Números Retangulares, também denominados de números figurados, são números que são gerados de produtos de 2 números consecutivos.
Números Semiprimos são números que são produtos de 2 números primos.
O presente estudo demonstra que escolhendo 2 números consecutivos a partir dos números 2 e 3 e realizando cálculos aritméticos abaixo, são possíveis de gerarem números retangulares, bem como, números semiprimos .
Para mais informações e complementação deste estudo, veja também:
011-estudos-691-soma-de-dois-numeros-cubicos-consecutivos--numeros-semiprimos-e-numeros-retangulares
011-estudos-692-numeros-retangulares-e-soma-de-dois-numeros-cubicos-consecutivos
i) soma de 2 números consecutivos
2 + 3 = 5
Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.
ii) produto de 2 números consecutivos mais 1 unidade
( 2 x 3 ) + 1 = 7
Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.
iii) a soma de 2 números consecutivos mais o produto desses 2 números consecutivos e 1 unidade tem como resultado um número retangular.
5 + 7 = 12
iv) a diferença entre o produto de 2 números consecutivos e 1 unidade com a soma desses 2 números consecutivo tem como resultado um número retangular.
7 - 5 = 2
Os cálculos aritméticos geraram os números retangulares destacados em laranjas, isto é, geraram números retangulares antecessor e sucessor de 2 x 3 = 6
| Tabela-1 | ||
| Números Retangulares | ||
| ordem / | consecutivos | retangular |
| posição | ||
| 1 | 1 x 2 | 2 |
| 2 | 2 x 3 | 6 |
| 3 | 3 x 4 | 12 |
| 4 | 4 x 5 | 20 |
| 5 | 5 x 6 | 30 |
| 6 | 6 x 7 | 42 |
| 7 | 7 x 8 | 56 |
| 8 | 8 x 9 | 72 |
| 9 | 9 x 10 | 90 |
| 10 | 10 x 11 | 110 |
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O produto dos resultados de i) e ii) tem como resultado um número semiprimo.
5 x 7 = 35
Para n igual a 2, gera-se retangular antecessor a 2 x 3 = 6.
| { [ n x ( n + 1 ) ] + 1 } - ( 2n + 1 ) |
i) { [ 2 x ( 2 + 1 ) ] + 1 } - ( 2 x 2 + 1 ) =
ii) = { [ 2 x ( 3 ) ] + 1 } - ( 4 + 1 )
iii) = { [ 6 ] + 1 } - ( 5 )
iv) = 7 - 5
v) = 2
Para n igual a 2, gera-se retangular sucessor a 2 x 3 = 6.
| ( 2n + 1 ) + { [ n x ( n + 1) ] + 1 } |
i) ( 2 x 2 + 1 ) + { [ 2 x ( 2 + 1 ) ] + 1 } =
ii) = ( 4 + 1 ) + { [ 2 x ( 3 ) ] + 1 }
iii) = ( 5 ) + { [ 6 ] + 1 } -
iv) = 5 + 7
iv) = 12
Para n igual ou maior que 2 e múltiplo de 3, o resultado pode ser um número semiprimo.
| ( 2n + 1 ) x { [ n x ( n + 1) ] + 1 } |
i) ( 2 x 2 + 1 ) x { [ 2 x ( 2 + 1 ) ] + 1 } =
ii) = ( 4 + 1 ) x { [ 2 x ( 3 ) ] + 1 }
iii) = ( 5 ) x { [ 6 ] + 1 } -
iv) = 5 x 7
iv) = 35
i) soma de 2 números consecutivos
3 + 4 = 7
Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.
ii) produto de 2 números consecutivos mais 1 unidade
( 3 x 4 ) + 1 = 13
Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.
iii)A soma de 2 números consecutivos mais o produto desses 2 números consecutivos e 1 unidade tem como resultado um número retangular.
7 + 13 = 20
iv) a diferença entre o produto de 2 números consecutivos e 1 unidade com a soma desses 2 números consecutivo tem como resultado um número retangular.
13 - 7 = 6
Os cálculos aritméticos geraram os números retangulares destacados em laranjas, isto é, geraram números retangulares antecessor e sucessor de 3 x 4 = 12
| Tabela-2 | ||
| Números Retangulares | ||
| ordem / | consecutivos | retangular |
| posição | ||
| 1 | 1 x 2 | 2 |
| 2 | 2 x 3 | 6 |
| 3 | 3 x 4 | 12 |
| 4 | 4 x 5 | 20 |
| 5 | 5 x 6 | 30 |
| 6 | 6 x 7 | 42 |
| 7 | 7 x 8 | 56 |
| 8 | 8 x 9 | 72 |
| 9 | 9 x 10 | 90 |
| 10 | 10 x 11 | 110 |
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O produto dos resultados de i) e ii) tem como resultado um número semiprimo.
7 x 13 = 91
i) soma de 2 números consecutivos
4 + 5 = 9
Sendo os 2 números consecutivos não múltiplos de 3, os resultados são múltiplos de 3.
ii) produto de 2 números consecutivos mais 1 unidade
( 4 x 5 ) + 1 = 21
Sendo os 2 números consecutivos não múltiplos de 3, os resultados são múltiplos de 3.
iii) a soma de 2 números consecutivos mais o produto desses 2 números consecutivos e 1 unidade tem como resultado um número retangular.
9 + 21 = 30
iv) a diferença entre o produto de 2 números consecutivos e 1 unidade com a soma desses 2 números consecutivo tem como resultado um número retangular.
21 - 9 = 12
Os cálculos aritméticos geraram os números retangulares destacados em laranjas, isto é, geraram números retangulares antecessor e sucessor de 3 x 4 = 12
| Tabela-3 | ||
| Números Retangulares | ||
| ordem / | consecutivos | retangular |
| posição | ||
| 1 | 1 x 2 | 2 |
| 2 | 2 x 3 | 6 |
| 3 | 3 x 4 | 12 |
| 4 | 4 x 5 | 20 |
| 5 | 5 x 6 | 30 |
| 6 | 6 x 7 | 42 |
| 7 | 7 x 8 | 56 |
| 8 | 8 x 9 | 72 |
| 9 | 9 x 10 | 90 |
| 10 | 10 x 11 | 110 |
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O produto dos resultados de i) e ii) não tem como resultado um número semiprimo.
9 x 21 = 189
i) soma de 2 números consecutivos
5 + 6 = 11
Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.
ii) produto de 2 números consecutivos mais 1 unidade
( 5 x 6 ) + 1 = 31
Sendo um dos números consecutivos múltiplo de 3, o resultado não é um múltiplo de 3.
iii) a soma de 2 números consecutivos mais o produto desses 2 números consecutivos e 1 unidade tem como resultado um número retangular.
11 + 31 = 42
iv) a diferença entre o produto de 2 números consecutivos e 1 unidade com a soma desses 2 números consecutivo tem como resultado um número retangular.
31 - 11 = 20
Os cálculos aritméticos geraram os números retangulares destacados em laranjas, isto é, geraram números retangulares antecessor e sucessor de 5 x 6 = 30
| Tabela-4 | ||
| Números Retangulares | ||
| ordem / | consecutivos | retangular |
| posição | ||
| 1 | 1 x 2 | 2 |
| 2 | 2 x 3 | 6 |
| 3 | 3 x 4 | 12 |
| 4 | 4 x 5 | 20 |
| 5 | 5 x 6 | 30 |
| 6 | 6 x 7 | 42 |
| 7 | 7 x 8 | 56 |
| 8 | 8 x 9 | 72 |
| 9 | 9 x 10 | 90 |
| 10 | 10 x 11 | 110 |
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O produto dos resultados de i) e ii) tem como resultado um número semiprimo.
11 x 31 = 341
Um fato matemático a ser destacado é que em 1819, Pierre Fréderic Sarrus (1798-1861), Matemático francês provou que 341 divide 2341 - 2, pois até então, se achava, que somente p | 2p - 2.
Autor: Ricardo Silva - agosto/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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