas de potências de base 2 duplicadas cujos resultados são também potências de base 2.

A soma de potência de base 2 duplicada tem como resultado potência de base 2 sucessora.

Exemplo 1:

i) 2¹ + 2¹ = 2²

ii) 2 + 2 = 4

Exemplo 2:

i) 2² + 2² = 2³

ii) 4 + 4 = 8

Tabela - 3

Soma de Potência de base 2 Duplicada

		potência duplicada		soma
base	expoente	base 2	base 2	potência
				base 2

2	1	2	2	4
2	2	4	4	8
2	3	8	8	16
2	4	16	16	32
2	5	32	32	64
2	6	64	64	128
2	7	128	128	256
2	8	256	256	512
2	9	512	512	1024
2	10	1024	1024	2048
2	11	2048	2048	4096
2	12	4096	4096	8192
2	13	8192	8192	16384
2	14	16384	16384	32768
2	15	32768	32768	65536
2	16	65536	65536	131072
2	17	131072	131072	262144
2	18	262144	262144	524288
2	19	524288	524288	1048576
2	20	1048576	1048576	2097152

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Observação: determinadas somas de 2 potências de base 2 diferentes (não duplicadas) não tem como resultado quadrado perfeito.

Exemplo 1:

i) 2³ + 4³ =

ii) 8 + 64 = 72 (não é quadrado perfeito)

Exemplo 2:

i) 4³ + 8³ =

ii) 64 + 512 = 576 (é um quadrado perfeito - raiz 24)

Exemplo 3:

i) 8³ + 16³ =

ii) 512 + 4096 = 4608 (não é quadrado perfeito)

Potência de Base 2 - Extração de Raíz Quadrada e Cúbica

A Tabela-4 demonstra as 40 primeiras potências de base 2 e suas respectivas raízes quadradas e cúbicas na quais se extraem as seguintes propriedades:

a) base 2 elevada a expoente par têm como resultado número quadrado perfeito;

b) base 2 elevada ao expoente 3 e seus múltiplos têm como resultados números cúbicos;

c) base 2 elevada a múltiplos de 3 geram potências que são ao mesmo tempo números quadrados cúbicos (células azuis);

d) base 2 elevada a números primos igual ou maior que 5, bem como, seus múltiplos que não tenham fator primo 3, quando extraídas raízes quadradas ou cúbicas, os resultados são raízes não exatas (números irracionais).

Aqui se tem uma interessante propriedade de que potências de base 2 elevadas a números ímpares não múltiplos de 3, tanto as raízes quadradas quanto as cúbicas são números irracionais, de forma ser mais método de se verificar se determinado número é um número primo ou não, método este funcionando como um crivo.

Interessante observar que pela Fórmula de Mersenne 2^p - 1, pode ser um número primo, por exemplo:

2¹¹ - 1 = 2047

2047 não é um número primo.

2¹¹ = 2048

2048 ao ser extraído raízes quadrada e cúbica, os resultados são números irracionais.

Segundo o Pequeno Teorema de Fermat:

a ^{p - 1} ≡ 1 (mod p)

i) 2 ^{11 - 1} ≡ 1 (mod 11)

ii) 2 ¹⁰ ≡ 1 (mod 11)

iii) 2024 ≡ 1 (mod 11)

2024 dividido por 11 deixa resto 1.

Portanto 11 é um número primo.

Tabela - 4

Potência de Base 2 e
Extração de Raíz Quadrada e Cúbica

base	expoente	potência	raiz	raiz
2			quadrada	cubica

2	1	2	1,414213562	1,25992105
2	2	4	2	1,587401052
2	3	8	2,828427125	2
2	4	16	4	2,5198421
2	5	32	5,656854249	3,174802104
2	6	64	8	4
2	7	128	11,3137085	5,0396842
2	8	256	16	6,349604208
2	9	512	22,627417	8
2	10	1024	32	10,0793684
2	11	2048	45,254834	12,69920842
2	12	4096	64	16
2	13	8192	90,50966799	20,1587368
2	14	16384	128	25,39841683
2	15	32768	181,019336	32
2	16	65536	256	40,3174736
2	17	131072	362,038672	50,79683366
2	18	262144	512	64
2	19	524288	724,0773439	80,63494719
2	20	1048576	1024	101,5936673
2	21	2097152	1448,154688	128
2	22	4194304	2048	161,2698944
2	23	8388608	2896,309376	203,1873347
2	24	16777216	4096	256
2	25	33554432	5792,618751	322,5397888
2	26	67108864	8192	406,3746693
2	27	134217728	11585,2375	512
2	28	268435456	16384	645,0795775
2	29	536870912	23170,47501	812,7493386
2	30	1073741824	32768	1024
2	31	2147483648	46340,95001	1290,159155
2	32	4294967296	65536	1625,498677
2	33	8589934592	92681,90002	2048
2	34	17179869184	131072	2580,31831
2	35	34359738368	185363,8	3250,997354
2	36	68719476736	262144	4096
2	37	1,37439E+11	370727,6001	5160,63662
2	38	2,74878E+11	524288	6501,994709
2	39	5,49756E+11	741455,2002	8192
2	40	1,09951E+12	1048576	10321,27324

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Conjectura de Beal Extendida e Potências de Base 2

Soma de Potência de Base 2 Triplicada

A Tabela-5 demonstra que somas de potências de base 2 triplicadas não têm resultados potências de base 2.

Exemplo 1:

i) 2³ + 2³ + 2³ =

ii) 8 + 8 + 8 = 24

Exemplo 2:

i) 2⁴ + 2⁴ + 2⁴ =

ii) 16 + 16 + 16 = 48

Exemplo 3:

i) 2⁵ + 2⁵ + 2⁵ =

ii) 32 + 32 + 32 = 96

Tabela - 5

Soma de Potência de base 2 Triplicada


base	expoente	potência triplicada			soma
2		base 2	base 2	base 2


2	1	2	2	2	6
2	2	4	4	4	12
2	3	8	8	8	24
2	4	16	16	16	48
2	5	32	32	32	96
2	6	64	64	64	192
2	7	128	128	128	384
2	8	256	256	256	768
2	9	512	512	512	1536
2	10	1024	1024	1024	3072

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Soma de Potência de Base 2 Quadruplicada

A Tabela-6 demonstra que somas de potências de base 2 quadruplicadas têm resultados potências de base 2.

Exemplo:

i) 2³ + 2³ + 2³ + 2³ = 2⁵

ii) 8 + 8 + 8 + 8 = 32

Tabela - 6

Soma de Potência de base 2 Triplicada

base	expoente	potência quadruplicada				soma
2		base 2	base 2	base 2	base 2

2	1	2	2	2	2	8
2	2	4	4	4	4	16
2	3	8	8	8	8	32
2	4	16	16	16	16	64
2	5	32	32	32	32	128
2	6	64	64	64	64	256
2	7	128	128	128	128	512
2	8	256	256	256	256	1024
2	9	512	512	512	512	2048
2	10	1024	1024	1024	1024	4096

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Conjectura de Beal e Potências de Base 3

A Tabela-7 demonstra a aplicação da Conjecutura de Beal em somas de potências de base 3 duplicadas cujos resultados não são potências de base 3.

Observação importante, neste exemplo:

3³ + 6³ = 3⁵ ( a base tem fator comum 3 ), a base 6 é um múltiplo de 6, mas não é potência de 3.

Tabela - 7

Soma de Potência de base 3 Duplicada

base	expoente	potencia duplicada		soma
3		base 3	base 3

3	1	3	3	6
3	2	9	9	18
3	3	27	27	54
3	4	81	81	162
3	5	243	243	486
3	6	729	729	1458
3	7	2187	2187	4374
3	8	6561	6561	13122
3	9	19683	19683	39366
3	10	59049	59049	118098

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Fixando a potência de base 3 ( 3³ = 27 ) e a subtraindo sucessivamente de potências de base 3 consecutivas, obtêm-se determinadas diferenças cujas raízes cúbicas são números inteiros (células laranjas), resultados estes com os quais podem ser formados a soma de 2 cubos, sendo a primeira parcela a potência de base 3, o número 27 e a segunda parcela um múltiplo de 3 ao cubo.

Exemplos:

3³ + 6³ = 3⁵

3³ + 6561³ = 3²⁴

Observação importante: na linha 24 a raíz cúbica é 6561 segundo cálculos em Planilha Excel, segundo a Calculadora do Windows 8 é 6560,999999790924841864568564 9531, segundo o WebSite https://www.omnicalculator.com/pt/matematica /calculadora-raiz-cubica é 6561 e segundo ainda a Calculadora do Google é 6560.99999979.

3³ + 19683³ = 3²⁷

3³ + 59049³ = 3³⁰

3³ + 177147³ = 3³³

3³ + 531441³ = 3³⁶

3³ + 1594323³ = 3³⁹

3³ + 4782969³ = 3⁴²

3³ + 14348907³ = 3⁴⁵

3³ + 43046721³ = 3⁴⁸

Tabela - 8

Diferença entre 2 potências de base 3

		minuendo	subtraendo	diferença

base	expoente	potência	potência		raiz
			27		cubica

3	1	3	27	-24	-2,884499141
3	2	9	27	-18	-2,620741394
3	3	27	27	0	0
3	4	81	27	54	3,77976315
3	5	243	27	216	6
3	6	729	27	702	8,887488205
3	7	2187	27	2160	12,92660814
3	8	6561	27	6534	18,69503905
3	9	19683	27	19656	26,98764867
3	10	59049	27	59022	38,93480231
3	11	177147	27	177120	56,15940974
3	12	531441	27	531414	80,99862823
3	13	1594323	27	1594296	116,8215557
3	14	4782969	27	4782942	168,4864726
3	15	14348907	27	14348880	242,9998476
3	16	43046721	27	43046694	350,4665723
3	17	129140163	27	129140136	505,4603338
3	18	387420489	27	387420462	728,9999831
3	19	1162261467	27	1162261440	1051,399929
3	20	3486784401	27	3486784374	1516,381103
3	21	10460353203	27	10460353176	2186,999998
3	22	31381059609	27	31381059582	3154,199809
3	23	94143178827	27	94143178800	4549,143321
3	24	2,8243E+11	27	2,8243E+11	6561
3	25	8,47289E+11	27	8,47289E+11	9462,599431
3	26	2,54187E+12	27	2,54187E+12	13647,42996
3	27	7,6256E+12	27	7,6256E+12	19683
3	28	2,28768E+13	27	2,28768E+13	28387,79829
3	29	6,86304E+13	27	6,86304E+13	40942,28989
3	30	2,05891E+14	27	2,05891E+14	59049
3	31	6,17673E+14	27	6,17673E+14	85163,39488
3	32	1,85302E+15	27	1,85302E+15	122826,8697
3	33	5,55906E+15	27	5,55906E+15	177147
3	34	1,66772E+16	27	1,66772E+16	255490,1846
3	35	5,00315E+16	27	5,00315E+16	368480,609
3	36	1,50095E+17	27	1,50095E+17	531441
3	37	4,50284E+17	27	4,50284E+17	766470,5539
3	38	1,35085E+18	27	1,35085E+18	1105441,827
3	39	4,05256E+18	27	4,05256E+18	1594323
3	40	1,21577E+19	27	1,21577E+19	2299411,662
3	41	3,6473E+19	27	3,6473E+19	3316325,481
3	42	1,09419E+20	27	1,09419E+20	4782969
3	43	3,28257E+20	27	3,28257E+20	6898234,985
3	44	9,84771E+20	27	9,84771E+20	9948976,443
3	45	2,95431E+21	27	2,95431E+21	14348907
3	46	8,86294E+21	27	8,86294E+21	20694704,96
3	47	2,65888E+22	27	2,65888E+22	29846929,33
3	48	7,97664E+22	27	7,97664E+22	43046721
3	49	2,39299E+23	27	2,39299E+23	62084114,87
3	50	7,17898E+23	37	7,17898E+23	89540787,99

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Conjectura de Beal Extendida e Potências de Base 3

Somas de Potêncisa de Base 3 Triplicadas

A Tabela-9 demonstra a aplicação da Conjecutura de Beal Extendida em somas de potências de base 3 triplicadas cujos resultados são também potências de base 3.

A soma de potência de base 3 triplicada tem como resultado potência de base 3 sucessora.

Exemplo:

i) 3³ + 3³ + 3³ = 3⁴

ii) 27 + 27 + 27 = 81

Tabela-9

Soma de Potência de base 3 Triplicada

base	expoente	potência triplicada			soma
3		base 3	base 3	base 3

3	1	3	3	3	9
3	2	9	9	9	27
3	3	27	27	27	81
3	4	81	81	81	243
3	5	243	243	243	729
3	6	729	729	729	2187
3	7	2187	2187	2187	6561
3	8	6561	6561	6561	19683
3	9	19683	19683	19683	59049
3	10	59049	59049	59049	177147

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Potência de Base 3 - Extração de Raíz Quadrada e Cúbica

A Tabela-10 demonstra as somas das 30 primeiras potências de base 3 triplicadas e suas respectivas raízes quadradas e cúbicas na quais se extraem as seguintes propriedades:

a) a soma de determinadas de 3 potências de base 3 elevadas a um número primo tem como resultado um número quadrado cúbico (células laranjas). Os expoentes formam progressão aritmética cujo primeiro termo é 5 e razão 6;

5, 11, 17, 23, 29,...

b) a soma de determinadas 3 potências de base 3 elevadas a um número par não tem como resultado um número quadrado ou cúbico (células azuis). Os expoentes formam progressão aritmética cujo primeiro termo é 4 e razão 6;

4, 10, 16, 22, 28,...

c) a soma de determinadas 3 potências de base 3 elevadas a um número par não tem como resultado um número quadrado ou cúbico (células azuis). Os expoentes formam progressão aritmética cujo primeiro termo é 6 e razão 6;

6, 12, 18, 24, 30,...

Tabela-10

Potência de Base 3 e
Extração de Raíz Quadrada e Cúbica

		potência triplicada
base	expoente	base 3	base 3	base 3	soma	raiz	raiz
						quadrada	cúbica

3	1	3	3	3	9	3	2,080083823
3	2	9	9	9	27	5,196152423	3
3	3	27	27	27	81	9	4,326748711
3	4	81	81	81	243	15,58845727	6,240251469
3	5	243	243	243	729	27	9
3	6	729	729	729	2187	46,7653718	12,98024613
3	7	2187	2187	2187	6561	81	18,72075441
3	8	6561	6561	6561	19683	140,2961154	27
3	9	19683	19683	19683	59049	243	38,9407384
3	10	59049	59049	59049	177147	420,8883462	56,16226322
3	11	177147	177147	177147	531441	729	81
3	12	531441	531441	531441	1594323	1262,665039	116,8222152
3	13	1594323	1594323	1594323	4782969	2187	168,4867897
3	14	4782969	4782969	4782969	14348907	3787,995116	243
3	15	14348907	14348907	14348907	43046721	6561	350,4666456
3	16	43046721	43046721	43046721	129140163	11363,98535	505,460369
3	17	129140163	129140163	129140163	387420489	19683	729
3	18	387420489	387420489	387420489	1162261467	34091,95605	1051,399937
3	19	1162261467	1162261467	1162261467	3486784401	59049	1516,381107
3	20	3486784401	3486784401	3486784401	10460353203	102275,8681	2187
3	21	10460353203	10460353203	10460353203	31381059609	177147	3154,19981
3	22	31381059609	31381059609	31381059609	94143178827	306827,6044	4549,143321
3	23	94143178827	94143178827	94143178827	2,8243E+11	531441	6561
3	24	2,8243E+11	2,8243E+11	2,8243E+11	8,47289E+11	920482,8132	9462,599431
3	25	8,47289E+11	8,47289E+11	8,47289E+11	2,54187E+12	1594323	13647,42996
3	26	2,54187E+12	2,54187E+12	2,54187E+12	7,6256E+12	2761448,44	19683
3	27	7,6256E+12	7,6256E+12	7,6256E+12	2,28768E+13	4782969	28387,79829
3	28	2,28768E+13	2,28768E+13	2,28768E+13	6,86304E+13	8284345,319	40942,28989
3	29	6,86304E+13	6,86304E+13	6,86304E+13	2,05891E+14	14348907	59049
3	30	2,05891E+14	2,05891E+14	2,05891E+14	6,17673E+14	24853035,96	85163,39488

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Conjectura de Beal e Potências de Base 5

Somas de Potências de Base 5 Duplicadas

A Tabela-11 demonstra a aplicação da Conjecutura de Beal nas 10 primeiras somas de potências de base 5 duplicadas cujos resultados não são potências de base 5.

Tabela-11

Somas de Potências de base 5 Duplicadas

base	expoente	potência	potência	soma	raiz
					quadrada

5	1	5	5	10	3,16227766
5	2	25	25	50	7,071067812
5	3	125	125	250	15,8113883
5	4	625	625	1250	35,35533906
5	5	3125	3125	6250	79,0569415
5	6	15625	15625	31250	176,7766953
5	7	78125	78125	156250	395,2847075
5	8	390625	390625	781250	883,8834765
5	9	1953125	1953125	3906250	1976,423538
5	10	9765625	9765625	19531250	4419,417382

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Conjectura de Beal Extendida e Potências de Base 5

Somas de Potências de Base 5 Triplicadas

A Tabela-12 demonstra a aplicação da Conjecutura de Beal Extendida nas 10 primeiras somas de potências de base 5 triplicadas cujos resultados não são potências de base 5.

Tabela-12

Somas de Potências de base 5 Triplicadas

base	expoente	potência	potência	potência	soma	raiz	raiz
						quadrada	cubica

5	1	5	5	5	15	3,872983346	2,466212074
5	2	25	25	25	75	8,660254038	4,217163327
5	3	125	125	125	375	19,36491673	7,211247852
5	4	625	625	625	1875	43,30127019	12,33106037
5	5	3125	3125	3125	9375	96,82458366	21,08581663
5	6	15625	15625	15625	46875	216,5063509	36,05623926
5	7	78125	78125	78125	234375	484,1229183	61,65530186
5	8	390625	390625	390625	1171875	1082,531755	105,4290832
5	9	1953125	1953125	1953125	5859375	2420,614591	180,2811963
5	10	9765625	9765625	9765625	29296875	5412,658774	308,2765093

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Somas de Potências de Base 5 Quaduplicadas

A Tabela-13 demonstra a aplicação da Conjecutura de Beal Extendida nas 10 primeiras somas de potências de base 5 quadruplicadas.

Nas somas de potências cujos os expoentes são pares, as raízes quadradas são exatas.

Nas somas não há números cúbicos.

Tabela-13

Somas de Potências de base 5 Quadruplicadas

base	expoente	potência	potência	potência	potência	soma	raiz	raiz
							quadrada	cúbica

5	1	5	5	5	5	20	2,236067977	2,714417617
5	2	25	25	25	25	100	5	4,641588834
5	3	125	125	125	125	500	11,18033989	7,93700526
5	4	625	625	625	625	2500	25	13,57208808
5	5	3125	3125	3125	3125	12500	55,90169944	23,20794417
5	6	15625	15625	15625	15625	62500	125	39,6850263
5	7	78125	78125	78125	78125	312500	279,5084972	67,86044041
5	8	390625	390625	390625	390625	1562500	625	116,0397208
5	9	1953125	1953125	1953125	1953125	7812500	1397,542486	198,4251315
5	10	9765625	9765625	9765625	9765625	39062500	3125	339,3022021

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Somas de Potências de Base 5 Quintuplicadas

A Tabela-14 demonstra a aplicação da Conjecutura de Beal Extendida nas 20 primeiras somas de potências de base 5 quintuplicadas.

Nas somas de potências de base 5 cujos expoentes são ímpares e, entre eles, números primos, as raízes quadradas e cúbicas são exatas.

Nas somas de potências de base 5 cujos expoentes são ímpares e, entre eles, números primos, os números formam uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 5 e razão 6: 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41,...

Tabela-14

Somas de Potências de base 5 Quadruplicadas

base	expoente	potência	potência	potência	potência	potência	soma	raiz	raiz
								quadrada	cúbica

5	1	5	5	5	5	5	25	5	2,924018
5	2	25	25	25	25	25	125	11,18033989	5
5	3	125	125	125	125	125	625	25	8,54988
5	4	625	625	625	625	625	3125	55,90169944	14,62009
5	5	3125	3125	3125	3125	3125	15625	125	25
5	6	15625	15625	15625	15625	15625	78125	279,5084972	42,7494
5	7	78125	78125	78125	78125	78125	390625	625	73,10044
5	8	390625	390625	390625	390625	390625	1953125	1397,542486	125
5	9	1953125	1953125	1953125	1953125	1953125	9765625	3125	213,747
5	10	9765625	9765625	9765625	9765625	9765625	48828125	6987,71243	365,5022
5	11	48828125	48828125	48828125	48828125	48828125	244140625	15625	625
5	12	244140625	244140625	244140625	2,44E+08	2,44E+08	1220703125	34938,56215	1068,735
5	13	1220703125	1220703125	1220703125	1,22E+09	1,22E+09	6103515625	78125	1827,511
5	14	6103515625	6103515625	6103515625	6,1E+09	6,1E+09	30517578125	174692,8107	3125
5	15	30517578125	30517578125	30517578125	3,05E+10	3,05E+10	1,52588E+11	390625	5343,675
5	16	1,52588E+11	1,52588E+11	1,52588E+11	1,53E+11	1,53E+11	7,62939E+11	873464,0537	9137,555
5	17	7,62939E+11	7,62939E+11	7,62939E+11	7,63E+11	7,63E+11	3,8147E+12	1953125	15625
5	18	3,8147E+12	3,8147E+12	3,8147E+12	3,81E+12	3,81E+12	1,90735E+13	4367320,269	26718,37
5	19	1,90735E+13	1,90735E+13	1,90735E+13	1,91E+13	1,91E+13	9,53674E+13	9765625	45687,78
5	20	9,53674E+13	9,53674E+13	9,53674E+13	9,54E+13	9,54E+13	4,76837E+14	21836601,34	78125

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Autor: Ricardo Silva - agosto/2026

Fontes Bibliográficas:

CASTRO, Isabela Souza, 1980 - O último teorema de Fermat nos ensinos fundamental e médio / Isabela Souza Castro. – Florestal, MG, 2019. x, 66f. : il. (algumas color.) ; 29 cm.

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

SANTOS, Lúcio Tunes. Problemas de (quase) um milhão de dólares. Seminário de Coisas Legais (ICMC-USP)(UNICAMP), em: https://www.youtube.com/watch?v=2-9PbEh8cFw

https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjectura_de_Beal