O Número 1089 é outro número famoso na Matemática, como também, na Matemática Recreativa, pois escolhendo um número de 3 algarismos em que o primeiro e o último algarismos difiram de 2 ou mais unidades, escrevendo-o em ordem contrária (ordem reversa) e subtraindo o número maior do menor e do resultado, escrevendo-o ao contrário (ordem reversa) e somando o maior como o menor, o resultado final é número mágico 1089.
Pode-se dizer que o Número 1089 têm propriedades semelhantes ao Número 6174 de Kaprekar, para mais informações veja o estudo:
011-estudos-292-numero-6174-kaprekar
O presente estudo demonstra outras propriedades relacionadas ao Número 1089.
Exemplo com o número 123 e seu reverso.
(i) 321 - 123 = 198
(ii) 891 + 198 = 1089
Efetuando subtrações sucessivas de números reversos, a partir do número 123, a penúltima diferença é 99.
| Tabela-1 | ||||
| Números Reversos | ||||
| e Subtrações Sucessivas | ||||
| minuendo | subtraendo | diferença | ||
| 321 | - | 123 | = | 198 |
| 891 | - | 198 | = | 693 |
| 693 | - | 396 | = | 297 |
| 792 | - | 297 | = | 495 |
| 594 | - | 495 | = | 99 |
| 99 | - | 99 | = | 0 |
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Observação: da segunda a quarta linha, os minuendos e subtraendos são duplas de números reversos que adicionados têm como somas o número mágico 1089.
Partindo-se de produto dos números reversos 123 x 321 = 39483 e posteriormente efetuando subtrações sucessivas de números reversos, a penúltima diferença é 99.
| Tabela-2 | ||||
| Números Reversos | ||||
| e Subtrações Sucessivas | ||||
| Produto | ||||
| 123 | x | 321 | = | 39483 |
| minuendo | subtraendo | diferença | ||
| = | ||||
| 39483 | - | 38493 | = | 990 |
| 990 | - | 99 | = | 891 |
| 891 | - | 198 | = | 693 |
| 693 | - | 396 | = | 297 |
| 792 | - | 297 | = | 495 |
| 594 | - | 495 | = | 99 |
| 99 | - | 99 | 0 | |
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Observação: da segunda a quinta linha, os minuendos e subtraendos são duplas de números reversos que adicionados têm como somas o número mágico 1089.
A multiplicação de 1089 por números naturais de 1 a 9 têm como produtos duplas de números reversos.
| 1 × 1089 | = 1089 | ↔ | 9 × 1089 | = 9801 |
| 2 × 1089 | = 2178 | ↔ | 8 × 1089 | = 8712 |
| 3 × 1089 | = 3267 | ↔ | 7 × 1089 | = 7623 |
| 4 × 1089 | = 4356 | ↔ | 6 × 1089 | = 6534 |
| 5 × 1089 | = 5445 | ↔ | 5 × 1089 | = 5445 |
Fonte: adaptado de: https://
A soma de 2 números reversos é 10890, isto é, 10 vezes o número 1089.
A soma de fatores correspondentes resultam em 10.
1 + 9 = 10
2 + 8 = 10
3 + 7 = 10
4 + 6 = 10
5 + 5 = 10 (aqui uma repetição do fator 5)
Se a adição de um número com seu reverso tiver como soma o seu décuplo, então esse número tem a mesma propriedade do número 1089.
A soma de 1089 com seu reverso 9801 (nona parte) é igual a 10890 (décupla parte).
10890 (décupla parte) menos seu reverso 09801 tem como diferença a sua décima parte.
A décima parte é o próprio número 1089.
| 9801 | + | 1089 | = | 10890 |
| 10890 | - | 9801 | = | 1089 |
A pergunta que se faz é a seguinte:
Quantos outros números possuem também esta mesma propriedade do número 1089 e o seu décuplo 10890?
Separando os produtos em classes:
a) nas classes das unidades e dezenas, os algarismos estão em ordem decrescente;
b) nas classes das centenas e milhares, os algarismos estão em ordem crescente.
| Tabela-3 | |||||
| Produtos | |||||
| milhares | centenas | dezenas | unidades | ||
| 1 × 1089 | = | 1 | 0 | 8 | 9 |
| 2 × 1089 | = | 2 | 1 | 7 | 8 |
| 3 × 1089 | = | 3 | 2 | 6 | 7 |
| 4 × 1089 | = | 4 | 3 | 5 | 6 |
| 5 × 1089 | = | 5 | 4 | 4 | 5 |
| 6 × 1089 | = | 6 | 5 | 3 | 4 |
| 7 × 1089 | = | 7 | 6 | 2 | 3 |
| 8 × 1089 | = | 8 | 7 | 1 | 2 |
| 9 × 1089 | = | 9 | 8 | 0 | 1 |
Fonte: adaptado de: https://
O número 1089 é um quadrado perfeito, produto de 33 x 33.
Partindo-se de um quadrado perfeito e subtraíndo os resultados com as inversões dos algarismos dos números, chega-se à penúltima subtração cuja diferença é 999.
Semelhante ao quadrado 33 x 33 = 1089, há também outros quadrados perfeitos como:
35 x 35 = 1225
38 x 38 = 1444
Interessante observar que na célula laranja se encontra o Número 6174 de Kaprekar.
| Tabela-4 | ||||
| Quadrado Perfeito 1089 | ||||
| 33 | x | 33 | = | 1089 |
| 9801 | - | 1089 | = | 8712 |
| 8212 | - | 2178 | = | 6034 |
| 6034 | - | 4306 | = | 1728 |
| 8271 | - | 1728 | = | 6543 |
| 6543 | - | 3456 | = | 3087 |
| 7803 | - | 3087 | = | 4716 |
| 6174 | - | 4716 | = | 1458 |
| 8541 | - | 1458 | = | 7083 |
| 7083 | - | 3807 | = | 3276 |
| 6723 | - | 3276 | = | 3447 |
| 7443 | - | 3447 | = | 3996 |
| 6993 | - | 3996 | = | 2997 |
| 7992 | - | 2997 | = | 4995 |
| 5994 | - | 4995 | = | 999 |
| 999 | - | 999 | = | 0 |
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O número 100 é um quadrado perfeito com 3 algarismos, produto de 10 x 10.
Assim como o quadrado perfeito 100, há também outros quadrados perfeitos cujas penúltimas diferenças são 99.
| 10 | x | 10 | 100 |
| 100 | 1 | 99 | |
| 99 | 99 | 0 |
| 12 | x | 12 | 144 |
| 441 | - | 144 | 297 |
| 792 | - | 297 | 495 |
| 594 | - | 495 | 99 |
| 99 | - | 99 | 0 |
Números Palíndromos, também denominados de Capicuas, são números que invertendo seus algarismos (ordem reversa), podem ser lidos tanto da esquerda para à direita, quanto da direita para à esquerda.
Números palídromos, incluindo quadrados perfeitos palíndromos, não resultam no número 1089, bem como, nos números 999 e 99, pois invertendo seus algarismos e efetuando subtrações, as diferenças resultam em 0 (zero).
| 11 | x | 11 | 121 | |
| 121 | - | 121 | 0 |
| 22 | x | 22 | 484 | |
| 484 | - | 484 | 0 |
| 26 | x | 26 | 676 | |
| 676 | - | 676 | 0 |
O quadrado perfeito 9801 (inversão de 1089) produto de 99 x 99 apresenta outra interessante propriedade, a partir da terceira subtração, os números 6534 e 2178 começam a se repetirem (formando subtrações cíclicas infinamente).
Observação: os números 6534 e 2178 não têm em suas formações o algarismo 9.
| Tabela-5 | ||||
| Quadrado Perfeito 9801 | ||||
| 99 | x | 99 | = | 9801 |
| 9801 | - | 1089 | = | 8712 |
| 8712 | - | 2178 | = | 6534 |
| 6534 | - | 4356 | = | 2178 |
| 8712 | - | 2178 | = | 6534 |
| 6534 | - | 4356 | = | 2178 |
| 8712 | - | 2178 | = | 6534 |
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O quadrado perfeito 1185921 produto de 1089 x 1089 apresenta a mesma propriedade do quadrado perfeito 9801, neste exemplo, a partir da quarta subtração, os números 65934 e 21978 começam a se repetirem alternadamente (formando subtrações cíclicas infinamente).
Observação: os números 65934 e 21978 têm em suas formações o algarismo 9.
| Tabela-6 | ||||
| Quadrado Perfeito 1185921 | ||||
| 1089 | x | 1089 | 1185921 | |
| 1295811 | - | 1185921 | 109890 | |
| 109890 | - | 98901 | 10989 | |
| 98901 | - | 10989 | 87912 | |
| 87912 | - | 21978 | 65934 | |
| 65934 | - | 43956 | 21978 | |
| 87912 | - | 21978 | 65934 | |
| 65934 | - | 43956 | 21978 | |
| 87912 | - | 21978 | 65934 | |
| 65934 | - | 43956 | 21978 | |
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1) Todo número de 2 ou mais algarismos menos a soma de seus algarismos é um múltiplo de 3 e de 9;
Exemplos:
11 - 2 = 9
23 - 5 = 18
124 - 7 = 117
Para mais informações veja:
011-estudos-032-soma-algarismos-de-um-numero-parte-1
2) Determinados números adicionados com seus reversos ( inversão de seus algarismos ) podem ter como somas números palíndromos;
Exemplos:
10 + 01 = 11
100 + 001 = 101
108 + 801 = 909
3) Determinados números mais o seu reverso ( inversão de seus algarismos ) não tem como somas números palíndromos;
Exemplos:
19 + 91 = 110
28 + 82 = 110
39 + 93 = 132
109 + 901 = 1010
119 + 911 = 1030
129 + 921 = 1050
A Tabela-7 demonstra as somas dos 21 primeiros números de 100 a 121 com seus reversos.
A adição de determinados 2 números reversos de 3 algarismso têm como somas números palíndromos.
A diferença entre determinados 2 números palíndromos consecutivos formados por 3 algarismos é 101 (coluna D), resultado este, também palíndromo e número primo.
101 é o primeiro número primo formado por 3 algarismos.
| Tabela-7 | |||
| Números Palíndromos | |||
| A | B | C | D |
| número | reverso | soma | diferença |
| (palíndromo) | |||
| 100 | 001 | 101 | 101 |
| 101 | 101 | 202 | 101 |
| 102 | 201 | 303 | 101 |
| 103 | 301 | 404 | 101 |
| 104 | 401 | 505 | 101 |
| 105 | 501 | 606 | 101 |
| 106 | 601 | 707 | 101 |
| 107 | 701 | 808 | 101 |
| 108 | 801 | 909 | 101 |
| 109 | 901 | 1010 | -889 |
| 110 | 11 | 121 | 101 |
| 111 | 111 | 222 | 101 |
| 112 | 211 | 323 | 101 |
| 113 | 311 | 424 | 101 |
| 114 | 411 | 525 | 101 |
| 115 | 511 | 626 | 101 |
| 116 | 611 | 727 | 101 |
| 117 | 711 | 828 | 101 |
| 118 | 811 | 929 | 101 |
| 119 | 911 | 1030 | -889 |
| 120 | 21 | 141 | 101 |
| 121 | 121 | 242 | 101 |
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Fonte: adaptado de: 011-estudos-161-numeros-primos-numeros-palindromos
A Tabela-8 demonstra as diferenças entre os 21 primeiros números de 100 a 121 com seus reversos.
Números de 3 algarismos cujas diferenças entre o primeiro e o terceiro algarismos são 0 (zero) e 1 não geram o número mágico 1089 (células laranjas).
Interessante observar que as duplas de números reversos da (coluna C - diferenças ) e da ( coluna D - reverso) se repetem dentro de sequências de 10 em 10 números naturais.
| Tabela-8 | ||||
| Número 1089 | ||||
| A | B | C | D | E |
| número | reverso | diferença | reverso | número |
| 1089 | ||||
| ( B - A ) | ( C + D ) | |||
| 100 | 1 | -99 | 99 | 0 |
| 101 | 101 | 0 | 0 | 0 |
| 102 | 201 | 99 | 99 | 198 |
| 103 | 301 | 198 | 891 | 1089 |
| 104 | 401 | 297 | 792 | 1089 |
| 105 | 501 | 396 | 693 | 1089 |
| 106 | 601 | 495 | 594 | 1089 |
| 107 | 701 | 594 | 495 | 1089 |
| 108 | 801 | 693 | 396 | 1089 |
| 109 | 901 | 792 | 297 | 1089 |
| 110 | 11 | -99 | 99 | 0 |
| 111 | 111 | 0 | 0 | 0 |
| 112 | 211 | 99 | 99 | 198 |
| 113 | 311 | 198 | 891 | 1089 |
| 114 | 411 | 297 | 792 | 1089 |
| 115 | 511 | 396 | 693 | 1089 |
| 116 | 611 | 495 | 594 | 1089 |
| 117 | 711 | 594 | 495 | 1089 |
| 118 | 811 | 693 | 396 | 1089 |
| 119 | 911 | 792 | 297 | 1089 |
| 120 | 21 | -99 | 99 | 0 |
| 121 | 121 | 0 | 0 | 0 |
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A sequência :
| 198 |
| 297 |
| 396 |
| 495 |
| 594 |
| 693 |
| 792 |
forma uma progressão aritmética finita cujo primeiro termo é 198 e razão 99.
Separando os termos em classes:
a) na classe das unidades, os algarismos estão em ordem decrescente;
b) na classe das centenas, os algarismos estão em ordem crescente;
c) nas classe das unidades e centenas, os algarismos equidistantes somam 9;
b) na classe das dezenas, os algarismos são sempre 9.
| Tabela-7 | ||||
| centenas | dezenas | unidades | ||
| 198 | = | 1 | 9 | 8 |
| 297 | = | 2 | 9 | 7 |
| 396 | = | 3 | 9 | 6 |
| 495 | = | 4 | 9 | 5 |
| 594 | = | 5 | 9 | 4 |
| 693 | = | 6 | 9 | 3 |
| 792 | = | 7 | 9 | 2 |
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A sequência:
| 891 |
| 792 |
| 693 |
| 594 |
| 495 |
| 396 |
| 297 |
forma uma progressão aritmética finita decrescente cujo primeiro termo é 891 e razão -99.
Subtraindo números naturais de 1 até (1089 ± 1)/2, obtêm-se as 4 duplas de números ( subtraendos e diferenças ) cujos números de 3 algarismos são de ordens reversas é que somados têm como resultados o número 1089.
A diferença entre cada ordem / posição dos números reversos é 99.
| Tabela-8 | ||||||
| Número 1089 e | ||||||
| Subtrações Sucessivas | ||||||
| minuedo | subtraendo | diferença | ||||
| ordem / posição | ||||||
| 198 | 1089 | - | 198 | = | 891 | |
| ( 99 ) | ||||||
| 297 | 1089 | - | 297 | = | 792 | |
| ( 99 ) | ||||||
| 396 | 1089 | - | 396 | = | 693 | |
| ( 99 ) | ||||||
| = | ||||||
| 495 | 1089 | - | 495 | 594 | ||
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Interesantíssimo destacar que nos estudos do Sr. Shyam Sunder Gupta ( Former Principal Chief Engineer, North Western Railway, Jaipur, India-302017 ), ele descobriu que determinados números e seus reversos têm as seguintes propriedades:
a) a adição tem como soma um número quadrado perfeito;
56 + 65 = 121
b) a subtração tem como diferença também um número quadrado perfeito;
65 - 56 = 9
Para mais informações veja estudo:
Autor: Ricardo Silva - agosto/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
https://en.wikipedia.org/wiki/1089_(number)
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