Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Soma de 2 Números Cúbicos Consecutivos, Números Semiprimos e Números Retangulares - 691

Assim, escrito está:

"É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente. Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro.”

(“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet [Eu descobri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é muito pequena para contê-la]”), que ficou conhecido como "Último teorema" (Observatio Domini Petri de Fermat) em página da Obra A Arithmetica de Diofanto, de Diofanto de Alexandria feita por Pierre de Fermat (1601-1665), jurista e Entusiasta Matemático francês. [1]

Pierre de Fermat conjecturou que no Teorema de Pitágoras:

substituindo os expoentes por números iguais ou maiores que 3, a equação não teria solução.

Em 1995, o matemático britânico Andrew Wiles, com a ajuda de Richard Taylor, após 358 anos provaram o Último Teorema de Fermat e que posteriormente foi denominado de Teorema de Fermat-Wiles.

O presente estudo demonstra que a partir de somas de 2 números cúbicos consecutivos são possíveis de se gerarem:

a) números semprimos (números cujos produtos são 2 números primos distintos);

b) duplas de números cujas somas e diferenças são números retangulares.

Soma de 2 Números Quadrados Consecutivos

A Tabela-1 demonstra as 20 primeiras somas de 2 números quadrados perfeitos consecutivos e as seguintes propriedades numéricas:

a) as somas de 2 números quadrados perfeitos consecutivos têm como resultados números ímpares e, entre eles, números primos (coluna E);

b) a soma de 2 quadrados têm como resultados números de Fermat da forma 4x + 1;

c) determinadas somas de 2 números quadrados perfeitos têm como resultados números quadrados perfeitos que fazem parte de ternos pitagóricos raros (coluna E - células laranjas).

Ternos Pitagóricos Raros são ternos pitagóricos que possuem 2 termos consecutivos, isto é, as medidas dos catetos são números consecutivos;

Exemplos:

( 3 - 4 - 5)

( 20 - 21 - 29 )

d) a soma de 2 números quadrados perfeitos consecutivos (coluna E) não é divisível pela soma das raízes correspondentes (coluna G), pois o quociente é um número decimal (H).

Soma de 2 Números Cúbicos Consecutivos

A Tabela-2 demonstra as 50 primeiras somas de 2 números cúbicos perfeitos consecutivos e as seguintes propriedades numéricas:

a) a soma de 2 números cúbicos consecutivos têm como resultados números ímpares (coluna E);

b) a único cálculo em que a soma de 2 cubos consecutivos é um quadrado perfeito é a primeira soma (células laranjas);

1³ + 2³ = 9 (9 é um quadrado perfeito)

c) as raízes quadradas e cúbicas das somas de 2 cubos consecutivos, excetuando-se a primeira soma, nos demais resultados, são números decimais (colunas F e G);

d) a soma de 2 números cúbicos consecutivos é divisível pela soma das raízes correspondentes;

Exemplos:

linha 1)

9 é divisível pela soma das raízes 1 + 2 = 3;

linha 2)

35 é divisível pela soma das raízes 2 + 3 = 5;

linha 3)

91 é divisível pela soma das raízes 3 + 4 = 7.

e) as somas de determinados 2 números cúbicos consecutivos têm como resultados números semiprimos.

Números Semiprimos são números que são produtos de 2 números primos distintos;

Exemplos:

linha 2)

i) soma dos cubos 8 e 27 é igual a 35

ii) 35 dividido pela soma das raízes 5 tem como quociente 7

iii) 5 x 7 = 35

iv) 35 é um número semiprimo

Observação importante: as raízes são 2 e 3, portanto a soma 35 de 2 cubos, não tem fator primo 3.

linha 3)

i) soma dos cubos 27 e 64 é igual a 91

ii) 91 dividido pela soma das raízes 7 tem como quociente 13

iii) 7 x 13 = 91

iv) 91 é um número semiprimo

Observação importante: as raízes são 3 e 4, portanto a soma 91 de 2 cubos, não tem fator primo 3.

linha 4)

i) soma dos cubos 64 e 125 é igual a 189

ii) 189 dividido pela soma das raízes 9 tem como quociente 21

iii) 9 x 21 = 189

iv) 189 é um número composto

Observação importante: as raízes são 4 e 5, portanto a soma 189 de 2 cubos, tem fator primo 3.

Soma de 2 Cubos Consecutivos e Números Retangulares

A Tabela-3 é um "recorte" da Tabela-2 cujos resultados apresentam as seguintes propriedades numéricas:

a) na coluna H, têm-se as somas de raízes cúbicas consecutivas, isto é, a soma de 2 números consecutivos;

b) na coluna I, têm-se os quocientes ( soma de 2 cubos consecutivos dividido pela soma das raízes);

c) a diferença entre a coluna I ( quociente ) e a coluna H ( soma das raízes ) têm como resultado um número retangular na coluna J;

De onde se deduz a seguinte fórmula da diferença:

d) a soma entre a coluna I ( quociente ) com a coluna H ( soma das raízes ) têm como resultado um número retangular na coluna K;

De onde se deduz as seguinte fórmula da soma:

Número 341 e Fatos Matemáticos

Na quinta linha da Tabela-1, a soma dos cubos 125 e 216 é 341.

O produto dos primos 11 x 31 = 341

341 é um número semiprimo.

341 é um número composto.

Em 1819, Pierre Fréderic Sarrus (1798-1861), Matemático francês provou que 341 divide 2³⁴¹ - 2, pois até então, se achava, que somente p | 2^p - 2.

Conclusão 1:

1) escolha 2 números consecutivos (raízes), sendo um múltiplo de 3 e o outro não;

2) eleve-os ao cubo;

3) divida o cubo pela a soma desses 2 números consecutivos (raízes);

4) o quociente pode ser um número semiprimo.

5) nesses cubo e semiprimo não haverá fator primo 3.

Conclusão 2:

1) escolha 2 números consecutivos (raízes), sendo números não múltiplos de 3;

2) eleve-os ao cubo;

3) divida o cubo pela a soma desses 2 números consecutivos não múltiplos de 3 (raízes);

4) o quociente é um número múltiplo de 3.

5) nesses cubo e quociente haverá fator primo 3.

Conclusão 3:

soma de 2 cubos consecutivos é o (divisor)

soma das raízes desses cubos = ( 2n + 1 ) é o (dividendo)

{ [ n x ( n + 1) ] + 1 } é o (quociente)

então:

a) a soma do dividendo com o quociente é número retangular;

b) a diferença entre o quociente e o dividendo é um número retangular.

Autor: Ricardo Silva - agosto/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Último_teorema_de_Fermat

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