Recentemente recebi e-mail do Professor de História Breno Francisco e que também é um Entusiasta Matemático no qual há uma demonstração de uma equação semelhante ao Teorema de Pitágoras com um desenho (croqui) em que os lados do Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5 são formados por cubos.
Aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos há diversos estudos demonstrando o Teorema de Pitágoras com figuras geométricas planas, isto é, desenhos geométricos bi-dimensionais (2 dimensões), sendo a primeira vez uma demonstração tri-dimensional.
George Pólya (1887-1985), matemático húngaro, usou o Teorema de Pitágoras para comprovar que esta importante relação entre áreas vale para quaisquer figuras semelhantes desenhadas sobre a hipotenusa e sobre os catetos de um triângulo retângulo.
No Tri-Cubo, tem-se demonstração semelhante a de George Pólya, com algo a mais, a soma dos cubos dos catetos mais o cubo da hipotenusa tem como resultado também um cubo.
Acredito que tanto Pitágoras de Samos, George Pólya e o Professor estadunidense Elisha Scott Loomis, autor do livro Pythagorean Proposition, Classics in Mathematics Education Serie, segunda edição 1940, onde se encontra-se uma coletânea de 370 demonstrações do Teorema de Pitágoras entre elas: 109 demonstrações algébricas e 255 demonstrações geométricas, ficariam encantados com esta belíssima demonstração algébrica e geométrica do Triângulo Pitagórico 3-4-5.
Na World Wide Web há vídeos com demonstrações do Teorema de Pitágoras em que os catetos e a hipotenusa são receptáculos d'águas (tipo caixas d'águas) construídos com acrílicos transparente.
As águas que estão nos catetos receptáculos e estes quando girados a 360 graus, preenchem a hipotenusa receptáculo. (instrumento parecido com uma ampulheta).
O Teorema de Pitâgoras afirma que "A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado hipotenusa" ou "O quadrado da hiponetusa é igual a soma dos quadrados dos catetos" e que são representados pelas seguintes equações:
| b2 + c2 = a2 |
| a2 = b2 + c2 |
O Teorema de Pitágoras aparece em diversos problemas matemáticos e também é utilizado em diversos ramos das Ciências.
Os triângulos apresentam diversas propriedades algébricas, geométricas e matemáticas, possuindo até mesmo uma disciplina exclusiva de estudos denominada de Trigonometria.
O primeiro é único triângulo retângulo formado por 3 números inteiros e consecutivos é o Triângulo Retângulo Pitagórico 3 - 4 - 5.
Elevando-se os termos do Terno Pitagórico 3-4-5 ao cubo e somando-os, obtem-se também um número cúbico.
a3 + b3 + c3 = d3
53 + 43 + 33 = 63
125 + 64 + 27 = 216
O Tri-Cubo 3-4-5 a seguir foi construído com plaquinhas de madeira compensada, interessante observar que os 3 cubos formam uma escada de 3 degraus com o Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5, isto é, uma verdadeira Escada Cúbica Pitagórica.
A tabela a seguir demonstra a soma de 3 números cúbicos consecutivos, entre eles, os cubos: 27, 64 e 125 cuja soma é 216, um número cúbico também consecutivo.
As demais somas de 3 números cúbicos consecutivos não são números cúbicos perfeitos.
| Soma de 3 | |||
| Números Cúbicos | |||
| Soma | Raiz | ||
| Número | Cubo | 3 | Cúbica |
| Cubos | |||
| 13 | 1 | ||
| 23 | 8 | ||
| 33 | 27 | 36 | 3,30193 |
| 23 | 8 | ||
| 33 | 27 | ||
| 43 | 64 | 99 | 4,62607 |
| 33 | 27 | ||
| 43 | 64 | ||
| 53 | 125 | 216 | 6 |
| 43 | 64 | ||
| 53 | 125 | ||
| 63 | 216 | 405 | 7,39864 |
| 53 | 125 | ||
| 63 | 216 | ||
| 73 | 343 | 684 | 8,81087 |
| 63 | 216 | ||
| 73 | 343 | ||
| 83 | 512 | 1071 | 10,2313 |
| 73 | 343 | ||
| 83 | 512 | ||
| 93 | 729 | 1584 | 11,657 |
| 83 | 512 | ||
| 93 | 729 | ||
| 103 | 1000 | 2241 | 13,0862 |
| 93 | 729 | ||
| 103 | 1000 | ||
| 113 | 1331 | 3060 | 14,518 |
| 103 | 1000 | ||
| 113 | 1331 | ||
| 123 | 1728 | 4059 | 15,9517 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Exemplos de ternos pitagóricos derivados do Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5 cujas somas de cubos têm resultados cubos perfeitos.
| 63 | 216 | ||
| 83 | 512 | ||
| 103 | 1000 | 1728 | 12 |
| 123 | 1728 | ||
| 163 | 4096 | ||
| 203 | 8000 | 13824 | 24 |
| 243 | 13824 | ||
| 323 | 32768 | ||
| 403 | 64000 | 110592 | 48 |
A pergunta que se faz é a seguinte, haverá outros ternos pitagóricos primitivos cujos termos elevados ao cubo e somados terá como resultado um outro cubo?
53 + 123 + 133 = ????
125 + 1728 + 2197 = 4050
3√4050 = 15,939...
4050 não é um cubo perfeito
73 + 243 + 253 = ?????
49 + 13824 + 15625 = 29792
3√29792 = 31,000346...
29792 não é cubo perfeito
Interessante observar 313 = 29791
93 + 403 + 413 = ?????
729 + 64000 + 68921 = 133650
3√133650 = 51,127...
133650 não é cubo perfeito.
Para mais informações sobre números cúbicos, veja abaixo, Matérias Relacionadas!
Conheça também os 500 primeiros Ternos Pitagóricos Primitivos ao Cubo:
011-estudos-541-500-primeiros-ternos-pitagoricos-primitivos-ao-cubo
Autor: Ricardo Silva - janeiro/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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