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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos Multiplicativos e divisores de um número - 202

As vezes a cena de um filme, parte de um livro, algo que tenhamos presenciado ou tenhamos visto fica na memória e quando a gente menos espera, resurge como num estalo, num flash, fazendo com que fiquemos pensando...relembrando..., e foi o que aconteceu.

Lendo a Dissertação de Mestrado de Jamerson Henriques da Silva -

Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental [1]

Capítulo 1, seção 1.2.4 - Multimágicos

"É o Quadrado Mágico, que ao invés de usar a operação adição, usamos a operação de multiplicação, onde os números de cada coluna ou linha são multiplicados de modo a formar a Constante Mágica, conhecido também como Quadrado Multiplicativo.

O exemplo a seguir foi construído com os divisores de 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

    3 36 2 = 216
    4 6 9 = 216
QM = 18 1 12 = 216
    = = = =  
    216 216 216    

veja que a Constante Mágica da primeira linha é: CM = 3 · 36 · 2 = 216."

Um dos detalhes que ficou na minha memória foi a palavra Multimágicos, que segundo o site www.multimagie.com, Quadrados Multimágicos são Quadrados Mágicos Puro, Normal ou Elementar que elevados a segunda potência (Bi-Mágico), terceira potência (Tri-Mágico), quarta potência (Tetra-Mágico) e assim sucessivamente, o quadrado continua sendo mágico.

E o Quadrado Mágico com os divisores de 36, não se encaixa no tipo Multimágico, porque os números não estão elevados a uma determinada potência.

No livro Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas [2], quadrado em que há a multiplicação dos termos é classificado como Quadrado Mágico Multiplicativo.

O outro detalhe é a sequência dos divisores de 36: {12, 3, 4, 69, 12, 18, 36} que não é uma Progressão Aritmética (PA) e nem Progressão Geométrica (PG) e mesmo assim foi possível construir um Quadrado Mágico 3x3 multiplicando os seus termos.

Quadrado Mágico Imperfeito - divisores de 36

Construindo um quadrado com a sequência dos divisores de 36, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito 3x3, isto é, as somas das linhas, das colunas e diagonais não formam Constante Mágica.

Observação: Quadrado Mágico construído segundo a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu, podendo ser utilizados os Métodos: Cruz e "Xis", Rotação e Yang Hui.

Sequência númerica dos divisores do número 36
        6        
      4   9      
    3       12    
  2           18  
1               36
Quadrado Mágico Imperfeito 3x3 com os divisores de 36
26
 
4 36 2 42
3 6 12 21
18 1 9 28
 
25 43 23 19

Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito 3x3 - divisores de 36

Construindo um quadrado com a sequência dos divisores de 36, obtem-se um Quadrado Mágico Mutiplicativo Imperfeito 3x3, isto é, os produtos das linhas, das colunas e diagonais não formam Constante Mágica em sua totalidade.

Observação: quadrado construído segundo a configuração do Lo-Shu, podendo ser utilizados os Métodos: Cruz e "Xis", Rotação e Yang Hui.

216
 
4 36 2 288
3 6 12 216
18 1 9 162
 
216 216 216 216

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 - divisores de 36

A construção do Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com a sequência dos divisores de 36, só foi possível com a inversão da posição de dois grupos de termos equidistantes.

Observação: Quadrado Mágico com a mesma configuração citada na Dissertação de Mestrado acima.

Sequência númerica dos divisores do número 36
        6        
      4   9      
    3       12    
  2           18  
1               36

Os termos equidistantes 4 e 9 passaram para a linha horizontal central.

Os termos equidistantes 3 e 12 passaram para a diagonal principal.

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 - constante mágica 216
216
 
3 36 2 216
4 6 9 216
18 1 12 216
 
216 216 216 216

Observação importante:

O Quadrado Mágico apresentado na Dissertação de Jamerson Henrique da Silva Marques é semelhante ao que foi produzido por Harry. A Sayles e publicado em 1913, com alteração na disposição dos números e republicado no livro Magic Squares de W.S. Andrews em 1960 pela Editora Dovers.[3]

Outros Quadrados Mágicos, entre eles, com o mesmo resultado de Harry A. Sayles fora produzido por G. Pfeffermann e publicados em 1893.[3]

Georges Pfeffermann, alemão naturalizado francês, foi quem criou em 1890 o primeiro Quadrado Bimágico de ordem 8.[3]

Henry E. Dudeney também publicou em seu livro Amusements in Mathematics Quadrado Mágico com o produto 216.[3]

Os Quadrados Mágicos 3x3 com o produto 216 podem ser gerados pela seguinte fórmula algébrica:[3]

quadrados mágicos multiplicativos gerados por método algébrico

Fonte: http://www.multimagie.com/English/Multiplicative.htm

Nos estudos de Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang publicados em Discrete Mathematics em 1983, os autores provaram por meio de Quadrados Latinos Ortogonais que o quadrado de produto 216 é o menor Quadrado Mágico Multiplicativo.[4]

quadrados mágicos multiplicativos gerados por quadrados latinos ortogonais

Fonte: [4] Discrete Mathematics 47 (1983) 1 - 11 North-Holland

Na Dissertação de Jamerson Henrique da Silva Marques, ele cita que o quadrado é formado pela sequência dos divisores de 36, mas não mostra método de como o quadrado foi construído.

Nas outras referências são mostrados os métodos de como o quadrado de produto 216 foi construído e em nenhum momento é citado que a sequência é constituída por divisores de 36.

Fontes:

[1] Marques, Jamerson Henriques da Silva. Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental / Jamerson Henrique da Silva Marques. – 2017. 96 p.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande – FURG, Programa de Pós-graduação em Matemática, Rio Grande/RS, 2017.

[2] Silva, Ricardo José da - Quadrados Mágicos e  Sequências Numéricas - livro digital - São Paulo, 2018

[3] http://www.multimagie.com/English/Multiplicative.htm

[4] Debra K. Borkovitz e Frank K. M. Hwang. Discrete Mathematics

Autor: Ricardo Silva setembro/2018

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