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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos e os divisores de números quadrados perfeitos - 207

Citar o Professor Luiz Barco "Quer ousar brincar com números descobrirá propriedades fascinantes", Professor da Universidade de São Paulo e Martin Gardner, filósofo, escritor, entusiasta matemático e divulgador de Matemática Recreativa...

Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers? This short question asked by Martin LaBar in 1984 became famous when Martin Gardner republished it in 1996 and offered $100 to the first person to construct such a square. Two years later, Gardner wrote:

So far no one has come forward with a “square of squares” – but no one has proved its impossibility either. If it exists, its numbers would be huge, perhaps beyond the reach of today’s fastest computers.

Fonte: http://www.multimagie.com

Pode um quadrado mágico de 3x3 ser construído com nove números quadrados distintos? Esta pequena pergunta feita por Martin LaBar em 1984 tornou-se famosa quando Martin Gardner a republicou em 1996 e ofereceu US$ 100 para a primeira pessoa a construir tal quadrado. Dois anos depois, Gardner escreveu:

Até agora ninguém avançou com um “quadrado de quadrados” - mas ninguém provou sua impossibilidade. Se existir, seus números seriam enormes, talvez além do alcance dos computadores mais rápidos de hoje.

... é uma grande safisfação, pois são palavras que me incentivam a descobrir e a redescobrir este fantástico mundo que é a Matemática.

Os divisores de números quadrados perfeitos constituídos por 9 termos e analisados pelo site apresentam outras propriedades numéricas e matemáticas, mesmo não sendo classificados como progressões aritméticas (PA) ou progressões geométricas (PG), com eles são possíveis construirem Quadrados Mágicos Multiplicativos e Quadrados Multi-Mágicos Multiplicativos simultaneamente, diferentemente das progressões aritméticas e geométricas.

Tabelas de Divisores de Números Quadrados Perfeitos
Raiz Número Divisores Quantidade
6 36 12, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 9
10 100 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 9
14 196 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196 9
15 225 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 9
16 256 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 9
21 441 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441 9
22 484 1, 2, 4, 11, 22, 44, 121, 242, 484 9

Quadrados Mágicos Multiplicativos

Quadrados Mágicos Multiplicativos são quadrados em que os números de cada linha, cada coluna e diagonais são multiplicados e os produtos de cada um deles formam Constante Mágica.

Quadrados Mágicos Multiplicativos 3x3 ou de ordem 3 são quadrados formados por 3 linhas e 3 colunas originando um quadriculado onde são dispostos em certa ordem sequência númérica de 9 termos.

Quadrados Multi-Mágicos

Quadrados Multi-Mágicos são quadrados que permacem mágicos quando seus termos são elevados à determinada potência, como ao quadrado, ao cubo, à quarta potência, à quinta potência, etc...

Divisores do número quadrado 100

A sequência dos divisores do número quadrado 100 não apresentam uma diferença constante entre cada dois termos da sequência, isto é, não possui uma razão, portanto não pode ser classificada como progressão aritmética e nem progressão geométrica.

Divisores 1   2   4   5   10   20   25   50   100
Diferença   1   2   1   5   10   5   25   50  

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 com os divisores de 100

Quadrado Mágico Muliplicativo construído com método Yang Hui/Pirâmide.

Multiplicando-se linhas, colunas e diagonais tem-se como Constante Mágica Multiplicativa 1000. (mil)

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 - divisores de 100
1.000
 
5 100 2 = 1000
4 10 25 = 1000
50 1 20 = 1000
= = =  
1000 1000 1000 1.000

Quadrado Bi-Mágico Multiplicativo 3x3

Elevando-se os termos do Quadrado Mágico Muliplicativo com divisores de 100 ao quadrado e posteriormente multiplicando linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Bi-Mágico Multiplicativo com Constante Bi-Mágica Multiplicativa 1.000.000.(um milhão)

1.000.000
 
25 10000 4 = 1000000
16 100 625 = 1000000
2500 1 400 = 1000000
= = =  
1000000 1000000 1000000 1.000.000

Quadrado Tri-Mágico Multiplicativo 3x3

Elevando-se os termos do Quadrado Mágico Muliplicativo com divisores de 100 ao cubo e posteriormente multiplicando linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Tri-Mágico Multiplicativo com Constante Tri-Mágica Multiplicativa 1.000.000.000 (um bilhão)

1.000.000.000
 
125 1000000 8 = 1000000000
64 1000 15625 = 1000000000
125000 1 8000 = 1000000000
= = =  
1000000000 1000000000 1000000000 1.000.000.000

Quadrado Tetra-Mágico Multiplicativo 3x3

Elevando-se os termos do Quadrado Mágico Muliplicativo com divisores de 100 à quarta potência e posteriormente multiplicando linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Tetra-Mágico Multiplicativo com Constante Tetra-Mágica Multiplicativa 1.000.000.000.000 (um trilhão)

625 100000000 16
256 10000 390625
6250000 1 160000

a) produto de cada linha

1ª -1.000.000.000.000

2ª -1.000.000.000.000

3ª -1.000.000.000.000

b) diagonal principal

1.000.000.000.000

c) diagonal secundária

1.000.000.000.000

d) produto de cada coluna

1ª -1.000.000.000.000

2ª -1.000.000.000.000

3ª -1.000.000.000.000

Quadrado Penta-Mágico Multiplicativo 3x3

Elevando-se os termos do Quadrado Mágico Muliplicativo com divisores de 100 à quinta potência e posteriormente multiplicando linhas, colunas e diagonais obtem-se Quadrado Tetra-Mágico Multiplicativo com Constante Tetra-Mágica Multiplicativa 1.000.000.000.000.000. (um quatrilhão)

3125 10000000000 32
1024 100000 9765625
312500000 1 3200000

a) produto de cada linha

1ª -1.000.000.000.000.000

2ª -1.000.000.000.000.000

3ª -1.000.000.000.000.000

b) diagonal principal

1.000.000.000.000.000

c) diagonal secundária

1.000.000.000.000.000

d) produto de cada coluna

1ª -1.000.000.000.000.000

2ª -1.000.000.000.000.000

3ª -1.000.000.000.000.000

Fonte:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

Autor: Ricardo Silva - outubro/2018

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