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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números de Mersenne e números binários - 141

Números binários são números formados pelos algarismos 0 e 1 os quais são utilizados como códigos em sistemas eletrônicos digitais, como nos computadores, cada sequência de 8 bits (0 e 1), representam letras, algarismos e códigos especiais.

Os Números de Mersenne, originados da fórmula 2N - 1, produzem números primos quanto números não primos, mas quando convertidos para números binários apresentam um padrão em sua formação, todos os números binários tem o Bit 1.

O Bit 1 está diretamentamente relacionado ao expoente da base 2, pois um Número de Mersenne na forma de número binário tem a mesma quantidade Bit 1 do expoente da base 2.

1) Números binários e decimais

Analisando a Tabela abaixo, pode-se constatar regularidades entre números binários e números decimais, vejamos:

a) números binários terminados em 0, correspondem a números pares decimais;

b) números binários terminados em 1, correspondem a números ímpares decimais;

c) números binários que são formados sequencialmente pelo bit 1, são números de Mersenne.

Tabela 1 - Correspondência
de números binários
e números decimais
 
Binário   Decimal
0   0
1   1
10   2
11   3
100   4
101   5
110   6
111   7
1000   8
1001   9
1010   10
1011   11
1100   12
1101   13
1110   14
1111   15
10000   16
10001   17
10010   18
10011   19
10100   20
10101   21
10110   22
10111   23
11000   24
11001   25
11010   26
11011   27
11100   28
11101   29
11110   30
11111   31
100000   32

2) Potências de base 2 e números binários

A correspondência de cada Potência de base 2 com os números binários apresentam uma simetria de forma que os números binários apresentam-se em forma de triângulo.

O expoente (N) é a mesma quantidade do bit 0 em de cada número binário.

Números binários que correspondem a uma potência de base 2, quando convertidos a números binários são potências de base 10: 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, etc.;

Tabela 2 - Correspondência
de potências de base 2
e números binários
     
N Decimal Binário
  2N  
0 1 1
1 2 10
2 4 100
3 8 1000
4 16 10000
5 32 100000
6 64 1000000
7 128 10000000
8 256 100000000
9 512 1000000000
10 1.024 10000000000
11 2.048 100000000000
12 4.096 1000000000000
13 8.192 10000000000000
14 16.384 100000000000000
15 32.768 1000000000000000
16 65.536 10000000000000000
17 131.072 100000000000000000
18 262.144 1000000000000000000
19 524.288 10000000000000000000

3) Números de Mersenne e números binários

A correspondência de Números de Mersenne com os números binários apresentam uma simetria de forma que os números binários apresentam-se em forma de triângulo.

O expoente (N) é a mesma quantidade do bit 1 em de cada número binário correspondente ao Número de Mersenne.

Os Números de Mersenne são potências de base 2 menos 1 unidade, que convertidos em binários, apresentam o bit 1 como padrão em suas formações.

Tabela - 3 Correspondência
de Números de Mersenne
e números binários
     
N Decimal Binário
  2N - 1  
1 1 1
2 3 11
3 7 111
4 15 1111
5 31 11111
6 63 111111
7 127 1111111
8 255 11111111
9 511 111111111
10 1.023 1111111111
11 2.047 11111111111
12 4.095 111111111111
13 8.191 1111111111111
14 16.383 11111111111111
15 32.767 111111111111111
16 65.535 1111111111111111
17 131.071 11111111111111111
18 262.143 111111111111111111
19 524.287 1111111111111111111

Fonte: Guimarães, Angelo Moura. Introdução a Ciência da Compuação / Angelo de Moura Guimarães, Alberto de Castilho Lages, - Rio de Janeiro: LTC, 1992.

4) A soma consecutiva de potências de base 2 é igual ao número de Mersenne

A soma consecutiva de potências de base 2 tem como resultado um Número de Mersenne.

Soma consecutiva
de potências de base 2
e números de Mersenne
        Números de
N Potências     Mersenne
  2N      
0 1 1 = 1
1 2 1 + 2 = 3
2 4 1 + 2 + 4 = 7
3 8 1 + 2 + 4 + 8 = 15
4 16 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
5 32 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
6 64 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127
7 128 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255
8 256 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511
9 512 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023
10 1.024 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512+ 1024 = 2047
11 2.048 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 4.096 = 4.095
12 4.096 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 8.192 = 8.191
13 8.192 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 16.384 = 16.383
14 16.384 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 32.768 = 32.767
15 32.768 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 65.536 = 65.535
16 65.536 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 131.072 = 131.071
17 131.072 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 262.144 = 262.143
18 262.144 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +...+ 524.288 = 524.287
19 524.288   =  

5) A soma de potências de base 2 e os Números de Mersenne

A soma consecutiva de potências de base 2 a partir da potência 2 e que dividido por 2 tem como resultado um Número de Mersenne.

Tabela 4 - Soma de potências de base 2
e os Números de Mersenne
        Números de
N Potências Soma dividivo por 2   Mersenne
  2N      
0 1 1 = 1
1 2 2 + 4 / 2 = 3
2 4 2 + 4 + 8 / 2 = 7
3 8 2 + 4 + 8 + 16 / 2 = 15
4 16 2 + 4 + 8 + 16 + 32 / 2 = 31
5 32 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 / 2 = 63
6 64 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64+ 128 / 2 = 127
7 128 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 / 2 = 255
8 256 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 / 2 = 511
9 512 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 +...+ 1024 / 2 = 1023
10 1.024 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 2.048 / 2 = 2047
11 2.048 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 4.096 / 2   4.095
12 4.096 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 8.192 / 2   8.191
13 8.192 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 16.384 / 2   16.383
14 16.384 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 32.768 / 2   32.767
15 32.768 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + ... + 65.536 / 2   65.535
16 65.536 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ... + 131.072 / 2   131.071
17 131.072 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ... + 262.144 / 2   262.143
18 262.144 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ... + 524.288 / 2   524.287
19 524.288      

Autor: Ricardo Silva - maio/2017

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