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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e números binários - 138

Com as 26 letras do alfabeto latino: a, b, c, d, e, f, g, h., i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y e z podemos escrever mais de 400.000 palavras em português brasileiro, as quais estão atualmente registradas em dicionários, sem contar como novas palavras, gírias, neologismos e termos técnicos que vão surgindo.

Com as 3 cores básicas: vermelho, verde e azul podem-se criar outras milhões de cores com as mais diversas tonalidades, saturações e brilhos.

Se somarmos riscos, nós, pedrinhas, varetas, objetos quaisquer ou mesmo o algarimo 1 (um) tantas vezes o necessário podemos representar quantidades através de unidades, dezenas, centenas, milhares, bilhões, etc, mas fica inviavél para fazer cálculos complexos.

Com os dez algarismos indo-arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 podemos representar simbolicamente quaisquer números e infinitas quantidades, fazer contagens, efetuar medidas, cálculos, equações, etc.

Por meio de produto de números primos, pode-se obter números compostos e consequentemente quaisquer números compostos podem ser decompostos em fatores primos.

Os algarimos 0 e 1 são utilizados como símbolos em sistemas eletrônicos digitais por ser a forma mais simples de se representar pulsos elétricos.

Quando ocorre a passagem de energia elétrica, há um pulso elétrico e é representando pelo símbolo 1.

Quando não há a passagem de energia elétrica, não há pulso elétrico e é representado pelo símbolo 0.

O conjunto destes dois símbolos é denominado de bit e o conjuntos de 8 bits e denominado de Byte.

Há 256 maneiras diferentes de se formar um Byte com os bit 0 e o bit 1, de forma que se podem representar letras do alfabeto, algarismos, cores e códigos especiais, com os quais podemos através do computador desenvolver as mais diversas atividades dependendo do software em que se está trabalhando.

Os primeiros softwares lançados no mercado foram editores de texto e planilhas eletrônicas. Em 1990, tive contato com o bom velho XT, cujo monitor era verde, não rodava Windows e aprendi a operar no editor de texto WordStar.

Números binários e decimais

Analisando a Tabela abaixo, pode-se constatar regularidades entre números binários e números decimais, vejamos:

a) números binários terminados em 0, correspondem a números pares decimais;

b) números binários terminados em 1, correspondem a números ímpares decimais;

c) números binários que correspondem a uma potência de base 2, quando convertidos a números binários são potências de base 10: 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, etc.;

Tabela 1 - Correspondência de
números binários
e números decimais
 
Binário   Decimal
0   0
1   1
10   2
11   3
100   4
101   5
110   6
111   7
1000   8
1001   9
1010   10
1011   11
1100   12
1101   13
1110   14
1111   15
10000   16
10001   17
10010   18
10011   19
10100   20

Potências de base 2 e números binários

A correspondência de cada Potência de base 2 com os números binários apresentam uma simetria de forma que os números binários apresentam-se em forma de triângulo.

O expoente (N) é a mesma quantidade do bit 0 em de cada número binário.

Tabela 2 - Correspondência
de potências de base 2
e números binários
     
N Decimal Binário
  2N  
0 1 1
1 2 10
2 4 100
3 8 1000
4 16 10000
5 32 100000
6 64 1000000
7 128 10000000
8 256 100000000
9 512 1000000000
10 1.024 10000000000
11 2.048 100000000000
12 4.096 1000000000000
13 8.192 10000000000000
14 16.384 100000000000000
15 32.768 1000000000000000
16 65.536 10000000000000000
17 131.072 100000000000000000
18 262.144 1000000000000000000
19 524.288 10000000000000000000

Números de Mersenne e números binários

A correspondência de Números de Mersenne com os números binários apresentam uma simetria de forma que os números binários apresetam-se em forma de triângulo.

O expoente (N) é a mesma quantidade do bit 1 em de cada número binário.

Na Tabela 1 - cada potência de base 2 convertida em binário equivale a uma potência de 10: 10, 100, 1000, etc.

Os Números de Mersenne são potências de base 2 menos 1 unidade, que convertidos em binários, apresentam o bit 1 como padrão em suas formações.

Tabela - 3 Correspondência de
Números de Mersenne
e números binários
     
N Decimal Binário
  2N - 1  
1 1 1
2 3 11
3 7 111
4 15 1111
5 31 11111
6 63 111111
7 127 1111111
8 255 11111111
9 511 111111111
10 1.023 1111111111
11 2.047 11111111111
12 4.095 111111111111
13 8.191 1111111111111
14 16.383 11111111111111
15 32.767 111111111111111
16 65.535 1111111111111111
17 131.071 11111111111111111
18 262.143 111111111111111111
19 524.287 1111111111111111111

Fonte: Guimarães, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Compuação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992.

Números de Fermat e números binários

A correspondência de Números de Fermat com os números binários apresentam uma simetria em relação aos extremos, pois apresentam sempre o bit 1.

As quantidades de Bit 0 em cada número binário nestes exemplos, seguem a sequência 1, 3, 7, 15 e 31, uma potência de 2 menos 1 unidade.

Os Números de Fermat tem como resultados potências de base 2, por potência 2 por N mais 1 unidade e que a partir do número 5 (potência 4 + 1), o Bit 0 se repete a uma potência de base 2 menos 1 unidade.

Os Bits 0 que se que se repetem nos Números de Fermat têm correspondências com os Números de Mersenne, pois eles são em quantidades ao Números de Mersenne.

Observação: o número de Fermat 4.294.967.297 não é primo.

Tabela - 4 Correspondência de
Números de Fermat
e números binários
       
N Decimal Binário Mersenne/
Zeros
  22N +1    
0 3 11  
1 5 101 1 zero
2 17 10001 3 zeros
3 257 100000001 7 zeros
4 65.537 100...001 15 zeros
5 4.294.967.297 100...001 31 zeros

Bibliografia

Fonte: Guimarães, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Compuação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992.

Autor: Ricardo Silva - maio/2017

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