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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Número 6174 de Kaprekar - 292

Número natural multiplicado pela sequência de números naturais têm como resultados múltiplos desse número, por exemplo, o número 2 multiplicado por alguns número naturais:

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

A partir de um determinado múltiplo de 2, no exemplo o 8, subtraindo o 2 constantemente, chegaremos ao próprio 2.

8 - 2 = 6

6 - 2 = 4

4 - 2 = 2

Número palíndromo, ou capicua é um número que pode ser lido da esquerda para à direita quanto da direita para à esquerda invertendo as posições dos seus algarismos.

A cada 10 números, na sequência dos números naturais, há um número palíndromo:

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,101,...

Número palíndromo também pode ser formado através do seguinte método:

a) escolhe-se um número, por exemplo, o 100;

b) inverte-se seus algarismos 001;

c) some o número 100 com o número formado com a inversão dos algarismos 001;

100 + 001 = 101

101 é um número palíndromo.

Neste exemplo, o palíndromo foi formado em uma só etapa, isto é, em uma só operação de adição.

Há casos em que o processo tem que ser repetido várias vezes até se chegar a um palíndromo.

O único número resistente em formar palíndromo é o enigmático número 196 que é o número quadrado de 14. Foram feitas centenas de milhares de etapas utilizando computador e não obtiveram êxito em formar palíndromo.

O número 6174

números 6174 de Kaprekar

Em 1949, Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986), apresentou na Madras Mathematical Conference, Índia, um estudo referente ao número 6174 que posteriormente ficou conhecido como Constante de Kaprekar.

Invertendo os algarismos do número 6174 em ordem decrescente e posteriomente em ordem crescente e subtraindo o menor do maior, a diferença retorna ao próprio número.

  7 6 4 1
  1 4 6 7
-        
  6 1 7 4

Em seus estudos, Kraprekar verificou que esta propriedade matemática acontem em outros números com quatro algarismos, cujos resultados também retornam ao número 6174.

O número 6174 e números com 4 algarismos

Número 0001

primeira conta   1000
- 0001
  999
     
segunda conta   9990
- 0999
  8991
     
terceira conta   9981
- 1899
  8082
     
quarta conta   8820
- 0288
  8532
     
quinta conta   8532
- 2358
  6174

Número 9998

primeira conta   9998
- 8999
  0999
     
segunda conta   9990
- 0999
  8991
     
terceira conta   9981
- 1899
  8082
     
quarta conta   8820
- 0288
  8532
     
quinta conta   8532
- 2358
  6174

Número 6174 Kaprekar e ano de nascimento 1965

Prezado leitor, você pode fazer os cálculos com o ano do seu nascimento.

Aqui um exemplo, com a ano do meu nascimento, 1965.

primeira conta   9651
- 1569
  8082
     
segunda conta   8820
- 0288
  8532
     
terceira conta   8532
- 2358
  6174

O número 495 e números com 3 algarismos

Semelhante à propriedade do número 6147, acontece também em números com 3 algarismos, mas com a constante 495.

Número 102

primeira conta   201
- 012
  189
     
segunda conta   972
- 279
  693
     
terceira conta   963
- 369
  594
     
quarta conta   954
- 459
  495

Número 998

primeira conta   998
- 899
  099
     
segunda conta   990
- 099
  891
     
terceira conta   981
- 189
  792
     
quarta conta   972
- 279
  693
     
quinta conta   963
- 369
  594
     
sexta conta   954
- 459
  495

O número 6174 e propriedades numéricas

Fatores primos: 2 x 3 x 3 x 7 x 7 x 7

D(6174):{ 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174}

Quantidade de divisores: 24

O número 6174 é Harshar, pois é divisível pela soma dos seus dígitos:

6 + 1 + 7 + 4 = 18

6174 : 18 = 343

18 e 343 são divisores de 6174.

O número 6174 pode ser escrito com potências de base 18:

181 + 182 + 183 = 5832 + 324 + 18 = 6174

A soma dos quadrados dos fatores primos de 6174 é um quadrado:

22 + 32 + 32 + 72 + 72 + 72 =

= 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 =

= 169 = 132;

Em trabalho publicado no International Journal of Pure and Applied Mathematics - Volume 80 No. 3 2012, 363-373 - ISSN: 1311-8080 (printed version) - url: http://www.ijpam.eu - THE WEIRDNESS OF NUMBER 6174, do Professor de Economia Yutaka Nishiyama e que em partes também estão no WebSite:

https://plus.maths.org/content/os/issue38/features/nishiyama/index,

o professor verificou que no máximo em 7 etapas se chega ao número 6174 com números de 4 algarismos.

O professor Hishiyama apresentou também detalhes estatísticos de outro estudo com números de até 10 algarismos de um artigo de Malcom Lines que demonstra que não ocorrem constantes para números de 2, 5 e 7 algarismos.

Digits Kernel    
       
2 None    
3 495    
4 6174    
5 None    
6 549945 631764  
7 None    
8 63317664 97508421  
9 554999445 864197532  
10 6333176664 9753086421 9975084201

Fonte: Nishiyama, Yutaka. The Weidness of number 6174

O número 6174 e seus algarismos

Os algarismos do número 6174 também aparecem nas constantes: 631764, 63317664, 6333176664 com os algarismos 1 e 7 na posição central e os algarismos 6 e 4 nos extremos, intermediados pelos algarismos 3 e 6

6174
 
631764
 
63317664
 
6333176664
 

Estudos publicados no livro digital Os Fantásticos Números Primos no ano de 2012 e que hoje se encontram no novo livro digital Tabuada de Phytagoras e Sequências núméricas demonstra uma sequência numérica embutida na própria Tabuada de Pythagoras, também denominada de Tabuada de Multiplicação com as seguintes características:

Número nas diagonais frequência antecessor
     
3 1  
     
5, 5, 5 3 3
     
7, 7, 7, 7, 7 5 5
     
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9 7 7
     
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11 9 9
     
www.osfantasticosnúmerosprimos.com.br

a) números ímpares se encontram alinhados à diagonal secundária da Tabuada de Pythagoras / Tabuada de Multiplicação;

b) a quantidade de cada número ímpar em cada diagonal tem com referência o seu antecessor.

c) cada número ímpar elevado à quantidade de vezes em que aparecem em cada diagonal é possível de se formar sequência de potências de números ímpares elevados a expoentes ímpares:

31, 53, 75, 97, 119, 1311,...

Potências de números ímpares
    soma
base/expoente potência consecutiva
     
31 3 3
     
53 125 128
     
75 16.807 16.935
     
97 4.782.969 4.799.904
     
119 2.357.947.691 2.362.747.595
 
www.osfantasticosnúmerosprimos.com.br

Baseando-se no mesmo processo de Kaprekar, fez-se cálculos com números de 5 algarismos com as seguintes ocorrências:

a) os cálculos formaram diferentes constantes;

b) repetindo-se os cálculos, as constantes também retornam ao mesmo número.

Número 16.935

Número obtido da soma das potências da sequência originada da Tabuada de Pythagoras:

3 + 125 + 16.807 = 16.935

Observações:

a) na quarta e nona contas, os números 61974 se repetem.

b) os algarismos do número 6174 aparecem também no número 61974 com o algarismo 9 como termo central.

primeira conta   96531
- 13569
  82962
     
segunda conta   98622
- 22689
  75933
     
terceira conta   97533
- 33579
  63954
     
quarta conta   96543
  34569
  61974
     
quinta conta   97641
- 14679
  82962
     
sexta conta   98622
- 22689
  75933
     
sétima conta   97533
- 33579
  63954
     
oitava conta   96543
- 34569
  61974

Número 10.002 e 99.998

Os números 10.002 e 99.998 são números equidistantes.

As diferenças apresentam o mesmo número nas subtrações.

primeira conta 20001 primeira conta 99998
- 10002 - 89999
9999 9999
       
segunda conta 99990 segunda conta 99990
- 9999 - 9999
89991 89991
       
terceira conta 99981 terceira conta 99981
- 18999 - 18999
80982 80982
       
quarta conta 98820 quarta conta 98820
- 2889 - 2889
95931 95931
       
quinta conta 99531 quinta conta 99531
- 13599 - 13599
85932 85932
       
sexta conta 98532 sexta conta 98532
- 23589 - 23589
74943 74943

Número 10.999

Nas quarta e décima-segunda contas, a constante 74.943 é a mesma em relação aos cáclulos anteriores com os número 10.002 e 99.998.

Interessante observar que repetindo-se os cálculos chega-se novamente a constante 74.943.

primeira conta   99910
- 1999
  97911
     
segunda conta   99711
- 11799
  87912
     
terceira conta   98721
- 12789
  85932
     
quarta conta   98532
- 23589
  74943
     
quinta conta   97443
- 34479
  62964
     
sexta conta   96642
- 24669
  71973
     
sétima conta   97713
- 13779
  83934
     
oitava conta   98433
- 33489
  64944
     
nona conta   96444
- 44469
  51975
     
     
décima conta   97551
- 15579
  81972
     
décima-primeira conta   98721
- 12789
  85932
     
décima-segunda conta   98532
- 23589
  74943

 

Autor: Ricardo Silva - outubro/2019

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

https://plus.maths.org/content/os/issue38/features/nishiyama/index,

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