Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Número 6174 de Kaprekar - 292

Número natural multiplicado pela sequência de números naturais têm como resultados múltiplos desse número, por exemplo, o número 2 multiplicado por alguns números naturais:

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

A partir de um determinado múltiplo de 2, no exemplo, o 8, subtraindo o 2 constantemente, chegaremos ao próprio 2.

8 - 2 = 6

6 - 2 = 4

4 - 2 = 2

Número palíndromo, ou capicua é um número que pode ser lido da esquerda para à direita quanto da direita para à esquerda invertendo as posições dos seus algarismos.

A cada 10 números, na sequência dos números naturais, há um número palíndromo:

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,101,...

Número palíndromo também pode ser formado através do seguinte método:

a) escolhe-se um número, por exemplo, o 100;

b) inverte-se seus algarismos 001;

c) some o número 100 com o número formado com a inversão dos algarismos 001;

100 + 001 = 101

101 é um número palíndromo.

Neste exemplo, o palíndromo foi formado em uma só etapa, isto é, em uma só operação de adição.

Há casos em que o processo tem que ser repetido várias vezes até se chegar a um palíndromo.

O único número resistente em formar palíndromo é o enigmático número 196 que é o número quadrado de 14.

Foram feitas centenas de milhares de etapas utilizando computador e não obtiveram êxito em formar palíndromo a partir do enigmático número 196.

O número 6174

Em 1949, Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986), apresentou na Madras Mathematical Conference, Índia, um estudo referente ao número 6174 que posteriormente ficou conhecido como Constante de Kaprekar.

Invertendo os algarismos do número 6174 em ordem decrescente e posteriomente em ordem crescente e subtraindo o menor do maior, a diferença retorna ao próprio número.

Em seus estudos, Kraprekar verificou que esta propriedade matemática acontecem em outros números com quatro algarismos, cujos resultados também retornam ao número 6174.

O número 6174 e números com 4 algarismos

Número 0001

Número 9998

Número 6174 Kaprekar e ano de nascimento 1965

Prezado leitor, você pode fazer os cálculos com o ano do seu nascimento.

Aqui um exemplo, com a ano do meu nascimento, 1965.

O número 495 e números com 3 algarismos

Semelhante à propriedade do número 6147, acontece também em números com 3 algarismos, mas com a constante 495.

Número 102

Número 998

O número 6174 e propriedades numéricas

Fatores primos: 2 x 3 x 3 x 7 x 7 x 7

D(6174):{1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174}

Quantidade de divisores: 24

O número 6174 é Harshar, pois é divisível pela soma dos seus dígitos:

6 + 1 + 7 + 4 = 18

6174 : 18 = 343

18 e 343 são divisores de 6174.

O número 6174 pode ser escrito com potências de base 18:

18¹ + 18² + 18³ = 5832 + 324 + 18 = 6174

A soma dos quadrados dos fatores primos de 6174 é um quadrado:

2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² =

= 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 =

= 169 = 13²;

Em trabalho publicado no International Journal of Pure and Applied Mathematics - Volume 80 No. 3 2012, 363-373 - ISSN: 1311-8080 (printed version) - url: http://www.ijpam.eu - THE WEIRDNESS OF NUMBER 6174, do Professor de Economia Yutaka Nishiyama e que em partes também estão no WebSite:

https://plus.maths.org/content/os/issue38/features/nishiyama/index,

o professor verificou que no máximo em 7 etapas se chega ao número 6174 com números de 4 algarismos.

O professor Hishiyama apresentou também detalhes estatísticos de outro estudo com números de até 10 algarismos de um artigo de Malcom Lines que demonstra que não ocorrem constantes para números de 2, 5 e 7 algarismos.

Fonte: Nishiyama, Yutaka. The Weidness of number 6174

O número 6174 e seus algarismos

Os algarismos do número 6174 também aparecem nas constantes: 631764, 63317664, 6333176664 com os algarismos 1 e 7 na posição central e os algarismos 6 e 4 nos extremos, intermediados pelos algarismos 3 e 6

Estudos publicados no livro digital Os Fantásticos Números Primos no ano de 2012 e que hoje se encontram no novo livro digital Tabuada de Phytagoras e Sequências núméricas demonstra uma sequência numérica embutida na própria Tabuada de Pythagoras, também denominada de Tabuada de Multiplicação com as seguintes características:

a) números ímpares se encontram alinhados à diagonal secundária da Tabuada de Pythagoras / Tabuada de Multiplicação;

b) a quantidade de cada número ímpar em cada diagonal tem com referência o seu antecessor.

c) cada número ímpar elevado à quantidade de vezes em que aparecem em cada diagonal é possível de se formar sequência de potências de números ímpares elevados a expoentes ímpares:

3¹, 5³, 7⁵, 9⁷, 11⁹, 13¹¹,...

Baseando-se no mesmo processo de Kaprekar, fez-se cálculos com números de 5 algarismos com as seguintes ocorrências:

a) os cálculos formaram diferentes constantes;

b) repetindo-se os cálculos, as constantes também retornam ao mesmo número.

Número 16.935

Número obtido da soma das potências da sequência originada da Tabuada de Pythagoras:

3 + 125 + 16.807 = 16.935

Observações:

a) nas quarta e nona contas, os números 61974 se repetem.

b) os algarismos do número 6174 aparecem também no número 61974 com o algarismo 9 como termo central.

Número 10.002 e 99.998

Os números 10.002 e 99.998 são números equidistantes.

As diferenças apresentam o mesmo número nas subtrações.

Número 10.999

Nas quarta e décima-segunda contas, a constante 74.943 é a mesma em relação aos cáclulos anteriores com os número 10.002 e 99.998.

Interessante observar que repetindo-se os cálculos chega-se novamente a constante 74.943.

Autor: Ricardo Silva - outubro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

https://plus.maths.org/content/os/issue38/features/nishiyama/index,

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