capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos e números binários - 138

Com as 26 letras do alfabeto latino: a, b, c, d, e, f, g, h., i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y e z podemos escrever mais de 400.000 palavras em português brasileiro, as quais estão atualmente registradas em dicionários, sem contar como novas palavras, gírias, neologismos e termos técnicos que vão surgindo.

Com as 3 cores básicas: vermelho, verde e azul podem ser criadas outras milhões de cores com as mais diversas tonalidades, saturações e brilhos.

Se somarmos riscos, nós, pedrinhas, varetas, objetos quaisquer ou mesmo o algarismo 1 (um) tantas vezes o necessário, podemos representar quantidades através de unidades, dezenas, centenas, milhares, bilhões, etc, mas fica inviavél para fazer cálculos complexos.

Com os dez algarismos indo-arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 podemos representar simbolicamente quaisquer números e infinitas quantidades, fazer contagens, efetuar medidas, cálculos, equações, etc.

Por meio de produto de números primos, pode-se obter números compostos e consequentemente quaisquer números compostos podem ser decompostos em fatores primos.

Os algarismos 0 e 1 são utilizados como símbolos em sistemas eletrônicos digitais por ser a forma mais simples de se representar pulsos elétricos.

Quando ocorre a passagem de energia elétrica, há um pulso elétrico e é representando pelo símbolo 1.

Quando não há a passagem de energia elétrica, não há pulso elétrico e é representado pelo símbolo 0.

O conjunto destes dois símbolos é denominado de bit e o conjuntos de 8 bits e denominado de Byte.

Há 256 maneiras diferentes de se formar um Byte com os bit 0 e o bit 1, de forma que se podem representar letras do alfabetos, algarismos, cores e códigos especiais, com os quais podemos através do computador desenvolver as mais diversas atividades dependendo do software (programa de computador, aplicativo) em que se está trabalhando.

Os primeiros softwares aplicativos lançados no mercado foram editores de texto e planilhas eletrônicas. Em 1990, tive contato com o bom velho XT, cujo monitor era verde, não rodava Windows e aprendi a operar no editor de texto WordStar.

Números binários e decimais

Analisando a Tabela abaixo, pode-se constatar regularidades entre números binários e números decimais, vejamos:

a) números binários terminados em 0, correspondem a números pares decimais;

b) números binários terminados em 1, correspondem a números ímpares decimais;

c) números binários que correspondem a uma potência de base 2, quando convertidos a números binários são potências de base 10: 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, etc.;

Tabela 1
Números binários e números decimais

Binário		Decimal
0		0
1		1
10		2
11		3
100		4
101		5
110		6
111		7
1000		8
1001		9
1010		10
1011		11
1100		12
1101		13
1110		14
1111		15
10000		16
10001		17
10010		18
10011		19
10100		20

Potências de base 2 e números binários

A correspondência de cada Potência de base 2 com os números binários apresentam uma simetria de forma que os números binários apresentam-se em forma de triângulo.

O expoente (N) é a mesma quantidade do bit 0 em de cada número binário.

Tabela 2
Potências de base 2 e números binários

N	Decimal	Binário

	2^N
0	1	1
1	2	10
2	4	100
3	8	1000
4	16	10000
5	32	100000
6	64	1000000
7	128	10000000
8	256	100000000
9	512	1000000000
10	1.024	10000000000
11	2.048	100000000000
12	4.096	1000000000000
13	8.192	10000000000000
14	16.384	100000000000000
15	32.768	1000000000000000
16	65.536	10000000000000000
17	131.072	100000000000000000
18	262.144	1000000000000000000
19	524.288	10000000000000000000

Números de Mersenne e números binários

A correspondência de Números de Mersenne com os números binários apresentam uma simetria de forma que os números binários apresemtam-se em forma de triângulo.

O expoente (N) é a mesma quantidade do bit 1 em de cada número binário.

Na Tabela 1, cada potência de base 2 convertida em binário equivale a uma potência de 10: 10, 100, 1000, etc.

Os Números de Mersenne são potências de base 2 menos 1 unidade, que convertidos em binários, apresentam o bit 1 como padrão em suas formações.

Tabela - 3
Números de Mersenne e números binários

N	Decimal	Binário

	2^N - 1
1	1	1
2	3	11
3	7	111
4	15	1111
5	31	11111
6	63	111111
7	127	1111111
8	255	11111111
9	511	111111111
10	1.023	1111111111
11	2.047	11111111111
12	4.095	111111111111
13	8.191	1111111111111
14	16.383	11111111111111
15	32.767	111111111111111
16	65.535	1111111111111111
17	131.071	11111111111111111
18	262.143	111111111111111111
19	524.287	1111111111111111111

Fonte: Guimarães, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Compuação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992.

Números de Fermat e números binários

A correspondência de Números de Fermat com os números binários apresentam uma simetria em relação aos extremos, pois apresentam sempre o bit 1.

As quantidades de Bit 0 em cada número binário nestes exemplos, seguem a sequência 1, 3, 7, 15 e 31, uma potência de 2 menos 1 unidade.

Os Números de Fermat tem como resultados potências de base 2, por potência 2 por N mais 1 unidade e que a partir do número 5 (potência 4 + 1), o Bit 0 se repete a uma potência de base 2 menos 1 unidade.

Os Bits 0 que se que se repetem nos Números de Fermat têm correspondências com os Números de Mersenne, pois eles são em quantidades aos Números de Mersenne.

Observação: o número de Fermat 4.294.967.297 não é número primo.

Tabela - 4
Números de Fermat e números binários

N	Decimal	Binário	Mersenne/ Zeros

	2²^N +1
0	3	11
1	5	101	1 zero
2	17	10001	3 zeros
3	257	100000001	7 zeros
4	65.537	10000...00001	15 zeros
5	4.294.967.297	100000...000001	31 zeros

Autor: Ricardo Silva - maio/2017

Fontes bibliograficas:

Fonte: Guimarães, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Compuação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992.