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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Semi-Mágicos Multiplicativos 4x4 - 205

Quadrados Semi-Mágicos Multiplicativos 4x4 ou de ordem 4 são quadrados com 16 células construídos com sequências numéricas formadas por divisores de um número natural em que os produtos das diagonais apresentam Constante Mágica.

Informações das 7 primeiras sequências de divisores cuja quantidade de termos são 16 números - Tabela de Divisores - Wikipédia - a enciclopédia livre que listam todos os divisores dos números de 1 a 1000.

A tabela apresenta regularidades nas formações de divisores:

a) coluna Número - não apresentam números quadrados perfeitos;

b) coluna Divisores - não apresentam termos médios;

c) coluna Quantidade - as sequências possuem 16 termos.

d) a diferença entre dois termos, isto é, a razão de cada sequência não é constante;

e) o produto de termos equidistantes de cada sequência tem como resultado o último termo da sequência.

Tabelas de Divisores
       
Raiz Número Divisores Quantidade
       
- 120 12, 3, 4,  5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 16
       
- 168 1, 2, 3, 4,  6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168 16
       
- 210 1, 2, 3, 5,  6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 16
       
- 216 1, 2, 3, 4,  6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216 16
       
- 264 1, 2, 3, 4,  6, 8, 11, 12, 22, 24, 33, 44, 66, 88, 132, 264 16
       
- 270 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270 16
       
- 280 1, 2, 4, 5,  7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280 16

Fonte: Tabela adaptada de

[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4- divisores de 120

Multiplicando-se os divisores de 120, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

D (120): 12, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

120 2 3 30
5 20 15 10
12 8 6 24
4 40 60 1

produtos das linhas

1ª -21600

2ª -15000

3ª -13824

4ª -9600

diagonal principal - 14.400

diagonal secundária - 14.400

produtos das colunas

1ª -28800

2ª -12800

3ª -16200

4ª -7200

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao quadrado - divisores de 120

Elevando-se os divisores de 120 ao quadrado e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

14400 4 9 900
25 400 225 100
144 64 36 576
16 1600 3600 1

produtos das linhas

1ª -466560000

2ª -225000000

3ª -191102976

4ª -92160000

diagonal principal - 207.360.000

diagonal secundária - 207.360.000

produtos das colunas

1ª -829440000

2ª -163840000

3ª -262440000

4ª -51840000

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao cubo - divisores de 120

Elevando-se os divisores de 120 ao cubo e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

1728000 8 27 27000
125 8000 3375 1000
1728 512 216 13824
64 64000 216000 1

produtos da linhas

1ª -10077696000000

2ª -3375000000000

3ª -2641807540224

4ª -884736000000

diagonal principal - 2.985.984.000.000

diagonal secundária - 2.985.984.000.000

produtos das colunas

1ª -23887872000000

2ª -2097152000000

3ª -4251528000000

4ª -373248000000

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 - divisores de 168

Multiplicando-se os divisores de 168, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

D (168): 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168

168 2 3 42
6 24 21 12
14 8 7 28
4 56 84 1

produtos da linhas

1ª -42336

2ª -36288

3ª -21952

4ª -18816

diagonal principal -28.224

diagonal secundária -28.224

produtos das colunas

1ª -56448

2ª -21504

3ª -37044

4ª -14112

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao quadrado - divisores de 168

Elevando-se os divisores de 168 ao quadrado e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

28224 4 9 1764
36 576 441 144
196 64 49 784
16 3136 7056 1

produtos da linhas

1ª -1792336896

2ª -1316818944

3ª -481890304

4ª -354041856

diagonal principal -796.594.176

diagonal secundária -796.594.176

produtos das colunas

1ª -3186376704

2ª -462422016

3ª -1372257936

4ª -199148544

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao cubo - divisores de 168

Elevando-se os divisores de 168 ao cubo e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

4741632 8 27 74088
216 13824 9261 1728
2744 512 343 21952
64 175616 592704 1

produtos da linhas

1ª -75880374829056

2ª -47784725839872

3ª -10578455953408

4ª -6661651562496

diagonal principal - 22.483.074.023.424

diagonal secundária - 22.483.074.023.424

produtos das colunas

1ª -179864592187392

2ª -9943923032064

3ª -50833922981184

4ª -2810384252928

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4- divisores de 210

Multiplicando-se os divisores de 210, as diagonais e dois pares de linhas apresentam produtos iguais.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

D (210): 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210

210 2 3 42
6 30 21 14
15 10 7 35
5 70 105 1

produtos da linhas

1ª -52920

2ª -52920

3ª -36750

4ª -36750

diagonal principal -44100

diagonal secundária -44100

produtos das colunas

1ª -94500

2ª -42000

3ª -46305

4ª -20580

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao quadrado - divisores de 210

Elevando-se os divisores de 210 ao quadrado as diagonais e dois pares de linhas apresentam produtos iguais.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

44100 4 9 1764
36 900 441 196
225 100 49 1225
25 4900 11025 1

produtos da linhas

1ª -2800526400

2ª -2800526400

3ª -1350562500

4ª -1350562500

diagonal principal -1.944.810.000

diagonal secundária -1.944.810.000

produtos das colunas

1ª -8930250000

2ª -1764000000

3ª -2144153025

4ª -423536400

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao cubo - divisores de 210

Elevando-se os divisores de 210, as diagonais e dois pares de linhas apresentam produtos iguais.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

9261000 8 27 74088
216 27000 9261 2744
3375 1000 343 42875
125 343000 1157625 1

produtos da linhas

1ª -148203857088000

2ª -148203857088000

3ª -49633171875000

4ª -49633171875000

diagonal principal - 85.766.121.000.000

diagonal secundária - 85.766.121.000.000

produtos das colunas

1ª -843908625000000

2ª -74088000000000

3ª -99285005822625

4ª -8716379112000

Conclusão

Com os exemplos de Quadrados Semi-Mágicos Multiplicativos 4x4 expostos, percebe-se as inconsistências nas construções, pois o nos quadrados dos divisores de 210, pares de linhas têm produtos iguais, diferentemente dos exemplos dos quadrados dos divisores 120 e 168.

Aqui fica um desafio e uma incógnita, será que é possível formar Quadrado Mágico Multiplicativo 4x4 ou de ordem 4.

Outro detalhe é que os produtos vão alcaçando a classe dos trilhões, quatrilhões, quintilhões a medida que se avança na lista de divisores de um número natural.

Haverá poder de processamento para se fazer tais cálculos?

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

[1] https://pt.www.wikipedia.org/ wiki/Tabela_de_divisores

Autor: Ricardo Silva - setembro/2018

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