Número palíndromo ou cápicua é um número que pode ser lido da esquerda para à direita quanto da direita para à esquerda invertendo a posição de seus algarimos.
Exemplo clássico é o número 11, primeiro número de dois algarismos, assim como ele, outros números em que o algarismo 1 se repete e elevando-se ao quadrado também geram-se números palíndromos.
112 = 121
11 é palíndromo, assim com o seu quadrado.
1112 = 12321
111 é palíndromo, assim com o seu quadrado.
11112 = 1234321
1111 é palíndromo, assim com o seu quadrado.
111112 = 123454321
11111 é palíndromo, assim com o seu quadrado.
Para se gerar um número palíndromo, escolhe um número aleatoriamente e soma-se com seus algarismos invertidos.
Exemplos:
10 + 01 = 11
11 + 11 = 22
12 + 21 = 33
13 + 31 = 44
Números palíndromos iguais podem ser gerados por números diferentes.
Exemplos:
11 + 11 = 22
20 + 02 = 22
12 + 21 = 33
21 + 12 = 33
30 + 03 = 33
Como artifício pode-se por tentativas dividir um palíndromo par por 2, para encontrar o número que gerou esse determinado número palíndromo.
Exemplo
palíndromo 44
44 : 2 = 22
22 + 22 = 44
ou subtraindo-se números menores que esse palíndromo.
Exemplos
44 - 13 = 31
44 - 31 = 13
e posteriormente invertendo-se os algarimos e somando-os.
13 + 31 = 44
31 + 31 = 44
Nem todo número poder gerar um número palíndromo, as vezes um palíndromo pode ser gerado na primeira soma, outras vezes na segunda, terceira, quarta soma e assim por diante.
Um número que intriga matemáticos e estudiosos é o número 196.
Desde a década de 1980 tem sido desenvolvidos programas de computador para se tentar gerar palíndromos a partir do número 196, em 2011, Romain Dolbeau chegou na casa de um bilhão de iterações (repetições) a partir do número 196 para se tentar gerar palíndromo, mas não conseguindo nada.
Números que não geram palíndromos são denominados de números de Lychrel, anagrama do nome Cheryl, homenagem a primeira namorada de Wade Van Landingham [1].
| O número 196 e algumas iterações | ||||
|---|---|---|---|---|
| inverso | soma | |||
| 1 | iteração | 196 | 691 | 887 |
| 2 | iteração | 887 | 788 | 1675 |
| 3 | iteração | 1675 | 5761 | 7436 |
| 4 | iteração | 7436 | 6347 | 13783 |
| 5 | iteração | 13783 | 38731 | 52514 |
| 6 | iteração | 52514 | 41525 | 94039 |
| 7 | iteração | 94039 | 93049 | 187088 |
| 8 | iteração | 187088 | 880781 | 1067869 |
| 9 | iteração | 1067869 | 6987601 | 8055470 |
| 10 | iteração | 8055470 | 745508 | 8800978 |
| 11 | iteração | 8800978 | 8790088 | 17591066 |
| 12 | iteração | 17591066 | 66019571 | 83610637 |
| 13 | iteração | 83610637 | 73601638 | 157212275 |
| 14 | iteração | 157212275 | 572212751 | 729425026 |
| 15 | iteração | 729425026 | 620524927 | 1349949953 |
| 16 | iteração | 1349949953 | 3599499431 | 4949449384 |
| 17 | iteração | 4949449384 | 4839449494 | 9788898878 |
| 18 | iteração | 9788898878 | 8788988879 | 18.577.887.757 |
Outros números que são gerados por meio da inversão e soma dos algarismos do número 196 também não conseguem gerar números palíndromos, da mesma forma números que também geram números que se encontram na coluna soma.
Exemplos:
295 + 592 = 887
394 + 493= 887
689 + 986 = 1675
788 + 887 = 1675
790 + 097 = 887
1495 + 5941 = 7436
1585 + 5851 = 7436
O número 196 é um número quadrado perfeito e sua raiz quadrada é o número 14.
Decompondo-o em fatores primos temos:
| Fatores | Divisores | |||
|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||
| 196 | 2 | 2 | ||
| 98 | 2 | 4 | ||
| 49 | 7 | 7 | 14 | 28 |
| 7 | 7 | 49 | 98 | 196 |
| 1 | ||||
√ 196 =
√ 22 + 72 =
2 x 7 = 14
Divisores do número 196
D(196) = 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98 e 196
A sequência de números com 2 algarismos de 10 a 99, invertendo seus algarismos e somando-os, obtem-se palíndromos e não palíndromos e todos os números são múltiplos de 11. (veja matérias relacionadas).
98 + 89 = 187
187 : 11 = 17
? + ? = 196 (não pode ser obtido pela soma de números com algarismos invertidos)
99 + 99 = 198
198 : 11 = 18
142 = 196
196 + 691 = 887
282 = 784
784 + 487 = 1271
492 = 2401
2401 + 1042 = 3443 (número palíndromo)
982 = 9604
9604 + 4069 = 13673
1962 = 38416
38416 + 61483 = 99899 (número palíndromo)
Autor: Ricardo Silva - junho/2019
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Lychrel_number
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