Quadrados Semi-Mágicos Multiplicativos 4x4 ou de ordem 4 são quadrados com 16 células construídos com sequências numéricas formadas por divisores de um número natural em que os produtos das diagonais apresentam Constante Mágica.
Informações das 7 primeiras sequências de divisores cuja quantidade de termos são 16 números - Tabela de Divisores - Wikipédia - a enciclopédia livre que listam todos os divisores dos números de 1 a 1000.
A tabela apresenta regularidades nas formações de divisores:
a) coluna Número - não apresentam números quadrados perfeitos;
b) coluna Divisores - não apresentam termos médios;
c) coluna Quantidade - as sequências possuem 16 termos.
d) a diferença entre dois termos, isto é, a razão de cada sequência não é constante;
e) o produto de termos equidistantes de cada sequência tem como resultado o último termo da sequência.
| Tabelas de Divisores | |||
|---|---|---|---|
| Raiz | Número | Divisores | Quantidade |
| - | 120 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 | 16 |
| - | 168 | 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168 | 16 |
| - | 210 | 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 | 16 |
| - | 216 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216 | 16 |
| - | 264 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12, 22, 24, 33, 44, 66, 88, 132, 264 | 16 |
| - | 270 | 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270 | 16 |
| - | 280 | 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280 | 16 |
Fonte: Tabela adaptada de
[1] https://pt.wikipedia.org/wiki
Multiplicando-se os divisores de 120, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.
Quadrado construído com o Método Moschopoulos.
D (120): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
| 120 | 2 | 3 | 30 |
| 5 | 20 | 15 | 10 |
| 12 | 8 | 6 | 24 |
| 4 | 40 | 60 | 1 |
produtos das linhas
1ª -21600
2ª -15000
3ª -13824
4ª -9600
diagonal principal - 14.400
diagonal secundária - 14.400
produtos das colunas
1ª -28800
2ª -12800
3ª -16200
4ª -7200
Elevando-se os divisores de 120 ao quadrado e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.
Quadrado construído com o Método Moschopoulos.
| 14400 | 4 | 9 | 900 |
| 25 | 400 | 225 | 100 |
| 144 | 64 | 36 | 576 |
| 16 | 1600 | 3600 | 1 |
produtos das linhas
1ª -466560000
2ª -225000000
3ª -191102976
4ª -92160000
diagonal principal - 207.360.000
diagonal secundária - 207.360.000
produtos das colunas
1ª -829440000
2ª -163840000
3ª -262440000
4ª -51840000
Elevando-se os divisores de 120 ao cubo e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.
Quadrado construído com o Método Moschopoulos.
| 1728000 | 8 | 27 | 27000 |
| 125 | 8000 | 3375 | 1000 |
| 1728 | 512 | 216 | 13824 |
| 64 | 64000 | 216000 | 1 |
produtos da linhas
1ª -10077696000000
2ª -3375000000000
3ª -2641807540224
4ª -884736000000
diagonal principal - 2.985.984.000.000
diagonal secundária - 2.985.984.000.000
produtos das colunas
1ª -23887872000000
2ª -2097152000000
3ª -4251528000000
4ª -373248000000
Multiplicando-se os divisores de 168, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.
Quadrado construído com o Método Moschopoulos.
D (168): 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168
| 168 | 2 | 3 | 42 |
| 6 | 24 | 21 | 12 |
| 14 | 8 | 7 | 28 |
| 4 | 56 | 84 | 1 |
produtos da linhas
1ª -42336
2ª -36288
3ª -21952
4ª -18816
diagonal principal -28.224
diagonal secundária -28.224
produtos das colunas
1ª -56448
2ª -21504
3ª -37044
4ª -14112
Elevando-se os divisores de 168 ao quadrado e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.
Quadrado construído com o Método Moschopoulos.
| 28224 | 4 | 9 | 1764 |
| 36 | 576 | 441 | 144 |
| 196 | 64 | 49 | 784 |
| 16 | 3136 | 7056 | 1 |
produtos da linhas
1ª -1792336896
2ª -1316818944
3ª -481890304
4ª -354041856
diagonal principal -796.594.176
diagonal secundária -796.594.176
produtos das colunas
1ª -3186376704
2ª -462422016
3ª -1372257936
4ª -199148544
Elevando-se os divisores de 168 ao cubo e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.
Quadrado construído com o Método Moschopoulos.
| 4741632 | 8 | 27 | 74088 |
| 216 | 13824 | 9261 | 1728 |
| 2744 | 512 | 343 | 21952 |
| 64 | 175616 | 592704 | 1 |
produtos da linhas
1ª -75880374829056
2ª -47784725839872
3ª -10578455953408
4ª -6661651562496
diagonal principal - 22.483.074.023.424
diagonal secundária - 22.483.074.023.424
produtos das colunas
1ª -179864592187392
2ª -9943923032064
3ª -50833922981184
4ª -2810384252928
Multiplicando-se os divisores de 210, as diagonais e dois pares de linhas apresentam produtos iguais.
Quadrado construído com o Método Moschopoulos.
D (210): 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210
| 210 | 2 | 3 | 42 |
| 6 | 30 | 21 | 14 |
| 15 | 10 | 7 | 35 |
| 5 | 70 | 105 | 1 |
produtos da linhas
1ª -52920
2ª -52920
3ª -36750
4ª -36750
diagonal principal - 44100
diagonal secundária -44100
produtos das colunas
1ª -94500
2ª -42000
3ª -46305
4ª -20580
Elevando-se os divisores de 210 ao quadrado as diagonais e dois pares de linhas apresentam produtos iguais.
Quadrado construído com o Método Moschopoulos.
| 44100 | 4 | 9 | 1764 |
| 36 | 900 | 441 | 196 |
| 225 | 100 | 49 | 1225 |
| 25 | 4900 | 11025 | 1 |
produtos da linhas
1ª -2800526400
2ª -2800526400
3ª -1350562500
4ª -1350562500
diagonal principal -1.944.810.000
diagonal secundária -1.944.810.000
produtos das colunas
1ª -8930250000
2ª -1764000000
3ª -2144153025
4ª -423536400
Elevando-se os divisores de 210, as diagonais e dois pares de linhas apresentam produtos iguais.
Quadrado construído com o Método Moschopoulos.
| 9261000 | 8 | 27 | 74088 |
| 216 | 27000 | 9261 | 2744 |
| 3375 | 1000 | 343 | 42875 |
| 125 | 343000 | 1157625 | 1 |
produtos da linhas
1ª -148203857088000
2ª -148203857088000
3ª -49633171875000
4ª -49633171875000
diagonal principal - 85.766.121.000.000
diagonal secundária - 85.766.121.000.000
produtos das colunas
1ª -843908625000000
2ª -74088000000000
3ª -99285005822625
4ª -8716379112000
Com os exemplos de Quadrados Semi-Mágicos Multiplicativos 4x4 expostos, percebe-se as inconsistências nas construções, pois nos quadrados dos divisores de 210, pares de linhas têm produtos iguais, diferentemente dos exemplos dos quadrados dos divisores 120 e 168.
Aqui fica um desafio e uma incógnita, será que é possível formar Quadrado Mágico Multiplicativo 4x4 ou de ordem 4.
Outro detalhe é que os produtos vão alcançando a classe dos trilhões, quatrilhões, quintilhões a medida que se avança na lista de divisores de um número natural.
Haverá poder de processamento computacional para se fazerem tais cálculos?
Autor: Ricardo Silva - setembro/2018
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1] https://pt.www.wikipedia.org/
Autor: Ricardo Silva - setembro/2018
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