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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Palíndromos e o produto de um número pelo seu inverso- 163

Números palíndromos ou capicuas são números que podem ser lidos em ordem inversa, isto é, tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda.

O método tradicional de se obter um número palíndromo é escolher um número qualquer, inverter os seus algarismos e depois somá-lo com este número.

Nem sempre este método resulta em um número palíndromo, então tem que se repetir o processo várias vezes e mesmo repetindo talvez não se consiga formar um palíndromo, é o caso do número 196.

Mas não é garantido que todos os números não palindrômicos irão gerar um palíndromo desta maneira. Embora isto não seja provado, muitos números não conseguem gerar um palíndromo desta maneira. Por exemplo, o número 196 não consegue gerar um palíndromo mesmo depois de 700.000.000 de iterações. Qualquer número que nunca gerar um palíndromo desta maneira é chamado de números de Lychrel.[1]

Produto de um número com a inversão de seus algarismos

Outro método de se obter números palíndromos ou capicua é multiplicar um número pelo seu inverso, conforme veremos, também não é possível gerar palíndromos constantemente.

O interessante neste método é que a diferença entre um palíndromo e outro palíndromo; ou um palindromo e um não- palíndromo pode ter como resultado um número palíndromo.

O número 11 é o primeiro número primo palíndromo de dois algarismos e ele é obtido da seguinte forma:

10 + 01 = 11

Interessante também é que o produto de 11 por ele mesmo ou elevado ao quadrado tem como resultado o primeiro número palíndromo de 3 algarismos gerado por meio de multiplicação.

11 x 11 = 121

112 = 121

Semelhante a simetria do número palíndromo 121, há outros produtos que são gerados por números em que o algarismo 1 se repete, tanto no número gerador quanto no número gerado.

1112 = 12321

11112 = 1234321

111112 = 123454321

Formando palíndromos através de multiplicação

A tabela apresenta a sequência dos números de 10 a 102 com os seus inversos, os quais foram multiplicados e cujos produtos estão na coluna Palíndromo (Produto).

Em um estudo com os 1000 primeiros naturais, os números que geraram os palíndromos por meio de multiplicação têm finais 1 e 2 (células amarela).

Observação: a geração de palíndromos por meio de multiplicação não é constante em toda a tabela.

A diferença entre um produto anterior por produto posterior de números pelos seus inversos geram sequências de palíndromos.

Exemplos)

121 - 10 = 111

252 - 121 = 131

403 - 252 = 151

A cada sequência de 10 números, a diferença entre produtos geram 5 números palíndromos e esta ocorrência é constante em toda a tabela com os 1000 primeiros números naturais.

Na coluna Diferença (células verde) os números palíndromos podem ser gerados:

a) pela diferença entre um palíndromo e outro palíndromo;

b) pela diferença entre um palíndromo e não-palíndromo;

c) pela diferença entre um não-palíndromo e não-palíndromo.

Na mesma coluna Diferença há ocorrências de números primos palíndromos: 131, 151, 191, 313, 353, 373, 757, 797, 919, 10301, 10501.

Os números palíndromos e os primos palíndromos gerados através desde método apresentam como padrão o seu termo central um número ímpar.

Números Palindromo gerados através de multiplicação
 
Número Inverso Palíndromo Diferença Palíndromo
    produto    
10 01 10 111 sim
11 11 121 131 sim
12 21 252 151 sim
13 31 403 171 sim
14 41 574 191 sim
15 51 765 211  
16 61 976 231  
17 71 1207 251  
18 81 1458 271  
19 91 1729    
20 02 40 212 sim
21 12 252 232 sim
22 22 484 252 sim
23 32 736 272 sim
24 42 1008 292 sim
25 52 1300 312  
26 62 1612 332  
27 72 1944 352  
28 82 2296 372  
29 92 2668    
30 03 90 313 sim
31 13 403 333 sim
32 23 736 353 sim
33 33 1089 373 sim
34 43 1462 393 sim
35 53 1855 413  
36 63 2268 433  
37 73 2701 453  
38 83 3154 473  
39 93 3627    
40 04 160 414 sim
41 14 574 434 sim
42 24 1008 454 sim
43 34 1462 474 sim
44 44 1936 494 sim
45 54 2430 514  
46 64 2944 534  
47 74 3478 554  
48 84 4032 574  
49 94 4606    
50 05 250 515 sim
51 15 765 535 sim
52 25 1300 555 sim
53 35 1855 575 sim
54 45 2430 595 sim
55 55 3025 615  
56 65 3640 635  
57 75 4275 655  
58 85 4930 675  
59 95 5605    
60 06 360 616 sim
61 16 976 636 sim
62 26 1612 656 sim
63 36 2268 676 sim
64 46 2944 696 sim
65 56 3640 716  
66 66 4356 736  
67 76 5092 756  
68 86 5848 776  
69 96 6624    
70 07 490 717 sim
71 17 1207 737 sim
72 27 1944 757 sim
73 37 2701 777 sim
74 47 3478 797 sim
75 57 4275 817  
76 67 5092 837  
77 77 5929 857  
78 87 6786 877  
79 97 7663    
80 08 640 818 sim
81 18 1458 838 sim
82 28 2296 858 sim
83 38 3154 878 sim
84 48 4032 898 sim
85 58 4930 918  
86 68 5848 938  
87 78 6786 958  
88 88 7744 978  
89 98 8722    
90 09 810 919 sim
91 19 1729 939 sim
92 29 2668 959 sim
93 39 3627 979 sim
94 49 4606 999 sim
95 59 5605 1019  
96 69 6624 1039  
97 79 7663 1059  
98 89 8722 1079  
99 99 9801    
100 001 100 10101 sim
101 101 10201 10301 sim
102 201 20502 10501 sim

Números primos palíndromos

Num rol de 1000 números foram gerados 52 números primos palíndromos.

Abaixo está a sequência dos 46 primeiros números palíndromos publicada na página do Wikipédia - Número primo palíndromo.

Os números que estão destacados, são os números que também foram gerados por meio do método descrito neste estudo.

Foi possível gerar todos os números primos palíndromos cujos termos centrais são números ímpares divulgados no Wikipédia.

2 3 5 7 11
101 131 151 181 191
313 353 373 383 727
757 787 797 919 929
10301 10501 10601 11311 11411
12421 12721 12821 13331 13831
13931 14341 14741 15451 15551
16061 16361 16561 16661 17471
17971 18181 18481 19391 19891
19991

Os demais números primos palíndromos foram divididos simultaneamente por alguns números primos para se verificar se eram múltiplos.

Houve mais uma verificação por meio da lista publicada no site The Prime Page

30103 30703 31513 32323 33533
34543 35153 35753 36563 37573
38183 70507 71317 71917 72727
74747 90709 93139 93739 94349
94949 95959 96769 97379 97579
98389

Autor: Ricardo Silva - janeiro/2018

Referência:

[1] Sena , Hugo Tácito Azevedo de . Algumas evidências computacionais da infinitude dos números primos palindrômicos e generalizações destes. Monografia. Universidade Federal do Rio Grande do Norte,2008.

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