Aristarco de Samos (310 a.C - 230 a.C), astronômo e matemático grego, segundo Arquimedes, foi quem afirmou que é a Terra que gira em torno do Sol, e não ao contrário, criando-se assim o Modelo Heliocêntrico, modelo este que posteriormente (1800 mil anos) fora também estudado e comprovado por Nicolau Copérnico (1473-1543).
Em sua obra: Sobre os tamanhos e distâncias entre o Sol e a Lua, Aristarco apresenta diversos estudos sobre tamanhos e distâncias da Terra, da Lua e Sol.
"A Lua é o único satélite natural da Terra. Foi denominada, na antigüidade, de Luna, antiga cidade de Tucana (Itália) pelos romanos e Selene, irmã de Hélio e filha de Hipérion e Téia pelos gregos. É o astro mais brilhante do céu noturno. As fases da Lua correspondem aos diferentes aspectos com que esta se apresenta no céu ao longo das noites e dos “dias claros” de um mês. Isso não é devido à projeção da sombra da Terra na Lua, como alguns podem pensar. Mas sim, devido à visualização que temos da Lua conforme ela orbita em torno da Terra (posição relativa entre a Lua, Terra e Sol). A fase da Lua é um fenômeno astronômico de observação simultânea para todo o globo terrestre (quando a Lua cheia é vista do Brasil, ela é também vista como tal em Portugal). Com certa regularidade, a Lua ora atravessa a sombra da Terra (eclipse da Lua), ora projeta sua sombra na superfície terrestre (eclipse do Sol)." [1]
Observando a Lua, especialmente, as fases quarto crescente e quarto minguante, Aristarco teve a brilhante ideia de "unir' os centros: da Lua, da Terra e do Sol formando-se assim um triângulo retângulo, obtendo os ângulos agudos de 3 e 87 graus, cujos cálculos, a distância entre a Terra e o Sol são 19 vezes a distância entre a Terra e a Lua.
Levando-se em conta, a época, os conhecimentos e instrumentos utilizados, foi um belíssimo estudo elaborado por Aristarco de Samos.
Os ângulos agudos medidos por Aristarco de Samos, após outros estudos contemporâneos, verificou-se que os ângulos agudos corretos são: 0,15 e 89,85.
"O intervalo de tempo que a Lua gasta para completar uma volta completa em torno do centro de massa do sistema Terra-Lua, em relação ao referencial das estrelas, é chamado de período sideral; é igual a 27 dias, 7 horas, 43 minutos e 12 segundos (solares). Já o intervalo de tempo entre duas fases iguais sucessivas (ex. duas fases cheias) é denominado período sinódico ou, simplesmente, lunação; relativo ao referencial solar (o qual consequentemente definirá a duração do Dia Solar da Lua). Uma lunação dura 29 dias, 12 h, 44 min e 3 s (solares), cerca de 29 dias e meio, maior que o período sideral! É a base dos calendários lunares. Veja também a seção ANO SOLAR E LUNAÇÃO.[1]
No vídeo: Determinação da distância Terra-Sol e do Tamanho da Terra na Antiguidade do Canal do YouTube: Páginas Difíceis da Física [2] é apresentado construção geométrica que se presume que Aristarco de Samos tenha se baseado para determinar os ângulos agudos de 3 e 87 graus, por meio de triângulos semelhantes, vejamos:
a) anotou-se uma data e hora da Lua quarto minguante;
07 setembro 17 horas 04 minutos;
b) anotou-se uma data e hora da Lua quarto crescente;
22 setembro 05 horas 05 minutos;
c) calculou-se a diferença entre os dias, horas, minutos e segundos e tranformou-se em dias;
| 22 setembro 05 horas 05 minutos; | |
| - | 07 setembro 17 horas 04 minutos; |
| ___________________________ | |
| 14 dias 15 horas 1 minuto |
Aproximadamente 14,63 dias.
d) calculou-se regra de 3, utilizando-se o período sinódico da Lua.
i)
| 360 graus | está para | 29,53 dias |
| 2 α (alpha) | está para | 14, 63 dias |
ii)
| 360 graus x 14, 63 dias | ||
| α (alpha) | = | ------------------------------ |
| 2 x 29,53 dias |
iv)
| 5266,8 dias | ||
| α (alpha) | = | --------------- |
| 59,06 dias |
v)
| α (alpha) | = | 89,177.... |
Resposta: ângulo α (alpha) é aproximadamente 89, 18 graus.
Veja que o ângulo de 89,19 graus é um pouco maior do que o medido por Aristarco de Samos que é de 87 graus.
Lembrando que os ângulos corretos são: 0,15 e 89,85 graus.
Ângulos complementares são ângulos que adicionados têm como soma ângulo de 90 graus (ângulo reto).
Efetuando-se subtrações sucessivas de ângulos números primos do ângulo de 90 graus, têm-se como resultados determinados ângulos complementares que também são números primos.
É interessante notar que:
a) 3 e 87 são ângulos complementares calculados por Aristarco de Samos;
b) 3 é um número primo;
c) 3 é divisor de 87 e também de 90;
| Ângulos Complementares | ||||
| e Números Primos | ||||
| ângulo | ângulo | ângulo | ||
| Reto | complementar | complementar | ||
| 90 | - | 2 | = | 88 |
| 90 | - | 3 | = | 87 |
| 90 | - | 5 | = | 85 |
| 90 | - | 7 | = | 83 |
| 90 | - | 11 | = | 79 |
| 90 | - | 13 | = | 77 |
| 90 | - | 17 | = | 73 |
| 90 | - | 19 | = | 71 |
| 90 | - | 23 | = | 67 |
| 90 | - | 29 | = | 61 |
| 90 | - | 31 | = | 59 |
| 90 | - | 37 | = | 53 |
| 90 | - | 41 | = | 49 |
| 90 | - | 43 | = | 47 |
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Triângulo Retângulo de 30-60-90 graus é um triângulo retângulo cujos ângulos são ângulos notáveis.
Seja numa circunferência ou numa semicircunferência os ângulos 30-60-90 graus aparecem naturalmente simplesmente dividindo circunferência ou semicircunferência em partes iguais.
Uma de suas propriedades é que a hipotenusa é o dobro do cateto menor e o cateto menor é a metade da hipotenusa, isto é, a hipotenusa é múltiplo do cateto menor e o cateto menor é divisor da hipotenusa.
O Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5 é o menor triângulo retângulo cujos lados são números inteiros e que esta estritamente relacionado com o Teorema de Pitágoras, onde: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos ou A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, representandos pelas seguintes fórmulas algébricas:
| a² = b² + c² |
ou
| b² + c² = a² |
A partir de uma corda com 12 nós igualmente espaçados se constrói triângulo retângulo em que um dos vértices é o ângulo de 90 graus.
É um triângulo que é utilizado para demarcações de terrenos, bem como, na construção civil, marcenaria (construções de telhados), alvenaria (assentamento de pisos, construções de paredes e muros), etc.
Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5 possui diversas propriedades matemáticas e, entre elas:
a) o resto da divisão do cateto maior pelo cateto menor é 1 unidade;
b) o resto da divisão da hipotenusa pelo cateto menor são 2 unidades;
c) a adição dos restos das divisões tem como soma o próprio cateto menor.
1 + 2 = 3
A Fig. 711-04 demonstra os 5 primeiros ternos pitagóricos primitivos, seus triângulos retângulos, bem como seus ângulos agudos.
A medida que ternos pitagóricos primitivos aumentam, seus triângulos retângulos nos ângulos agudos de menores graus vão ficando "mais pontiagudos".
Hipotenusa e cateto maior não são múltiplos do cateto menor em triângulo retângulo pitagórico.
A adição da hipotenusa e do cateto maior têm como soma o quadrado perfeito do cateto menor em triângulo retângulo pitagórico:
Exemplo 1)
Terno Pitagório Primitivo 3-4-5
4 + 5 = 9
9 é o quadrado perfeito de 3
Exemplo 2)
Terno Pitagório Primitivo 5-12-13
12 + 13 = 25
25 é o quadrado perfeito de 5
A título de curiosidade, inscrevendo o Triângulo Retângulo de Aristarco de Samos cujos ângulos agudos agudos são 3 e 87 graus numa semicircunferência de diâmetro de 10 cm, constata-se propriedade semelhante a de triângulo retângulo de ângulos de 30-60-90 graus em que a hipotenusa é múltiplo do cateto menor e consequentemente o cateto menor é divisor da hipotenusa.
O diâmetro de 10 cm é 20 vezes maior que o cateto menor de 0,5 cm.
"Os eclipses só acontecem quando a trajetória da Lua atravessa a Eclíptica quando da ocasião das fases nova ou cheia. Ocorrem no mínimo 2 eclipses por ano (que são solares) e, no máximo, 7 eclipses por ano: 2 lunares e 5 solares, ou 3 lunares e 4 solares. A cada 18 anos aproximadamente, todos os eclipses acontecem com a mesma regularidade. Esse intervalo de tempo é denominado de Período de Saros, quando ocorrem 41 eclipses do Sol e 29 eclipses da Lua." [1]
Interessante observar que entre os valores de ocorrências e duração de eclipes há números primos.
Autor: Ricardo Silva - novembro/2026
[1] MILONE, André de Castro. Introdução à Astronomia e Astrofísica. Capítulo 1 - A Astronomia do Dia Dia. INPE - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais Divisão de Astrofísica. São José dos Campos 2018
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[2] Páginas Difíceis da Física. Determinação da distância Terra-Sol e do Tamanho da Terra na Antiguidade. em: https://www.youtube.com/watch?v=mU-L4-vmHpU&t=1225s
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