Números binários são números formados pelos algarismos 0 e 1 os quais são utilizados como códigos em sistemas eletrônicos digitais, como nos computadores.
Cada sequência de 8 bits (0 e 1), podem representar letras, algarismos, cores e diversos símbolos especiais.
Os Números de Mersenne, originados da fórmula 2N - 1, produzem tanto números primos quanto números compostos e ao serem convertidos para números binários apresentam um padrão em sua formação, todos os números binários tem o Bit 1.
O Bit 1 está diretamente relacionado ao expoente da base 2, pois um Número de Mersenne na forma de número binário tem a mesma quantidade Bit 1 do expoente da base 2.
Analisando a Tabela abaixo, pode-se constatar regularidades entre números binários e números decimais, vejamos:
a) números binários terminados em 0, correspondem a números pares decimais;
b) números binários terminados em 1, correspondem a números ímpares decimais;
c) números binários que são formados sequencialmente pelo bit 1, são números de Mersenne.
| Tabela 1 | ||
|---|---|---|
| Correspondência | ||
| de números binários | ||
| e números decimais | ||
| Binário | Decimal | |
| 0 | 0 | |
| 1 | 1 | |
| 10 | 2 | |
| 11 | 3 | |
| 100 | 4 | |
| 101 | 5 | |
| 110 | 6 | |
| 111 | 7 | |
| 1000 | 8 | |
| 1001 | 9 | |
| 1010 | 10 | |
| 1011 | 11 | |
| 1100 | 12 | |
| 1101 | 13 | |
| 1110 | 14 | |
| 1111 | 15 | |
| 10000 | 16 | |
| 10001 | 17 | |
| 10010 | 18 | |
| 10011 | 19 | |
| 10100 | 20 | |
| 10101 | 21 | |
| 10110 | 22 | |
| 10111 | 23 | |
| 11000 | 24 | |
| 11001 | 25 | |
| 11010 | 26 | |
| 11011 | 27 | |
| 11100 | 28 | |
| 11101 | 29 | |
| 11110 | 30 | |
| 11111 | 31 | |
| 100000 | 32 | |
A correspondência de cada Potência de base 2 com os números binários apresentam uma simetria de forma que os números binários se apresentam em formato de triângulo.
O expoente (N) é a mesma quantidade do bit 0 em cada número binário.
Números binários que correspondem a uma potência de base 2, quando convertidos a números binários são potências de base 10: 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, ...
| Tabela 2 | ||
|---|---|---|
| Correspondência | ||
| de potências de base 2 | ||
| e números binários | ||
| N | Decimal | Binário |
| 2N | ||
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 10 |
| 2 | 4 | 100 |
| 3 | 8 | 1000 |
| 4 | 16 | 10000 |
| 5 | 32 | 100000 |
| 6 | 64 | 1000000 |
| 7 | 128 | 10000000 |
| 8 | 256 | 100000000 |
| 9 | 512 | 1000000000 |
| 10 | 1.024 | 10000000000 |
| 11 | 2.048 | 100000000000 |
| 12 | 4.096 | 1000000000000 |
| 13 | 8.192 | 10000000000000 |
| 14 | 16.384 | 100000000000000 |
| 15 | 32.768 | 1000000000000000 |
| 16 | 65.536 | 10000000000000000 |
| 17 | 131.072 | 100000000000000000 |
| 18 | 262.144 | 1000000000000000000 |
| 19 | 524.288 | 10000000000000000000 |
A correspondência de Números de Mersenne com os números binários apresentam uma simetria de forma que os números binários se apresentam em formato de triângulo.
O expoente (N) é a mesma quantidade do bit 1 em de cada número binário correspondente ao Número de Mersenne.
Os Números de Mersenne são potências de base 2 menos 1 unidade, que convertidos em binários, apresentam o bit 1 como padrão em suas formações.
| Tabela - 3 | ||
|---|---|---|
| Correspondência de Números de Mersenne e números binários |
||
| N | Decimal | Binário |
| 2N - 1 | ||
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 11 |
| 3 | 7 | 111 |
| 4 | 15 | 1111 |
| 5 | 31 | 11111 |
| 6 | 63 | 111111 |
| 7 | 127 | 1111111 |
| 8 | 255 | 11111111 |
| 9 | 511 | 111111111 |
| 10 | 1.023 | 1111111111 |
| 11 | 2.047 | 11111111111 |
| 12 | 4.095 | 111111111111 |
| 13 | 8.191 | 1111111111111 |
| 14 | 16.383 | 11111111111111 |
| 15 | 32.767 | 111111111111111 |
| 16 | 65.535 | 1111111111111111 |
| 17 | 131.071 | 11111111111111111 |
| 18 | 262.143 | 111111111111111111 |
| 19 | 524.287 | 1111111111111111111 |
Fonte: Guimarães, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Compuação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992.
A soma consecutiva de potências de base 2 tem como resultado um Número de Mersenne.
| Soma consecutiva de potências de base 2 e Números de Mersenne |
||||
|---|---|---|---|---|
| Números | ||||
| N | Potências | de | ||
| Mersenne | ||||
| 2N | ||||
| 0 | 1 | 1 | = | 1 |
| 1 | 2 | 1 + 2 | = | 3 |
| 2 | 4 | 1 + 2 + 4 | = | 7 |
| 3 | 8 | 1 + 2 + 4 + 8 | = | 15 |
| 4 | 16 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 | = | 31 |
| 5 | 32 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 | = | 63 |
| 6 | 64 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 | = | 127 |
| 7 | 128 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 | = | 255 |
| 8 | 256 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 | = | 511 |
| 9 | 512 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 | = | 1023 |
| 10 | 1.024 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512+ 1024 | = | 2047 |
| 11 | 2.048 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 4.096 | = | 4.095 |
| 12 | 4.096 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 8.192 | = | 8.191 |
| 13 | 8.192 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 16.384 | = | 16.383 |
| 14 | 16.384 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 32.768 | = | 32.767 |
| 15 | 32.768 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 65.536 | = | 65.535 |
| 16 | 65.536 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 131.072 | = | 131.071 |
| 17 | 131.072 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 262.144 | = | 262.143 |
| 18 | 262.144 | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 524.288 | = | 524.287 |
| 19 | 524.288 | |||
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A soma consecutiva de potências de base 2 a partir da potência 2 dividido por 2 tem como resultado um Número de Mersenne.
exemplo 1)
| 2 + 4 | ||
| _____ | = | 3 |
| 2 |
exemplo 2)
| 2 + 4 + 8 | ||
| _____ | = | 7 |
| 2 |
exemplo 3)
| 2 + 4 + 8 + 16 | ||
| _____ | = | 15 |
| 2 |
De onde se deduz a seguinte fórmula:
| [ ( 2^n ) - 2 ] / 2 |
Potência de base 2 menos 2 unidades e dividido por 2 para n (ene) igual ou maior que 2.
| Tabela 4 | ||||
|---|---|---|---|---|
| Soma de potências de base 2 | ||||
| e os Números de Mersenne | ||||
| n | Potências | Soma de potências de 2 | divisão | |
| por 2 | ||||
| Números | ||||
| de | ||||
| Mersenne | ||||
| 2n | ||||
| 0 | 1 | 1 | = | 0,5 |
| 1 | 2 | 2 + 4 / 2 | = | 3 |
| 2 | 4 | 2 + 4 + 8 / 2 | = | 7 |
| 3 | 8 | 2 + 4 + 8 + 16 / 2 | = | 15 |
| 4 | 16 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 / 2 | = | 31 |
| 5 | 32 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 / 2 | = | 63 |
| 6 | 64 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64+ 128 / 2 | = | 127 |
| 7 | 128 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 / 2 | = | 255 |
| 8 | 256 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 / 2 | = | 511 |
| 9 | 512 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 +...+ 1024 / 2 | = | 1023 |
| 10 | 1.024 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 2.048 / 2 | = | 2047 |
| 11 | 2.048 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 4.096 / 2 | 4.095 | |
| 12 | 4.096 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 8.192 / 2 | 8.191 | |
| 13 | 8.192 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 16.384 / 2 | 16.383 | |
| 14 | 16.384 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 32.768 / 2 | 32.767 | |
| 15 | 32.768 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 65.536 / 2 | 65.535 | |
| 16 | 65.536 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ... + 131.072 / 2 | 131.071 | |
| 17 | 131.072 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ... + 262.144 / 2 | 262.143 | |
| 18 | 262.144 | 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ... + 524.288 / 2 | 524.287 | |
| 19 | 524.288 | |||
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Dobro de um potência de base 2 menos 1 unidade tem como diferença um Número de Mersenne
| Tabela 5 | ||||
|---|---|---|---|---|
| Dobro de potências de base 2 | ||||
| e os Números de Mersenne | ||||
| n | Potências | Dobro | Números | |
| potências de base 2 | de | |||
| Mersenne | ||||
| 0 | 1 | 2 | = | 1 |
| 1 | 2 | 4 | = | 3 |
| 2 | 4 | 8 | = | 7 |
| 3 | 8 | 16 | = | 15 |
| 4 | 16 | 32 | = | 31 |
| 5 | 32 | 64 | = | 63 |
| 6 | 64 | 128 | = | 127 |
| 7 | 128 | 128 | = | 255 |
| 8 | 256 | 512 | = | 511 |
| 9 | 512 | 1.024 | = | 1023 |
| 10 | 1.024 | 2.048 | = | 2047 |
| 11 | 2.048 | 4.096 | 4.095 | |
| 12 | 4.096 | 8.192 | 8.191 | |
| 13 | 8.192 | 16.384 | 16.383 | |
| 14 | 16.384 | 32.768 | 32.767 | |
| 15 | 32.768 | 65.536 | 65.535 | |
| 16 | 65.536 | 131.072 | 131.071 | |
| 17 | 131.072 | 262.144 | 262.143 | |
| 18 | 262.144 | 524.288 | 524.287 | |
| 19 | 524.288 | |||
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Autor: Ricardo Silva - maio/2017
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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