Um número palíndromo ou capicua é um número que pode ser lido da esquerda para direita ou da direita para esquerda. Invertendo as posições dos seus algarismos o seu valor continua sendo o mesmo.
Este ano de 2018, a Cidade de São Paulo está comemorando 464 anos, 464 é um número palíndromo, um número capicua.
Será que é possível saber que número, ou números possam gerar ou ter gerado o palíndromo 464, isto é, descobrir o número base gerador desse palíndromo?
Esta pergunta fiz a mim mesmo, observando que o primeiro palíndromo com dois algarismos é o número primo 11 e ele é gerado da seguinte forma:
10 + 01 = 11
Como 464 é um número par, pode-se dividí-lo por 2:
464 : 2 = 232
232 é um dos geradores do palíndromo 464.
Verificando-se a tabela abaixo, temos também, os números 133 e 331:
133 + 331 = 464
331 + 133 = 464
O número 131 é um número primo e palíndromo, analisando-o, vemos que não há outro número que possamos inverter os algarismos e somá-los para obtê-lo, podemos denominá-lo de palíndromo natural ou primitivo, pois a partir dele pode se gerar outros palíndromos.
131 + 131 = 262
262 + 262 = 524
524 + 425 = 949
Com as mesmas características do primo palíndromo 131 com três algarismos, temos: 151, 191, 353, 373, 757, 797, 919 cujos termos centrais são ímpares.
Verificando a tabela abaixo, números primos palíndromos de três algarismos que podem ser formados de outros números tem o seu termo central um número par.
O primeiro número primo palíndromo de três algarismos é o 101.
100 + 001 = 101 - primo - termo central 0
110 + 011 = 121
120 + 021 = 141
130 + 031 = 161
140 + 041 = 181 - primo - termo central 8
142 + 241 = 383 - primo - termo central 8
116 + 611 = 727 - primo - termo central 2
146 + 641 = 787 - primo - termo central 8
118 + 811 = 929 - primo - termo central 2
A presente tabela é parte da sequência de números formados por três algarismos de 100 a 999 e que foram utilizados para gerarem números palíndromos, os quais são analisados as seguintes regularidades numéricas em sua construção:
a) a diferença entre as somas tem um valor constante de 101;
b) 101 é um número primo;
c) os números primos palíndromos de três algarismos tem como termo central um número par (células amarela);
| Tabela de formação de números palíndromos /capicuas |
|||
|---|---|---|---|
| Número | Inverso | Soma / Capicua |
Diferença |
| 100 | 001 | 101 | 101 |
| 101 | 101 | 202 | 101 |
| 102 | 201 | 303 | 101 |
| 103 | 301 | 404 | 101 |
| 104 | 401 | 505 | 101 |
| 105 | 501 | 606 | 101 |
| 106 | 601 | 707 | 101 |
| 107 | 701 | 808 | 101 |
| 108 | 801 | 909 | 101 |
| 109 | 901 | 1010 | |
| 110 | 011 | 121 | 101 |
| 111 | 111 | 222 | 101 |
| 112 | 211 | 323 | 101 |
| 113 | 311 | 424 | 101 |
| 114 | 411 | 525 | 101 |
| 115 | 511 | 626 | 101 |
| 116 | 611 | 727 | 101 |
| 117 | 711 | 828 | 101 |
| 118 | 811 | 929 | 101 |
| 119 | 911 | 1030 | |
| 120 | 021 | 141 | 101 |
| 121 | 121 | 242 | 101 |
| 122 | 221 | 343 | 101 |
| 123 | 321 | 444 | 101 |
| 124 | 421 | 545 | 101 |
| 125 | 521 | 646 | 101 |
| 126 | 621 | 747 | 101 |
| 127 | 721 | 848 | 101 |
| 128 | 821 | 949 | 101 |
| 129 | 921 | 1050 | |
| 130 | 031 | 161 | 101 |
| 131 | 131 | 262 | 101 |
| 132 | 231 | 363 | 101 |
| 133 | 331 | 464 | 101 |
| 134 | 431 | 565 | 101 |
| 135 | 531 | 666 | 101 |
| 136 | 631 | 767 | 101 |
| 137 | 731 | 868 | 101 |
| 138 | 831 | 969 | 101 |
| 139 | 931 | 1070 | |
| 140 | 041 | 181 | 101 |
| 141 | 141 | 282 | 101 |
| 142 | 241 | 383 | 101 |
| 143 | 341 | 484 | 101 |
| 144 | 441 | 585 | 101 |
| 145 | 541 | 686 | 101 |
| 146 | 641 | 787 | 101 |
| 147 | 741 | 888 | 101 |
| 148 | 841 | 989 | 101 |
| 149 | 941 | 1090 | |
| 150 | 051 | 201 | 101 |
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d) dos números 149 a 199; 248 a 299; 347 a 399, invertendo seus algarismos e somando-os, não geram números palíndromos na primeira soma.
| Tabela de formação de números palíndromos /capicuas |
|||
|---|---|---|---|
| Número | Inverso | Soma / Capicua |
Diferença |
| 149 | 941 | 1090 | |
| 150 | 51 | 201 | 101 |
| 151 | 151 | 302 | 101 |
| 152 | 251 | 403 | 101 |
| 153 | 351 | 504 | 101 |
| 154 | 451 | 605 | 101 |
| 155 | 551 | 706 | 101 |
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| Tabela de formação de números palíndromos/ capicuas |
|||
|---|---|---|---|
| Número | Inverso | Soma / Capicua |
Diferença |
| 248 | 842 | 1090 | 101 |
| 249 | 942 | 1191 | |
| 250 | 52 | 302 | 101 |
| 251 | 152 | 403 | 101 |
| 252 | 252 | 504 | 101 |
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| Tabela de formação de números palíndromos/ capicuas |
|||
|---|---|---|---|
| Número | Inverso | Soma / Capicua |
Diferença |
| 347 | 743 | 1090 | 101 |
| 348 | 843 | 1191 | 101 |
| 349 | 943 | 1192 | |
| 350 | 53 | 403 | 101 |
| 351 | 153 | 504 | 101 |
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Autor: Ricardo Silva - janeiro/2018
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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