Em 1819, Pierre Fréderic Sarrus (1798-1861), Matemático francês provou que 341 divide 2341 - 2, pois até então, se achava, que somente p | 2p - 2.
341 é produto dos primos 11 e 31.
341 é um número semiprimo.
341 é um número composto.
O presente estudo demonstra que por meio do Método Subtrações Sucessivas Extendido de determinados números retangulares são possíveis de se gerarem 2 números primos cujas somas e diferenças são também números retangulares e cujos produtos são números semiprimos os quais apresentam relações numéricas com a soma de 2 números cúbicos consecutivos.
O Método Números Atraentes foi idealizado a partir do Metodo de Adições Sucessivas e do Método Subtrações Sucessivas.
Para mais informações, veja estudo:
011-estudos-403-numeros-primos-e-numeros-atraentes
Vejamos o Método Subtrações Sucessivas aplicado ao número retangular 42:
a) o número retangular 42 é produto dos números consecutivos 6 e 7.
b) subtrai-se números naturais, de 1 até a metade do número escolhido, no exemplo, o número retangular 42, obtendo-se as diferenças / restos (coluna C);
c) dividi-se a diferença / resto (coluna C) pelo número natural subtraendo correspondente (coluna B);
d) tendo quocientes números inteiros (coluna D) , então, os números subtraendos correspondentes da coluna B, são os divisores do número retangular 42 (células laranjas).
D(42): { 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 }
| Tabela-1 | |||
| Número Retangular 42 | |||
| e Subtrações Sucessivas | |||
| A | B | C | D |
| minuedo | subtraendo | diferença / | quociente |
| resto | |||
| número | números | ||
| 42 | naturais | ||
| 42 | 1 | 41 | 41 |
| 42 | 2 | 40 | 20 |
| 42 | 3 | 39 | 13 |
| 42 | 4 | 38 | 9,5 |
| 42 | 5 | 37 | 7,4 |
| 42 | 6 | 36 | 6 |
| 42 | 7 | 35 | 5 |
| 42 | 8 | 34 | 4,25 |
| 42 | 9 | 33 | 3,6667 |
| 42 | 10 | 32 | 3,2 |
| 42 | 11 | 31 | 2,8182 |
| 42 | 12 | 30 | 2,5 |
| 42 | 13 | 29 | 2,2308 |
| 42 | 14 | 28 | 2 |
| 42 | 15 | 27 | 1,8 |
| 42 | 16 | 26 | 1,625 |
| 42 | 17 | 25 | 1,4706 |
| 42 | 18 | 24 | 1,3333 |
| 42 | 19 | 23 | 1,2105 |
| 42 | 20 | 22 | 1,1 |
| 42 | 21 | 21 | 1 |
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Extendendo a aplicação do Método Subtrações Sucessivas ao número retangular 42, obtêm-se 6 cálculos em que:
| Tabela-2 | |||||
| Número Retangular 42 | |||||
| e Subtrações Sucessivas | |||||
| A | B | C | D | E | F |
| minuedo | subtraendo | diferença / | quociente | diferença | soma |
| resto | |||||
| número | números | ( C - B ) | ( B + C) | ||
| 42 | naturais | ||||
| 42 | 1 | 41 | 41 | ||
| 42 | 2 | 40 | 20 | ||
| 42 | 3 | 39 | 13 | ||
| 42 | 4 | 38 | 9,5 | ||
| 42 | 5 | 37 | 7,4 | ||
| 42 | 6 | 36 | 6 | 30 | 42 |
| 42 | 7 | 35 | 5 | ||
| 42 | 8 | 34 | 4,25 | ||
| 42 | 9 | 33 | 3,6667 | ||
| 42 | 10 | 32 | 3,2 | ||
| 42 | 11 | 31 | 2,8182 | 20 | 42 |
| 42 | 12 | 30 | 2,5 | ||
| 42 | 13 | 29 | 2,2308 | ||
| 42 | 14 | 28 | 2 | ||
| 42 | 15 | 27 | 1,8 | 12 | 42 |
| 42 | 16 | 26 | 1,625 | ||
| 42 | 17 | 25 | 1,4706 | ||
| 42 | 18 | 24 | 1,3333 | 6 | 42 |
| 42 | 19 | 23 | 1,2105 | ||
| 42 | 20 | 22 | 1,1 | 2 | 42 |
| 42 | 21 | 21 | 1 | ||
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a) a coluna B subtraída da coluna C têm como diferenças números retangulares (coluna E);
b) a coluna B adicionada com a coluna C têm também somas números retangulares ( coluna F ) ;
c) somente um cálculo, na ( linha 11 - células laranjas) têm-se 2 números primos: o 11 e 31 cujas diferença é 20 e a soma é 42, resultados estes, números retangulares.
Observação importante: o produto dos números primos distintos 11 x 31 = 341.
O número semiprimo 341 é o número com o qual Matemático Pierre Fréderic Sarrus demonstrou contra-exemplo do Pequeno Teorema de Fermat:
| p | 2p - 2 |
e que na verdade, no lugar de p ( número primo ), número composto, é também a solução.
A Tabela-3 Compacta é uma variação da Tabela-2, onde os subtraendos são somente números ímpares.
A tabela é mais "enxuta", isto é, com menos linhas e cálculos.
| Tabela-3 Compacta | |||||
| Número Retangular 42 | |||||
| e Subtrações Sucessivas | |||||
| A | B | C | D | E | F |
| minuedo | subtraendo | diferença / | quociente | diferença | soma |
| resto | |||||
| número | números | ( C - B ) | ( B + C) | ||
| 42 | naturais | ||||
| 42 | 1 | 41 | 41 | ||
| 42 | 3 | 39 | 13 | ||
| 42 | 5 | 37 | 7,4 | ||
| 42 | 7 | 35 | 5 | ||
| 42 | 9 | 33 | 3,6667 | ||
| 42 | 11 | 31 | 2,8182 | 20 | 42 |
| 42 | 13 | 29 | 2,2308 | ||
| 42 | 15 | 27 | 1,8 | 12 | 42 |
| 42 | 17 | 25 | 1,4706 | ||
| 42 | 19 | 23 | 1,2105 | ||
| 42 | 21 | 21 | 1 | ||
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A Tabela-4 apresenta as 10 primeiras somas de 2 números cúbicos consecutivos.
Para mais informações detalhadas, veja estudo:
011-estudos-691-soma-de-dois-numeros-cubicos-consecutivos--numeros-semiprimos-e-numeros-retangulares
| Tabela-4 | ||||||||||
| Soma de 2 Números Cúbicos Perfeitos Consecutivos | ||||||||||
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | |
| raiz | raiz | cubo | cubo | soma | raiz | raiz | soma | quo- | diferença | |
| 2 | qua- | cúbica | das | ciente | número | |||||
| cubos | drada | raízes | retangular | |||||||
| 1 | 2 | 1 | 8 | 9 | 3 | 2,08 | .... | 3 | 3 | 0 |
| 2 | 3 | 8 | 27 | 35 | 5,9 | 3,27 | 5 | 7 | 2 | |
| 3 | 4 | 27 | 64 | 91 | 9,5 | 4,50 | 7 | 13 | 6 | |
| 4 | 5 | 64 | 125 | 189 | 13,7 | 5,74 | 9 | 21 | 12 | |
| 5 | 6 | 125 | 216 | 341 | 18,5 | 6,99 | 11. | 31 | 20 | |
| 6 | 7 | 216 | 343 | 559 | 23,6 | 8,24 | 13 | 43 | 30 | |
| 7 | 8 | 343 | 512 | 855 | 29,2 | 9,49 | 15 | 57 | 42 | |
| 8 | 9 | 512 | 729 | 1241 | 35,2 | 10,75 | 17 | 73 | 56 | |
| 9 | 10 | 729 | 1000 | 1729 | 41,6 | 12,00 | 19 | 91 | 72 | |
| 10 | 11 | 1000 | 1331 | 2331 | 48,3 | 13,26 | 21 | 111 | 90 | |
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Fonte: tabela adaptada de:
011-estudos-691-soma-de-dois-numeros-cubicos-consecutivos--numeros-semiprimos-e-numeros-retangulares
Na linha 5:
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | |
| raiz | raiz | cubo | cubo | soma | raiz | raiz | soma | quo- | diferença | |
| 2 | qua- | cúbica | das | ciente | número | |||||
| cubos | drada | raízes | retangular | |||||||
| 5 | 6 | 125 | 216 | 341 | 18,5 | 6,99 | 11. | 31 | 20 |
a) os números consecutivos 5 e 6 (raízes) elevados ao cubo e somados, tem como resultado o número 341;
b) a soma dos números cúbicos 125 + 216 = 341, dividida pela soma das raízes 5 + 6 = 11, têm como quociente 31;
c) o produto de 11 x 31 = 341;
d) 341 é a soma de 2 números cúbicos consecutivos: 125 e 216;
e) a soma dos fatores: 11 + 31 = 42;
f) 42 é um número retangular;
g) a diferença entre os fatores: 31 - 11 = 20;
h) 20 é um número retangular;
i) a soma da raízes: 5 + 6 = 11
j) o produto das raízes mais 1: [ ( 5 x 6 ) + 1 ] = 31
Escolha 2 números consecutivos (sendo um deles, um múltiplo de 3):
a) efetue a soma;
b) efetue o produto mais 1 unidade.
O produto da (soma) pelo (produto mais 1 unidade) pode ter como resultado um número semiprimo.
Exemplo 1:
a) números consecutivos: 2 e 3
b) soma: 2 + 3 = 5
c) o produto mais 1 unidade: ( 2 x 3 ) + 1 = 7
d) produto dos resultados: 5 x 7 = 35
e) 35 é um número semiprimo
Observações:
2 x 3 = 6 ( número retangular )
5 + 7 = 12 ( número retangular )
7 - 5 = 2 ( número retangular )
5 x 7 = 35 (número semiprimo)
Exemplo 2:
a) números consecutivos: 3 e 4
b) soma: 3 + 4 = 7
c) o produto mais 1 unidade: ( 3 x 4 ) + 1 = 13
d) produto dos resultados: 7 x 13 = 91
e) 91 é um número semiprimo
Observações:
3 x 4 = 12 ( número retangular )
7 + 13 = 20 ( número retangular )
13 - 7 = 6 ( número retangular )
7 x 13 = 91 (número semiprimo)
Exemplo 3:
a) números consecutivos: 5 e 6
b) soma: 5 + 6 = 11
c) o produto mais 1 unidade: ( 5 x 6 ) + 1 = 31
d) produto dos resultados: 11 x 31 = 341
e) 341 é um número semiprimo
Observações:
5 x 6 = 30 ( número retangular )
11 + 31 = 42 ( número retangular )
31 - 11 = 20 ( número retangular )
11 x 31 = 341 (número semiprimo)
A partir do Método Subtrações Sucessivas Extendido aplicado a determinados números retangulares, bem como, a partir de determinados 2 números consecutivos ( sendo um dos números múltiplo de 3 ), são possíveis de se obterem 2 números primos distintos cujo produto é um número semiprimo.
Autor: Ricardo Silva - agosto/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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