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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Palíndromos e o produto de um número pelo seu inverso- 163

Números palíndromos ou capicuas são números que podem ser lidos em ordem inversa, isto é, tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda.

O método tradicional de se obter um número palíndromo é escolher um número qualquer, inverter os seus algarismos e depois somá-lo com este número.

Nem sempre este método resulta em um número palíndromo, então tem que se repetir o processo várias vezes e mesmo repetindo talvez não se consiga formar um palíndromo, é o caso do número 196.

Mas não é garantido que todos os números não palindrômicos irão gerar um palíndromo desta maneira. Embora isto não seja provado, muitos números não conseguem gerar um palíndromo desta maneira. Por exemplo, o número 196 não consegue gerar um palíndromo mesmo depois de 700.000.000 de iterações. Qualquer número que nunca gerar um palíndromo desta maneira é chamado de números de Lychrel.[1]

Produto de um número com a inversão de seus algarismos

Outro método de se obter números palíndromos é multiplicar um número pelo seu inverso, conforme veremos, também não é possível gerar palíndromos constantemente.

O interessante neste método é que a diferença entre um palíndromo e outro palíndromo; ou um palindromo e um não- palíndromo pode ter como resultado um número palíndromo.

O número 11 é o primeiro número primo palíndromo de dois algarismos e ele é obtido da seguinte forma:

10 + 01 = 11

Interessante também é que o produto de 11 por ele mesmo ou elevado ao quadrado tem como resultado o primeiro número palíndromo de 3 algarismos gerado por meio de multiplicação.

11 x 11 = 121

112 = 121

E semelhante a simetria do número palíndromo 121, temos outros produtos que são gerados por números em que o algarismo 1 se repete, tanto no número gerador quanto no número gerado.

1112 = 12321

11112 = 1234321

111112 = 123454321

Formando palíndromos através de multiplicação

A tabela apresenta a sequência dos números de 10 a 102 com os seus inversos, os quais foram multiplicados e cujos produtos estão na coluna Palíndromo (Produto).

Em um estudo com os 1000 primeiros naturais, os números que geraram os palíndromos por meio de multiplicação têm finais 1 e 2 (células amarela).

Observação: a geração de palíndromos por meio de multiplicação não é constante em toda a tabela.

A diferença entre um produto anterior por produto posterior de números pelos seus inversos geram sequências de palíndromos.

Exemplos)

121 - 10 = 111

252 - 121 = 131

403 - 252 = 151

A cada sequência de 10 números, a diferença entre produtos geram 5 números palíndromos e esta ocorrência é constante em toda a tabela com os 1000 primeiros números naturais.

Na coluna Diferença (células verde) os números palíndromos podem ser gerados:

a) pela diferença entre um palíndromo e outro palíndromo;

b) pela diferença entre um palíndromo e não-palíndromo;

c) pela diferença entre um não-palíndromo e não-palíndromo.

Na mesma coluna Diferença há ocorrências de números primos palíndromos: 131, 151, 191, 313, 353, 373, 757, 797, 919, 10301, 10501.

Os números palíndromos e os primos palíndromos gerados através desde método apresentam como padrão o seu termo central um número ímpar.

Números Palindromo gerados através de multiplicação
       
Número Inverso Palíndromo (produto) Diferença
       
10 01 10 111
11 11 121 131
12 21 252 151
13 31 403 171
14 41 574 191
15 51 765 211
16 61 976 231
17 71 1207 251
18 81 1458 271
19 91 1729  
20 02 40 212
21 12 252 232
22 22 484 252
23 32 736 272
24 42 1008 292
25 52 1300 312
26 62 1612 332
27 72 1944 352
28 82 2296 372
29 92 2668  
30 03 90 313
31 13 403 333
32 23 736 353
33 33 1089 373
34 43 1462 393
35 53 1855 413
36 63 2268 433
37 73 2701 453
38 83 3154 473
39 93 3627  
40 04 160 414
41 14 574 434
42 24 1008 454
43 34 1462 474
44 44 1936 494
45 54 2430 514
46 64 2944 534
47 74 3478 554
48 84 4032 574
49 94 4606  
50 05 250 515
51 15 765 535
52 25 1300 555
53 35 1855 575
54 45 2430 595
55 55 3025 615
56 65 3640 635
57 75 4275 655
58 85 4930 675
59 95 5605  
60 06 360 616
61 16 976 636
62 26 1612 656
63 36 2268 676
64 46 2944 696
65 56 3640 716
66 66 4356 736
67 76 5092 756
68 86 5848 776
69 96 6624  
70 07 490 717
71 17 1207 737
72 27 1944 757
73 37 2701 777
74 47 3478 797
75 57 4275 817
76 67 5092 837
77 77 5929 857
78 87 6786 877
79 97 7663  
80 08 640 818
81 18 1458 838
82 28 2296 858
83 38 3154 878
84 48 4032 898
85 58 4930 918
86 68 5848 938
87 78 6786 958
88 88 7744 978
89 98 8722  
90 09 810 919
91 19 1729 939
92 29 2668 959
93 39 3627 979
94 49 4606 999
95 59 5605 1019
96 69 6624 1039
97 79 7663 1059
98 89 8722 1079
99 99 9801  
100 001 100 10101
101 101 10201 10301
102 201 20502 10501

Números primos palíndromos

Num rol de 1000 números foram gerados 52 números primos palíndromos.

Abaixo está a sequência dos 46 primeiros números palíndromos publicada na página do Wikipédia - Número primo palíndromo.

Os números que estão destacados, são os números que também foram gerados por meio do método descrito neste estudo.

Foi possível gerar todos os números primos palíndromos cujos termos centrais são números ímpares divulgados no Wikipédia.

2 3 5 7 11
101 131 151 181 191
313 353 373 383 727
757 787 797 919 929
10301 10501 10601 11311 11411
12421 12721 12821 13331 13831
13931 14341 14741 15451 15551
16061 16361 16561 16661 17471
17971 18181 18481 19391 19891
19991

Os demais números primos palíndromos foram divididos simultaneamente por alguns números primos para se verificar se eram múltiplos.

Houve mais uma verificação por meio da lista publicada no site The Prime Page

30103 30703 31513 32323 33533
34543 35153 35753 36563 37573
38183 70507 71317 71917 72727
74747 90709 93139 93739 94349
94949 95959 96769 97379 97579
98389

Autor: Ricardo Silva - janeiro/2018

Referência:

[1] Sena , Hugo Tácito Azevedo de . Algumas evidências computacionais da infinitude dos números primos palindrômicos e generalizações destes. Monografia. Universidade Federal do Rio Grande do Norte,2008.

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