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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos Multiplicativos e os divisores de 36 - 203

Quadrados Mágicos Multiplicativos são quadrados em que os números de cada linha, cada coluna e diagonais são multiplicados e os produtos de cada um deles formam Constante Mágica.

Quantos Quadrados Mágicos Multiplicativos de ordem ímpar 3x3 formados por sequências numéricas de 9 divisores podem ser construídos?

Consultando a Tabela de Divisores - Wikipédia - a enciclopédia livre que listam todos os divisores dos números de 1 a 1000, verifica-se que alguns números quadrados perfeitos também possuem divisores em quantidade de números quadrados perfeitos, haja vista que podemos formar infinitas progressões aritméticas de números consecutivos, números pares, números ímpares, etc.

A tabela apresenta regularidades nas formações de divisores de números quadrados perfeitos:

a) coluna Número - são números quadrados perfeitos;

b) coluna Divisores - o termo médio é uma raiz quadrada;

c) coluna Quantidade - as sequências possuem 9 termos.

d) a diferença entre dois termos, isto é a razão, de cada sequência não é constante;

e) o produto de termos equidistantes de cada sequência tem como resultado número quadrado perfeito;

f) o termo médio ao quadrado é igual ao último termo da sequência;

g) a média geométrica de dois termos equidistantes tem como resultado a raiz quadrada do útimo termo da sequência.

Tabelas de Divisores de Números Quadrados Perfeitos
Raiz Número Divisores Quantidade
6 36 12, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 9
10 100 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 9
14 196 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196 9
15 225 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 9
16 256 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 9
21 441 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441 9
22 484 1, 2, 4, 11, 22, 44, 121, 242, 484 9
26 676 1, 2, 4, 13, 26, 52, 169, 338, 676 9

Fonte: Tabela adaptada de

[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

Os divisores do número 36

A razão entre os divisores do número 36 não é constante, isto é, há quantidades diferentes de razões, portanto não formam progressão aritmética (PA) e nem progressão geométrica (PG).

Divisores do número quadrado perfeito 36
Divisores 1   2   3   4   6   9   12   18   36
Diferença   1   1   1   2   3   3   6   18  

Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito

Construindo um quadrado conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu e escolhendo-se um dos métodos de construções como: Cruz e "Xis" e Yang Hui com a sequência dos divisores do número 36, obtem-se um Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito, pois os produtos das linhas, das colunas e diagonais não formam Constante Mágica em sua totalidade.

Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito 3x3
216
 
4 36 2 = 288
3 6 12 = 216
18 1 9 = 162
= = =  
216 216 216 216

Quadrado Mágico Multiplicativo

Construindo-se um quadrado com a permutação dos pares de números equidistantes:

3 e 12 na diagonal principal,

4 e 9 na linha horizontal central,

obtem-se um Quadrado Mágico Multiplicativo, pois os produtos das linhas, das colunas e diagonais formam Constante Mágica em sua totalidade.

Como se percebe é uma construção de Quadrado Mágico que não segue as regras de métodos tradicionais para construção de Quadrados Mágicos como: Cruz e "Xis" e Yang Hui.

Constante Mágica 216

Soma dos termos 91

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3- constante mágica 216
216
 
3 36 2 = 216
4 6 9 = 216
18 1 12 = 216
= = =  
216 216 216 216

Fonte: [1] Marques, Jamerson Henriques da Silva. Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental / Jamerson Henrique da Silva Marques. – 2017. 96 p. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande – FURG, Programa de Pós-graduação em Matemática, Rio Grande/RS, 2017.

Quadrado Mágico Multiplicativo ao quadrado

Elevando-se os termos do Quadrado Multiplicativo ao quadrado e somando as linhas, colunas e diagonais obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito.

Soma dos termos 1.911

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 ao quadrado imperfeito
364
 
9 1296 4 = 1309
16 36 81 = 133
324 1 144 = 469
= = =  
349 1333 229 189

Multiplicando-se os termos elevados ao quadrado das linhas, colunas e diagonais, obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo.

Constante Mágica 46.656

Soma dos termos 1.911

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 ao quadrado
46.656
 
9 1296 4 = 46.656
16 36 81 = 46.656
324 1 144 = 46.656
= = =  
46.656 46.656 46.656 46.656

Quadrado Mágico Multiplicativo ao cubo

Elevando-se os termos do Quadrado Multiplicativo ao cubo e somando as linhas, colunas e diagonais obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito.

Soma dos termos 55.261

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 ao cubo - imperfeito
6056
 
27 46656 8 = 46691
64 216 729 = 1009
5832 1 1728 = 7561
= = =  
5923 46873 2465 1971

Multiplicando-se os cubos das linhas, colunas e diagonais, obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo.

Constante Mágica 10.077.696

Soma dos termos 55.261

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 ao cubo
10077696
 
27 46656 8 = 10077696
64 216 729 = 10077696
5832 1 1728 = 10077696
= = =  
10077696 10077696 10077696 10077696

Quadrado Mágico Multiplicativo à quarta potência

Elevando-se os termos do Quadrado Multiplicativo à quarta potência e somando as linhas, colunas e diagonais obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito.

Soma dos termos 1.813.539

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 à 4a potência - imperfeito
106288
 
81 1679616 16 = 1679713
256 1296 6561 = 8113
104976 1 20736 = 125713
= = =  
105313 1680913 27313 22113

Multiplicando-se às quartas potências das linhas, colunas e diagonais, obtem-se Quadrado Mágico Multiplicativo.

Constante Mágica 2.176.782.336

Soma dos termos 1.813.539

Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3 à 4a potência
2176782336
 
81 1679616 16 = 2176782336
256 1296 6561 = 2176782336
104976 1 20736 = 2176782336
= = =  
2176782336 2176782336 2176782336 2176782336

Conclusão:

Divisores cujas sequências são de 9 termos, conforme tabela acima, as execeção, até o momento, são os divisores do número 36, 225 e 441 que para formarem Quadrado Mágico Multiplicativo foram necessários permutar dois grupos de termos equidistantes na construção do quadrado.

Os demais divisores de: 100, 196, 256, e 484 não precisaram ser permutados para se construirem Quadrados Mágicos Multiplicativos.

Há de se observar que são 7 exemplos de sequências de divisores analisadas, 2 demonstradas aqui no site num rol de 1000 números.

Outra constatação muito importante é que elevando-se os termos de um Quadrado Mágico Multiplicativo ao quadrado, ao cubo, à quarta potência e posteriormente multiplicando-se linhas, colunas e diagonais, obtêm-se Quadrados Multi-Mágicos Multiplicativos de quadrado, de cubo e de quarta potências conforme exemplos demostrados.

Quadrado Mágico 3x3 Normal, formado com a sequência numérica de 1 a 9 e elevando-se cada termo ao quadrado, ao cubo e à quarta potência e posteriormente multiplicando-se linhas, colunas e diagonais não formaram Quadrados Multi-Mágicos Multiplicativos.

Bibliografia:

[1] Marques, Jamerson Henriques da Silva. Estudo do quadrado mágico com uso nos anos finais do ensino fundamental / Jamerson Henrique da Silva Marques. – 2017. 96 p. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande – FURG, Programa de Pós-graduação em Matemática, Rio Grande/RS, 2017.

[2] https://pt.www.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

Autor: Ricardo Silva - setembro/2018

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