Um número capicua ou palíndromo é um número que pode ser lido da esquerda para direita ou da direita para esquerda. Invertendo as posições dos seus algarismos o seu valor continua sendo o mesmo.
O números 11, 22, 33, 44 e outros..., invertendo-se as posições dos seus algarismos, os valores continuam sendo os mesmos.
A partir da sequência de números com dois algarismos de 10 a 99, foram obtidos alguns números capicuas, seguindo o método descrito abaixo, interessante observar que não foi possível formar 100% de capicuas, havendo uma mesma ruptura quando se tenta gerar números capicuas a partir de números formados com três algarismos.
Há números que quando utilizado o método da inversão de algarismos e somados, logo na primeira soma ocorre um número capicua, enquanto outros não se conseguem gerar números capicuas na primeira soma, precisando-se de várias etapas para se obter um número capicua.
Um método prático para se obter um número capicua é escolher aleatoriamente um número, inverter seus algarismos e somar com o número escolhido.
Exemplo 1)
Número: 12
Inverte-se os algarismos: 21
12 + 21 = 33
Exemplo 2)
Número: 19
Inverte-se os algarismos: 91
19 + 91 = 110 (não é um número capicúa, repetimos o processo)
110 + 011 = 121
Pode-se obter números capicuas pela multiplicação de determinados múltiplos de 3 por 37.
3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37 = 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999
33 x 37 = 1221
66 x 37 = 2442
99 x 37 = 3663
132 x 37 = 4884
Alguns múltiplos de 9 multiplicado pela sequência 12345679 têm como produtos números capicúas.
Observação: na sequência 12345679 não há o algarismo 8.
12345679 x 9 = 111.111.111
12345679 x 18 = 222.222.222
12345679 x 27 = 333.333.333
12345679 x 36 = 444.444.444
12345679 x 45 = 555.555.555
12345679 x 54 = 666.666.666
12345679 x 63 = 777.777.777
12345679 x 72 = 888.888.888
12345679 x 81 = 999.999.999
A soma dos algarismos de cada produto é um múltiplo de 9.
Exemplo)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9
Os números de Mersenne quando convertidos em números binários tem como formação sempre o algarismo 1.
1 = 1
3 = 11
7 = 111
15 = 1111
31 = 11111
Os números de Fermat quando convertidos em números binários tem como formação sempre o algarismo 1 nos extremos e zeros na parte central a partir do número 101.
3 = 11
5 = 101
17 = 10001
257 = 100000001
65.537 = 10000000000000001
Números formados pela repetição do algarismo 1 e elevado ao quadrado produz números capicuas.
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
Na presente tabela são apresentados alguns números capicuas formados a partir de números de dois algarismos, do 10 ao 99, os quais foram invertidos os seus algarismos e posteriormente somados.
A tabela apresenta padrões e regularidades numéricas na formação de números capicúas em relação ao número primo 11:
a) as somas são múltiplos de 11;
b) a cada faixa de 9 linhas, a diferença 11 é constante;
c) 11 é primo e é o primeiro capicua de dois algarismos formado pela soma:
10 + 01 = 11
d) dos 90 números - 9 são capicúas e 8 não são capicúas (células amarela).
Da mesma forma que a obtenção de números capicuas a partir de números formados por três algarismos, os capicuas gerados por números de dois algarimos podem ser gerados mais de uma vez, a partir do capicua 22, excetuando-se o capicua 11.
11 não repete
22 repete 2 vezes
33 repete 3 vezes
44 repete 4 vezes
66 repete 6 vezes
77 repete 7 vezes
88 repete 8 vezes
99 repete 9 vezes
121 repete 8 vezes
Na tabela aparecem os números 110, 132, 143, 154, 165, 176, 187 e 198 que não são capicuas, mas são números múltiplos de 11.
Repetições de números acontecem também com capicuas gerados a partir de números com três algarismos.
110 não é capicua, mas é multiplo de 11, e podemos obtê-lo pelas somas:
19 + 91 = 110
28 + 82 = 110
37 + 73 = 110
46 + 64 = 110
55 + 55 = 110
64 + 46 = 110
73 + 37 = 110
82 + 28 = 110
91 + 19 = 110
invertendo os seus algarismos e somando os números:
110 + 011 = 121
é capicua e quadrado de 11.
132 + 231 = 363 - forma capicua
143 + 341 = 484 - forma capicua
154 + 451 = 605
165 + 561 = 726
176 + 671 = 847
187 + 781 = 968
198 + 891 = 1089
| Tabela de formação de números capicuas |
|||
|---|---|---|---|
| Número | Inverso | Soma / Capicua | Diferença |
| 10 | 01 | 11 | 11 |
| 11 | 11 | 22 | 11 |
| 12 | 21 | 33 | 11 |
| 13 | 31 | 44 | 11 |
| 14 | 41 | 55 | 11 |
| 15 | 51 | 66 | 11 |
| 16 | 61 | 77 | 11 |
| 17 | 71 | 88 | 11 |
| 18 | 81 | 99 | 11 |
| 19 | 91 | 110 | |
| 20 | 02 | 22 | 11 |
| 21 | 12 | 33 | 11 |
| 22 | 22 | 44 | 11 |
| 23 | 32 | 55 | 11 |
| 24 | 42 | 66 | 11 |
| 25 | 52 | 77 | 11 |
| 26 | 62 | 88 | 11 |
| 27 | 72 | 99 | 11 |
| 28 | 82 | 110 | 11 |
| 29 | 92 | 121 | |
| 30 | 03 | 33 | 11 |
| 31 | 13 | 44 | 11 |
| 32 | 23 | 55 | 11 |
| 33 | 33 | 66 | 11 |
| 34 | 43 | 77 | 11 |
| 35 | 53 | 88 | 11 |
| 36 | 63 | 99 | 11 |
| 37 | 73 | 110 | 11 |
| 38 | 83 | 121 | 11 |
| 39 | 93 | 132 | |
| 40 | 4 | 44 | 11 |
| 41 | 14 | 55 | 11 |
| 42 | 24 | 66 | 11 |
| 43 | 34 | 77 | 11 |
| 44 | 44 | 88 | 11 |
| 45 | 54 | 99 | 11 |
| 46 | 64 | 110 | 11 |
| 47 | 74 | 121 | 11 |
| 48 | 84 | 132 | 11 |
| 49 | 94 | 143 | |
| 50 | 05 | 55 | 11 |
| 51 | 15 | 66 | 11 |
| 52 | 25 | 77 | 11 |
| 53 | 35 | 88 | 11 |
| 54 | 45 | 99 | 11 |
| 55 | 55 | 110 | 11 |
| 56 | 65 | 121 | 11 |
| 57 | 75 | 132 | 11 |
| 58 | 85 | 143 | 11 |
| 59 | 95 | 154 | |
| 60 | 06 | 66 | 11 |
| 61 | 16 | 77 | 11 |
| 62 | 26 | 88 | 11 |
| 63 | 36 | 99 | 11 |
| 64 | 46 | 110 | 11 |
| 65 | 56 | 121 | 11 |
| 66 | 66 | 132 | 11 |
| 67 | 76 | 143 | 11 |
| 68 | 86 | 154 | 11 |
| 69 | 96 | 165 | |
| 70 | 7 | 77 | 11 |
| 71 | 17 | 88 | 11 |
| 72 | 27 | 99 | 11 |
| 73 | 37 | 110 | 11 |
| 74 | 47 | 121 | 11 |
| 75 | 57 | 132 | 11 |
| 76 | 67 | 143 | 11 |
| 77 | 77 | 154 | 11 |
| 78 | 87 | 165 | 11 |
| 79 | 97 | 176 | |
| 80 | 08 | 88 | 11 |
| 81 | 18 | 99 | 11 |
| 82 | 28 | 110 | 11 |
| 83 | 38 | 121 | 11 |
| 84 | 48 | 132 | 11 |
| 85 | 58 | 143 | 11 |
| 86 | 68 | 154 | 11 |
| 87 | 78 | 165 | 11 |
| 88 | 88 | 176 | 11 |
| 89 | 98 | 187 | |
| 90 | 09 | 99 | 11 |
| 91 | 19 | 110 | 11 |
| 92 | 29 | 121 | 11 |
| 93 | 39 | 132 | 11 |
| 94 | 49 | 143 | 11 |
| 95 | 59 | 154 | 11 |
| 96 | 69 | 165 | 11 |
| 97 | 79 | 176 | 11 |
| 98 | 89 | 187 | 11 |
| 99 | 99 | 198 | |
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Autor: Ricardo Silva - janeiro/2018
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
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SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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