Quadrados Mágicos Multiplicativos são quadrados em que os números de cada linha, cada coluna e diagonais são multiplicados e os produtos de cada um deles formam Constante Mágica.
A Tabela de Divisores - Wikipédia - a enciclopédia livre listam todos os divisores dos números de 1 a 1000, no exemplo tem-se sequências de divisores de números quadrados perfeitos cujas quantidades são de 9 termos cada um.
| Tabelas de Divisores | |||
|---|---|---|---|
| de números quadados perfeitos | |||
| Raiz | Número | Divisores | Quantidade |
| 6 | 36 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 | 9 |
| 10 | 100 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 | 9 |
| 14 | 196 | 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196 | 9 |
| 15 | 225 | 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 | 9 |
| 16 | 256 | 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 | 9 |
| 21 | 441 | 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441 | 9 |
| 22 | 484 | 1, 2, 4, 11, 22, 44, 121, 242, 484 | 9 |
Fonte: Tabela adaptada de
[1] https://pt.wkipedia.org/
A razão entre os divisores do número 100 não é constante, isto é, há quantidades diferentes de razões, portanto, não formam progressão aritmética (P.A.) e nem progressão geométrica (P.G.).
| Divisores do número | |
|---|---|
| quadrado perfeito 100 | |
| Divisores | Diferença |
| 1 | |
| 1 | |
| 2 | |
| 2 | |
| 4 | |
| 1 | |
| 5 | |
| 5 | |
| 10 | |
| 10 | |
| 20 | |
| 5 | |
| 25 | |
| 25 | |
| 50 | |
| 50 | |
| 100 | |
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Somando-se os termos das linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Mágico Imperfeito, pois as somas não formam Constante Mágica.
Quadrado construído conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu, podendo ser utilizandos os métodos: Cruz e "Xis" e Yang Hui.
| Quadrado Mágico | ||||
| Imperfeito 3x3 | ||||
| divisores de 100 | ||||
| 62 | ||||
| 5 | 100 | 2 | = | 107 |
| 4 | 10 | 25 | = | 39 |
| 50 | 1 | 20 | = | 71 |
| = | = | = | ||
| 59 | 111 | 47 | 35 | |
Multiplicando-se os termos das linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo, pois os produtos formam Constante Mágica.
Quadrado construído conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu, podendo ser utilizandos os métodos: Cruz e "Xis" e Yang Hui.
Observação importante: diferentemente do Quadrado Mágico Multiplicativo com divisores do número 36, o Quadrado Mágico Multiplicativo com os divisores do número 100 não precisou-se permutar dois grupos de termos equidistantes.
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo 3x3 - | ||||
| constante mágica 1000 | ||||
| 1000 | ||||
| 5 | 100 | 2 | = | 1000 |
| 4 | 10 | 25 | = | 1000 |
| 50 | 1 | 20 | = | 1000 |
| = | = | = | ||
| 1000 | 1000 | 1000 | 1000 | |
Elevando-se os termos do Quadrado Mágico Multiplicativo ao quadrado e somando as linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Mágico Imperfeito.
Soma dos termos 13.671
| 2604 | ||||
| 25 | 10000 | 4 | = | 10029 |
| 16 | 100 | 625 | = | 741 |
| 2500 | 1 | 400 | = | 2901 |
| = | = | = | ||
| 2541 | 10101 | 1029 | 525 |
Multiplicando-se os quadrados das linhas, colunas e diagonais, obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo.
Constante Mágica 1.000.000
Soma dos termos 13.671
| Quadrado Mágico | ||||
| Multiplicativo 3x3 - | ||||
| constante mágica | ||||
| 1.000.000 | ||||
| 1000000 | ||||
| 25 | 10000 | 4 | = | 1000000 |
| 16 | 100 | 625 | = | 1000000 |
| 2500 | 1 | 400 | = | 1000000 |
| = | = | = | ||
| 1000000 | 1000000 | 1000000 | 1000000 | |
Elevando-se os termos do Quadrado Mágico Multiplicativo ao cubo e somando as linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Mágico Imperfeito.
Soma dos termos 1.149.823
| 126008 | ||||
| 125 | 1000000 | 8 | = | 1000133 |
| 64 | 1000 | 15625 | = | 16689 |
| 125000 | 1 | 8000 | = | 133001 |
| = | = | = | ||
| 125189 | 1001001 | 23633 | 9125 |
Multiplicando-se os cubos das linhas, colunas e diagonais, obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo.
Constante Mágica 1.000.000.000
Soma dos termos 1.149.823
| Quadrado Mágico | ||
| Multiplicativo 3x3 | ||
| constante mágica | ||
| 1.000.000.000 | ||
| 125 | 1000000 | 8 |
| 64 | 1000 | 15625 |
| 125000 | 1 | 8000 |
Elevando-se os termos do Quadrado Mágico Multiplicativo à quarta potência e somando as linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Mágico Imperfeito.
Soma dos termos 106.811.523
| 6260016 | ||||
| 625 | 100000000 | 16 | = | 100000641 |
| 256 | 10000 | 390625 | = | 400881 |
| 6250000 | 1 | 160000 | = | 6410001 |
| = | = | = | ||
| 6250881 | 100010001 | 550641 | 170625 |
Multiplicando-se às quartas potências das linhas, colunas e diagonais, obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo.
Constante Mágica 1.000.000.000.000
Soma dos termos 106.811.523
| Quadrado Mágico | ||
| Multiplicativo 3x3 | ||
| constante mágica | ||
| 1.000.000.000.000 | ||
| 625 | 100000000 | 16 |
| 256 | 10000 | 390625 |
| 6250000 | 1 | 160000 |
Divisores cujas sequências são de 9 termos, conforme tabela acima, as exceções, até o momento, são os divisores do número 36, 225 e 441 que para formarem Quadrados Mágicos Multiplicativos foram necessários permutarem dois grupos de termos equidistantes na construção do quadrado - ver matérias relacionadas para mais informações.
Os demais divisores de: 100, 196, 256 e 484 não precisaram ter termos permutados para se construirem Quadrados Mágicos Multiplicativos.
Há de se observar que são 7 exemplos de sequências de divisores analisadas, 2 demonstradas aqui no site num rol de 1000 números.
Outra constatação muito importante é que elevando-se os termos de um Quadrado Mágico Multiplicativo ao quadrado, ao cubo, à quarta potência e posteriormente multiplicando-se linhas, colunas e diagonais, obtêm-se também Quadrados Multi-Mágicos Multiplicativos de quadrados, de cubos e de quartas potências conforme exemplos demonstrados.
Quadrado Mágico 3x3 Lo-Shu, formado com a sequência numérica de 1 a 9 e elevando-se cada termo ao quadrado, ao cubo e à quarta potência e posteriormente multiplicando-se linhas, colunas e diagonais não formaram Quadrados Mágicos Multiplicativos.
Autor: Ricardo Silva - setembro/2018
[1] https://pt.www.wikipedia.org/
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
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