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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos Mágicos Multiplicativos e os divisores de 100 - 204

Quadrados Mágicos Multiplicativos são quadrados em que os números de cada linha, cada coluna e diagonais são multiplicados e os produtos de cada um deles formam Constante Mágica.

A Tabela de Divisores - Wikipédia - a enciclopédia livre  listam todos os divisores dos números de 1 a 1000, no exemplo tem-se sequências de divisores de números quadrados perfeitos cujas quantidades são de 9 termos cada um.

Tabelas de Divisores de números quadados perfeitos
Raiz Número Divisores Quantidade
6 36 12, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 9
10 100 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 9
14 196 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196 9
15 225 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 9
16 256 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 9
21 441 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441 9
22 484 1, 2, 4, 11, 22, 44, 121, 242, 484 9

Fonte: Tabela adaptada de

[1] https://pt.wkipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

Os divisores do número 100

A razão entre os divisores do número 100 não é constante, isto é, há quantidades diferentes de razões, portanto, não formam progressão aritmética (PA) e nem progressão geométrica (PG).

Divisores do número quadrado perfeito 100
Divisores 1   2   4   5   10   20   25   50   100
Diferença   1   2   1   5   10   5   25   50  

Quadrado Mágico Imperfeito com divisores de 100

Somando-se os termos das linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Mágico Imperfeito, pois as somas não formam Constante Mágica.

Quadrado construído conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu, podendo ser utilizandos os métodos: Cruz e "Xis" e Yang Hui.

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3 - divisores de 100
62
 
5 100 2 = 107
4 10 25 = 39
50 1 20 = 71
= = =  
59 111 47 35

Quadrado Mágico Multiplicativo com divisores de 100

Multiplicando-se os termos das linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo, pois os produtos formam Constante Mágica.

Quadrado construído conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu, podendo ser utilizandos os métodos: Cruz e "Xis" e Yang Hui.

Observação importante: diferentemente do Quadrado Mágico Multiplicativo com divisores do número 36, o Quadrado Mágico Multiplicativo com os divisores do número 100 não houve permutação de dois grupos de termos equidistantes.

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 - constante mágica 1000
1000
 
5 100 2 = 1000
4 10 25 = 1000
50 1 20 = 1000
= = =  
1000 1000 1000 1000

Quadrado Mágico Multiplicativo ao quadrado

Elevando-se os termos do Quadrado Mágico Multiplicativo ao quadrado e somando as linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Mágico Imperfeito.

Soma dos termos 13.671

2604
 
25 10000 4 = 10029
16 100 625 = 741
2500 1 400 = 2901
= = =  
2541 10101 1029 525

Multiplicando-se os quadrados das linhas, colunas e diagonais, obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo.

Constante Mágica 1.000.000

Soma dos termos 13.671

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 - constante mágica 1.000.000
1000000
 
25 10000 4 = 1000000
16 100 625 = 1000000
2500 1 400 = 1000000
= = =  
1000000 1000000 1000000 1000000

Quadrado Mágico Multiplicativo ao cubo

Elevando-se os termos do Quadrado Mágico Multiplicativo ao cubo e somando as linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Mágico Imperfeito.

Soma dos termos 1.149.823

126008
 
125 1000000 8 = 1000133
64 1000 15625 = 16689
125000 1 8000 = 133001
= = =  
125189 1001001 23633 9125

Multiplicando-se os cubos das linhas, colunas e diagonais, obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo.

Constante Mágica 1.000.000.000

Soma dos termos 1.149.823

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 - constante mágica 1.000.000.000
1000000000
 
125 1000000 8 = 1000000000
64 1000 15625 = 1000000000
125000 1 8000 = 1000000000
= = =  
1000000000 1000000000 1000000000 1000000000

Quadrado Mágico Multiplicativo à quarta potencia

Elevando-se os termos do Quadrado Mágico Multiplicativo à quarta potência e somando as linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Mágico Imperfeito.

Soma dos termos 106.811.523

6260016
 
625 100000000 16 = 100000641
256 10000 390625 = 400881
6250000 1 160000 = 6410001
= = =  
6250881 100010001 550641 170625

Multiplicando-se às quartas potências das linhas, colunas e diagonais, obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo.

Constante Mágica 1.000.000.000.000

Soma dos termos 106.811.523

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 - constante mágica 1.000.000.000.000
1000000000000
 
625 100000000 16 = 1000000000000
256 10000 390625 = 1000000000000
6250000 1 160000 = 1000000000000
= = =  
1000000000000 1000000000000 1000000000000 1000000000000

Conclusão:

Divisores cujas sequências são de 9 termos, conforme tabela acima, as execeções, até o momento, são os divisores do número 36. 225 e 441 que para formarem Quadrados Mágicos Multiplicativos foram necessários permutarem dois grupos de termos equidistantes na construção do quadrado - ver matérias relacionadas para mais informações.

Os demais divisores de: 100, 196, 256 e 484 não precisaram ter termos permutados para se construirem Quadrados Mágicos Multiplicativos.

Há de se observar que são 7 exemplos de sequências de divisores analisadas, 2 demonstradas aqui no site num rol de 1000 números.

Outra constatação muito importante é que elevando-se os termos de um Quadrado Mágico Multiplicativo ao quadrado, ao cubo, à quarta potência e posteriormente multiplicando-se linhas, colunas e diagonais, obtêm-se também Quadrados Multi-Mágicos Multiplicativos de quadrados, de cubos e de quartas potências conforme exemplos demostrados.

Quadrado Mágico 3x3 Lo-Shu, formado com a sequência numérica de 1 a 9 e elevando-se cada termo ao quadrado, ao cubo e à quarta potência e posteriormente multiplicando-se linhas, colunas e diagonais não formaram Quadrados Mágicos Multiplicativos.

Fontes:

[1] https://pt.www.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

Autor: Ricardo Silva - setembro/2018

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