Um número mágico muito conhecido e divulgado é o número 1089, ele aparece na Parte 1: Mathematical Recreations, Capítulo I: Some Arithmetical Questions na obra Mathematical Recreations and Essays, edição de 1892 do autor W. W. Rouse Ball. [1]
Na introdução do Capítulo I, W. W. Rouse Ball relata que as questões foram compiladas das seguintes obras:
a) Problèmes plaisans et délectables de C.G. Bachet, Sieur de Méziriac, edições de 1612 e 1624 que por sua vez também aparecem em escritos de Alcuin, Pacioli di Burgo, Tartaglia ou Cardano;
b) Récréations mathématiques et physiques, de Ozanam, edição de 1694 em que também há compilações da obra de Bachet, bem como, de Leurechon, Mydorge, van Etten e Oughtred.
"Terceiro exemplo. Peça a alguém que realize sucessivamente as seguintes operações: (i) Escolha um número qualquer de três algarismos. (ii) Forme um novo número invertendo a ordem dos algarismos. (iii) Calcule a diferença entre esses dois números. (iv) Forme outro número invertendo a ordem dos algarismos dessa diferença. (v) Some os resultados de (iii) e (iv). A soma obtida como resultado dessa última operação será 1089. Abaixo, apresentam-se uma ilustração e a explicação da regra."
Fonte: BALL, W. W. Rouse. Mathematical Recreations and Essays. The Macmillan Company, New York, 1905. Project Gutenberg, October 8, 2008 [EBook #26839]
"Por que que o número 1089 é Mágico?"
"Apenas o número 1089 é Mágico?"
Estas perguntas foram realizadas pelos Professores: Eudes Antonio Costa e Élis Gardel da Costa Mesquita e demonstradas no artigo O Número Mágico M, publicado na Revista da Olimpíada - IME - UFG, no 9, setembro de 2014, pags. 33-43 e que traz a seguinte tabela nal qual há mais 21 números mágicos descobertos, além do número 1089.
Fonte: COSTA, Eudes Antonio; MESQUITA, Élis Gardel da Costa. O Número Mágico M. Revista da Olimpíada - IME - UFG, no- 9, setembro de 2014, 33-43
O presente estudo demonstra que:
a) números naturais subtraídos de determinados números mágicos têm como diferenças números que somados com seus reversos (algarismos invertidos) têm como resultados esses mesmos números mágicos;
b) determinados múltiplos de 9 têm como produtos que somados com seus reversos (algarismos invertidos) têm como resultados números mágicos;
c) determinados múltiplos de números palíndromos têm como produtos que somados com seus reversos (algarismos invertidos) têm como resultados números mágicos;
d) números mágicos estão também relacionados com números palíndromos e vice-versa.
Observação muito importante: foram realizados testes com multiplicações do número 9 com números naturais de 1 a 1000.
99 é um número palíndromo.
D(99): { 1, 3, 9, 11, 33, 99 }
A Tabela-1 demonstra diferenças entre números naturais de 1 a (99 ± 1)/2 entre o número 99 e as seguintes propriedades.
a) o número 99 possui 5 duplas de subtraendos e diferenças que formam duplas de números reversos - colunas B e C (células laranjas);
9 e 90
18 e 81
27 e 72
36 e 63
45 e 54
b) os subtraendos e diferenças são múltiplos de 9;
c) a diferença que é múltiplo de 9 e adicionada com seu reverso tem como soma o número mágico 99.
| Tabela-1 | ||||
| Número Mágico 99 | ||||
| e Subtrações e Adições Sucessivas | ||||
| A | B | C | D | E |
| ( A - B ) | ( C + D ) | |||
| minuendo | subtraendo | diferença | reverso | soma |
| 99 | 1 | 98 | 89 | 187 |
| 99 | 2 | 97 | 79 | 176 |
| 99 | 3 | 96 | 69 | 165 |
| 99 | 4 | 95 | 59 | 154 |
| 99 | 5 | 94 | 49 | 143 |
| 99 | 6 | 93 | 39 | 132 |
| 99 | 7 | 92 | 29 | 121 |
| 99 | 8 | 91 | 19 | 110 |
| 99 | 9 | 90 | 09 | 99 |
| 99 | 10 | 89 | 98 | 187 |
| 99 | 11 | 88 | 88 | 176 |
| 99 | 12 | 87 | 78 | 165 |
| 99 | 13 | 86 | 68 | 154 |
| 99 | 14 | 85 | 58 | 143 |
| 99 | 15 | 84 | 48 | 132 |
| 99 | 16 | 83 | 38 | 121 |
| 99 | 17 | 82 | 28 | 110 |
| 99 | 18 | 81 | 18 | 99 |
| 99 | 19 | 80 | 08 | 88 |
| 99 | 20 | 79 | 97 | 176 |
| 99 | 21 | 78 | 87 | 165 |
| 99 | 22 | 77 | 77 | 154 |
| 99 | 23 | 76 | 67 | 143 |
| 99 | 24 | 75 | 57 | 132 |
| 99 | 25 | 74 | 47 | 121 |
| 99 | 26 | 73 | 37 | 110 |
| 99 | 27 | 72 | 27 | 99 |
| 99 | 28 | 71 | 17 | 88 |
| 99 | 29 | 70 | 07 | 77 |
| 99 | 30 | 69 | 96 | 165 |
| 99 | 31 | 68 | 86 | 154 |
| 99 | 32 | 67 | 76 | 143 |
| 99 | 33 | 66 | 66 | 132 |
| 99 | 34 | 65 | 56 | 121 |
| 99 | 35 | 64 | 46 | 110 |
| 99 | 36 | 63 | 36 | 99 |
| 99 | 37 | 62 | 26 | 88 |
| 99 | 38 | 61 | 16 | 77 |
| 99 | 39 | 60 | 06 | 66 |
| 99 | 40 | 59 | 95 | 154 |
| 99 | 41 | 58 | 85 | 143 |
| 99 | 42 | 57 | 75 | 132 |
| 99 | 43 | 56 | 65 | 121 |
| 99 | 44 | 55 | 55 | 110 |
| 99 | 45 | 54 | 45 | 99 |
| 99 | 46 | 53 | 35 | 88 |
| 99 | 47 | 52 | 25 | 77 |
| 99 | 48 | 51 | 15 | 66 |
| 99 | 49 | 50 | 05 | 55 |
| 99 | 50 | 49 | 94 | 143 |
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A multiplicação do 9 pelos números naturais de 2 a 10 têm como produtos que adicionados com seus reversos têm como somas o número mágico 99.
| Tabela-2 | ||||||||
| Tabuada do 9 | ||||||||
| e Números Reversos | ||||||||
| produto | reverso | soma | ||||||
| 9 | x | 1 | = | 9 | + | 9 | = | 18 |
| 9 | x | 2 | = | 18 | + | 81 | = | 99 |
| 9 | x | 3 | = | 27 | + | 72 | = | 99 |
| 9 | x | 4 | = | 36 | + | 63 | = | 99 |
| 9 | x | 5 | = | 45 | + | 54 | = | 99 |
| 9 | x | 6 | = | 54 | + | 45 | = | 99 |
| 9 | x | 7 | = | 63 | + | 36 | = | 99 |
| 9 | x | 8 | = | 72 | + | 27 | = | 99 |
| 9 | x | 9 | = | 81 | + | 18 | = | 99 |
| 9 | x | 10 | = | 90 | + | 09 | = | 99 |
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1089 é um número quadrado perfeito que é produto de palíndromos: 33 x 33 = 1089, como também, produto de 2 números quadrados perfeitos: 9 x 121 = 1089
D(1089): { 1, 3, 9, 11, 33, 99, 121, 363, 1089 }
Realizando subtrações sucessivas de 1 até (1089 ± 1)/2 entre o número 1089, obtêm 4 diferenças que adicionadas com seus reversos têm como somas o número mágico 1089.
Interessante observar que 99 é a diferença entre um subtraendo maior e um subtraendo menor.
| Tabela-3 | ||||
| Número Mágico 1089 | ||||
| e Subtrações e Adições Sucessivas | ||||
| A | B | C | D | E |
| ( A - B ) | ( C + D ) | |||
| minuendo | subtraendo | diferença | reverso | soma |
| 1089 | 198 | 891 | 198 | 1089 |
| ( 99 ) | ||||
| 1089 | 297 | 792 | 297 | 1089 |
| ( 99 ) | ||||
| 1089 | 396 | 693 | 396 | 1089 |
| ( 99 ) | ||||
| 1089 | 495 | 594 | 495 | 1089 |
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A multiplicação do 9 por números palíndromos de 2 algarismos: (22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 e 99 ) têm como produtos que adicionados com seus reversos têm como somas o número mágico 1089.
| Tabela-4 | ||||||||
| Tabuada do 9 | ||||||||
| e Números Reversos | ||||||||
| produto | reverso | soma | ||||||
| 9 | x | 22 | = | 198 | + | 891 | = | 1089 |
| 9 | x | 33 | = | 297 | + | 792 | = | 1089 |
| 9 | x | 44 | = | 396 | + | 693 | = | 1089 |
| 9 | x | 55 | = | 495 | + | 594 | = | 1089 |
| 9 | x | 66 | = | 594 | + | 495 | = | 1089 |
| 9 | x | 77 | = | 693 | + | 396 | = | 1089 |
| 9 | x | 88 | = | 792 | + | 297 | = | 1089 |
| 9 | x | 99 | = | 891 | + | 198 | = | 1089 |
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A multiplicação do 33 pelos múltiplos de 3: ( 6, 9, 12, 15 18, 21, 24, 27 e 30 ) têm como produtos que adicionados com seus reversos têm como somas o número mágico 1089.
Interessante observar que quando os segundos fatores não são múltiplos de 3, as somas dos produdos com seus reversos têm como somas também um produto de 33 por um número não multiplo de 3.
Exemplo 1)
| 33 | x | 7 | = | 231 | + | 132 | = | 363 |
363 = 33 x 11
Exemplo 2)
| 33 | x | 8 | = | 264 | + | 462 | = | 726 |
726 = 33 x 22
| Tabela-5 | ||||||||
| Tabuada do 33 | ||||||||
| e Números Reversos | ||||||||
| produto | reverso | soma | ||||||
| 33 | x | 6 | = | 198 | + | 891 | = | 1089 |
| 33 | x | 7 | = | 231 | + | 132 | = | 363 |
| 33 | x | 8 | = | 264 | + | 462 | = | 726 |
| 33 | x | 9 | = | 297 | + | 792 | = | 1089 |
| 33 | x | 10 | = | 330 | + | 033 | = | 363 |
| 33 | x | 11 | = | 363 | + | 363 | = | 726 |
| 33 | x | 12 | = | 396 | + | 693 | = | 1089 |
| 33 | x | 13 | = | 429 | + | 924 | = | 1353 |
| 33 | x | 14 | = | 462 | + | 264 | = | 726 |
| 33 | x | 15 | = | 495 | + | 594 | = | 1089 |
| 33 | x | 16 | = | 528 | + | 825 | = | 1353 |
| 33 | x | 17 | = | 561 | + | 165 | = | 726 |
| 33 | x | 18 | = | 594 | + | 495 | = | 1089 |
| 33 | x | 19 | = | 627 | + | 726 | = | 1353 |
| 33 | x | 20 | = | 660 | + | 066 | = | 726 |
| 33 | x | 21 | = | 693 | + | 396 | = | 1089 |
| 33 | x | 22 | = | 726 | + | 627 | = | 1353 |
| 33 | x | 23 | = | 759 | + | 957 | = | 1716 |
| 33 | x | 24 | = | 792 | + | 297 | = | 1089 |
| 33 | x | 25 | = | 825 | + | 528 | = | 1353 |
| 33 | x | 26 | = | 858 | + | 858 | = | 1716 |
| 33 | x | 27 | = | 891 | + | 198 | = | 1089 |
| 33 | x | 28 | = | 924 | + | 429 | = | 1353 |
| 33 | x | 29 | = | 957 | + | 759 | = | 1716 |
| 33 | x | 30 | = | 990 | + | 099 | = | 1089 |
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A multiplicação do 99 por números naturais de 2 a 10 têm como produtos que adicionados com seus reversos têm como somas o número mágico 1089.
| Tabela-6 | ||||||||
| Tabuada do 99 | ||||||||
| e Números Reversos | ||||||||
| produto | reverso | soma | ||||||
| 99 | x | 1 | = | 99 | + | 99 | = | 198 |
| 99 | x | 2 | = | 198 | + | 891 | = | 1089 |
| 99 | x | 3 | = | 297 | + | 792 | = | 1089 |
| 99 | x | 4 | = | 396 | + | 693 | = | 1089 |
| 99 | x | 5 | = | 495 | + | 594 | = | 1089 |
| 99 | x | 6 | = | 594 | + | 495 | = | 1089 |
| 99 | x | 7 | = | 693 | + | 396 | = | 1089 |
| 99 | x | 8 | = | 792 | + | 297 | = | 1089 |
| 99 | x | 9 | = | 891 | + | 198 | = | 1089 |
| 99 | x | 10 | = | 990 | + | 099 | = | 1089 |
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D(990):{1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 18, 22, 30, 33, 45, 55, 66, 90, 99, 110, 165, 198, 330, 495, 990 }
Realizando subtrações sucessivas de 1 até (990 ± 1)/2 entre o número 990, não se obteve duplas de subtraendos e diferenças que formassem números reversos e também múltiplos de 9 ( tabuada do 9 ) e seus reversos que adicionados tivessem como somas o número 990.
Interessante observar que 990 pode ser gerado diretamente por meio das seguinte adições (múltiplos de 9 ) permutando somente os algarismos das centenas e dezenas.
180 + 810 = 990
270 + 720 = 990
360 + 630 = 990
450 + 540 = 990
Veja que nas adições a seguir, as somas diferem de 990.
810 + 018 = 828
018 + 810 = 828
720 + 027 = 747
027 + 720 = 747
630 + 036 = 666
036 + 630 = 666
Outro fato interessante é que nas subtrações sucessivas, nos subtraendos e nas diferenças aparecem números que fazem partes de duplas de números reversos cujas adições são o número mágico 1089.
| Tabela-7 | ||||
| Número 990 | ||||
| e Subtrações Sucessivas | ||||
| A | B | C | D | E |
| minuendo | subtraendo | diferença | reverso | soma |
| 990 | 99 | 891 | 198 | 1089 |
| 990 | 198 | 792 | 297 | 1089 |
| 990 | 297 | 693 | 396 | 1089 |
| 990 | 396 | 594 | 495 | 1089 |
| 990 | 495 | 495 | 594 | 1089 |
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A Tabela-8 demonstra parte de subtrações sucessivas de 1089 a 6084 do número mágico 10890.
O número 10890 possui 46 diferenças que adionadas aos seus reversos têm como somas o próprio número 10890.
Os subtraendos formam 5 progressões aritméticas de 9 termos e razões 90.
A diferença do último e o primeiro termos entre cada progressão aritmética é 279.
| Tabela-8 | |||||
| Número Mágico 10890 | |||||
| e Subtrações Sucessivas | |||||
| A | B | C | D | E | |
| quantidade | minuendo | subtraendo | diferença | reverso | soma |
| ordem | |||||
| 1 | 10890 | 1089 | 9801 | 1089 | 10890 |
| ( 90 ) | |||||
| 2 | 10890 | 1179 | 9711 | 1179 | 10890 |
| ( 90 ) | |||||
| 3 | 10890 | 1269 | 9621 | 1269 | 10890 |
| ( 90 ) | |||||
| 4 | 10890 | 1359 | 9531 | 1359 | 10890 |
| ( 90 ) | |||||
| 5 | 10890 | 1449 | 9441 | 1449 | 10890 |
| ( 90 ) | |||||
| 6 | 10890 | 1539 | 9351 | 1539 | 10890 |
| ( 90 ) | |||||
| 7 | 10890 | 1629 | 9261 | 1629 | 10890 |
| ( 90 ) | |||||
| 8 | 10890 | 1719 | 9171 | 1719 | 10890 |
| ( 90 ) | |||||
| 9 | 10890 | 1809 | 9081 | 1809 | 10890 |
| ( 279 ) | |||||
| 10 | 10890 | 2088 | 8802 | 2088 | 10890 |
| 11 | 10890 | 2178 | 8712 | 2178 | 10890 |
| 12 | 10890 | 2268 | 8622 | 2268 | 10890 |
| 13 | 10890 | 2358 | 8532 | 2358 | 10890 |
| 14 | 10890 | 2448 | 8442 | 2448 | 10890 |
| 15 | 10890 | 2538 | 8352 | 2538 | 10890 |
| 16 | 10890 | 2628 | 8262 | 2628 | 10890 |
| 17 | 10890 | 2718 | 8172 | 2718 | 10890 |
| 18 | 10890 | 2808 | 8082 | 2808 | 10890 |
| (279) | |||||
| 19 | 10890 | 3087 | 7803 | 3087 | 10890 |
| 20 | 10890 | 3177 | 7713 | 3177 | 10890 |
| 21 | 10890 | 3267 | 7623 | 3267 | 10890 |
| 22 | 10890 | 3357 | 7533 | 3357 | 10890 |
| 23 | 10890 | 3447 | 7443 | 3447 | 10890 |
| 24 | 10890 | 3537 | 7353 | 3537 | 10890 |
| 25 | 10890 | 3627 | 7263 | 3627 | 10890 |
| 26 | 10890 | 3717 | 7173 | 3717 | 10890 |
| 27 | 10890 | 3807 | 7083 | 3807 | 10890 |
| (279) | |||||
| 28 | 10890 | 4086 | 6804 | 4086 | 10890 |
| 29 | 10890 | 4176 | 6714 | 4176 | 10890 |
| 30 | 10890 | 4266 | 6624 | 4266 | 10890 |
| 31 | 10890 | 4356 | 6534 | 4356 | 10890 |
| 32 | 10890 | 4446 | 6444 | 4446 | 10890 |
| 33 | 10890 | 4536 | 6354 | 4536 | 10890 |
| 34 | 10890 | 4626 | 6264 | 4626 | 10890 |
| 35 | 10890 | 4716 | 6174 | 4716 | 10890 |
| 36 | 10890 | 4806 | 6084 | 4806 | 10890 |
| (279) | |||||
| 37 | 10890 | 5085 | 5805 | 5085 | 10890 |
| 38 | 10890 | 5175 | 5715 | 5175 | 10890 |
| 39 | 10890 | 5265 | 5625 | 5265 | 10890 |
| 40 | 10890 | 5355 | 5535 | 5355 | 10890 |
| 41 | 10890 | 5445 | 5445 | 5445 | 10890 |
| 42 | 10890 | 5535 | 5355 | 5535 | 10890 |
| 43 | 10890 | 5625 | 5265 | 5625 | 10890 |
| 44 | 10890 | 5715 | 5175 | 5715 | 10890 |
| 45 | 10890 | 5805 | 5085 | 5805 | 10890 |
| (279) | |||||
| 46 | 10890 | 6084 | 4806 | 6084 | 10890 |
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Realizando múltiplicações do número 9 com números naturais de 121 a 1000, encontrou-se vários intervalos de 12 multiplicações com as seguintes propriedades:
a) multiplicações de 9 por determinados números palíndromos e não palíndromos têm como produtos que adicionados com seus reversos, têm como somas o número mágico 10890;
b) encontrou-se 72 duplas de números reversos e, entre elas, as duplas da Tabela-8 acima;
c) subsequente ao número mágico 10890, há também o número mágico palíndromo 9999 (células azuis);
Interessante observar que abaixo no número 9999, há duplas de números palíndromos (semelhantes) que adionados têm como somas o próprio número 9999.
(1) 8118 + 1881 = 9999
(2) 7227 + 2772 = 9999
(3) 6336 + 3663 = 9999
(4) 5445 + 4554 = 9999
| Tabela-9 | ||||||||
| Tabuada do 9 | ||||||||
| e o Número Mágico 10890 | ||||||||
| número | naturais | produto | reverso | soma | ||||
| 9 | ||||||||
| 9 | x | 121 | = | 1089 | + | 9801 | = | 10890 |
| 9 | x | 122 | = | 1098 | + | 8901 | = | 9999 |
| 9 | x | 123 | = | 1107 | + | 7011 | = | 8118 |
| 9 | x | 124 | = | 1116 | + | 6111 | = | 7227 |
| 9 | x | 125 | = | 1125 | + | 5211 | = | 6336 |
| 9 | x | 126 | = | 1134 | + | 4311 | = | 5445 |
| 9 | x | 127 | = | 1143 | + | 3411 | = | 4554 |
| 9 | x | 128 | = | 1152 | + | 2511 | = | 3663 |
| 9 | x | 129 | = | 1161 | + | 1611 | = | 2772 |
| 9 | x | 130 | = | 1170 | + | 0711 | = | 1881 |
| 9 | x | 131 | = | 1179 | + | 9711 | = | 10890 |
| 9 | x | 132 | = | 1188 | + | 8811 | = | 9999 |
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Autor: Ricardo Silva - setembro/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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