Números figurados são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos representando figuras geométricas, como triângulos, quadrados, pentágonos, etc.
Neste estudo são apresentados algumas relações númericas existentes entre números triangulares, quadrados e cúbicos.
Somando-se números consecutivos a partir de 1, obtêm-se números triangulares:
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
e assim sucessivamente...
O produto de dois números consecutivos divididos por 2 têm como quociente um número triangular.
| n x ( n + 1) |
| _______ |
| 2 |
Exemplos:
(1 x 2) / 2 = 1
(2 x 3) / 2 = 3
(3 x 4) / 2 = 6
(4 x 5) / 2 = 10
a) multiplicando-se um número por ele mesmo obtêm-se números quadrados perfeitos:
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
b) elevando-se um número ao exponte 2 (ao quadrado):
12 = 1
22 = 4
32 = 9
c) somando-se números dois números triangulares consecutivos:
1 + 3 = 4
3 + 6 = 9
6 + 10 = 16
Números quadrados perfeitos originados de números triangulares apresentam algumas propriedades especiais:
a) em sua sequência não aparecem potências de 2, 4, 8, ...
b) a diferença entre dois quadrados gerados de números triangulares tem como resultado um número cúbico e entre eles potências de 2, 4, 8, ... :
9 - 1 = 8
36 - 9 = 27
100 - 36 = 64
225 - 100 = 125
| Ordem / | Número | Número Triangular | Número |
|---|---|---|---|
| Posição | Triangular | ao quadrado | Cubo |
| 1 | 1 | 1 | |
| 2 | 3 | 9 | 8 |
| 3 | 6 | 36 | 27 |
| 4 | 10 | 100 | 64 |
| 5 | 15 | 225 | 125 |
| 6 | 21 | 441 | 216 |
| 7 | 28 | 784 | 343 |
| 8 | 36 | 1296 | 512 |
| 9 | 45 | 2025 | 729 |
| 10 | 55 | 3025 | 1331 |
| 11 | 66 | 4356 | - |
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Pode-se obter números cúbicos a partir:
a) da soma de sequências de números ímpares;
1 = 1
3 + 5 = 8
7 + 9 + 11 = 27
13 + 15 + 17 + 19 = 64
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125
b) multiplicando-se um número por ele mesmo 3 vezes;
1 x 1 x 1 = 1
2 x 2 x 2 = 8
3 x 3 x 3 = 27
4 x 4 x 4 = 64
5 x 5 x 5 = 125
c) da potênciação, elevando um número ao expoente 3 (ao cubo);
13 = 1
23 = 8
33 = 27
43 = 64
53 = 125
d) de número cúbico somado com o produto de 6 por um triangular somado 1 unidade.
Observação: o número base do cubo é a ordem / posição do triangular que é multiplicado por 6.
Exemplo 1)
13 + ( 6 x 1 + 1 )
1 + 7 = 8
1 é o primeiro triangular.
Exemplo 2)
23 + ( 6 x 3 + 1 )
8 + 19 = 27
3 é segundo triangular.
Exemplo 3)
33 + ( 6 x 6 + 1 )
27 + 37 = 64
6 é o terceiro triangular.
A soma de números cúbicos têm como resultados números quadrados pefeitos cujas raízes são números triagulares:
1 + 8 = 9
raiz de 9 é 3 (3 é um número triangular)
1 + 8 + 27 = 36
raiz de 36 é 6 (6 é um número triangular)
1 + 8 + 27 + 64 = 100
raiz de 100 é 10 (10 é um número triangular)
No livro Números triangulares e sequências numéricas são apresentados outros estudos referentes a números triangulares relacionados com figuras geométricas de triângulos.
Autor: Ricardo Silva - novembro/2017
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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