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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Semi-Mágicos Multiplicativos 4x4 - 205

Quadrados Semi-Mágicos Multiplicativos 4x4 ou de ordem 4 são quadrados com 16 células construídos com sequências numéricas formadas por divisores de um número natural em que os produtos das diagonais apresentam Constante Mágica.

Informações das 7 primeiras sequências de divisores cuja quantidade de termos são 16 números - Tabela de Divisores - Wikipédia - a enciclopédia livre que listam todos os divisores dos números de 1 a 1000.

A tabela apresenta regularidades nas formações de divisores:

a) coluna Número - não apresentam números quadrados perfeitos;

b) coluna Divisores - não apresentam termos médios;

c) coluna Quantidade - as sequências possuem 16 termos.

d) a diferença entre dois termos, isto é, a razão de cada sequência não é constante;

e) o produto de termos equidistantes de cada sequência tem como resultado o último termo da sequência.

Tabelas de Divisores
Raiz Número Divisores Quantidade
- 120 12, 3, 4,  5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 16
- 168 1, 2, 3, 4,  6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168 16
- 210 1, 2, 3, 5,  6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 16
- 216 1, 2, 3, 4,  6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216 16
- 264 1, 2, 3, 4,  6, 8, 11, 12, 22, 24, 33, 44, 66, 88, 132, 264 16
- 270 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270 16
- 280 1, 2, 4, 5,  7, 8, 10, 14, 20, 28, 35, 40, 56, 70, 140, 280 16

Fonte: Tabela adaptada de

[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4- divisores de 120

Multiplicando-se os divisores de 120, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

D (120): 12, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

120 2 3 30
5 20 15 10
12 8 6 24
4 40 60 1

produtos das linhas

1ª -21600

2ª -15000

3ª -13824

4ª -9600

diagonal principal - 14.400

diagonal secundária - 14.400

produtos das colunas

1ª -28800

2ª -12800

3ª -16200

4ª -7200

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao quadrado - divisores de 120

Elevando-se os divisores de 120 ao quadrado e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

14400 4 9 900
25 400 225 100
144 64 36 576
16 1600 3600 1

produtos das linhas

1ª -466560000

2ª -225000000

3ª -191102976

4ª -92160000

diagonal principal - 207.360.000

diagonal secundária - 207.360.000

produtos das colunas

1ª -829440000

2ª -163840000

3ª -262440000

4ª -51840000

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao cubo - divisores de 120

Elevando-se os divisores de 120 ao cubo e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

1728000 8 27 27000
125 8000 3375 1000
1728 512 216 13824
64 64000 216000 1

produtos da linhas

1ª -10077696000000

2ª -3375000000000

3ª -2641807540224

4ª -884736000000

diagonal principal - 2.985.984.000.000

diagonal secundária - 2.985.984.000.000

produtos das colunas

1ª -23887872000000

2ª -2097152000000

3ª -4251528000000

4ª -373248000000

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 - divisores de 168

Multiplicando-se os divisores de 168, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

D (168): 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168

168 2 3 42
6 24 21 12
14 8 7 28
4 56 84 1

produtos da linhas

1ª -42336

2ª -36288

3ª -21952

4ª -18816

diagonal principal -28.224

diagonal secundária -28.224

produtos das colunas

1ª -56448

2ª -21504

3ª -37044

4ª -14112

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao quadrado - divisores de 168

Elevando-se os divisores de 168 ao quadrado e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

28224 4 9 1764
36 576 441 144
196 64 49 784
16 3136 7056 1

produtos da linhas

1ª -1792336896

2ª -1316818944

3ª -481890304

4ª -354041856

diagonal principal -796.594.176

diagonal secundária -796.594.176

produtos das colunas

1ª -3186376704

2ª -462422016

3ª -1372257936

4ª -199148544

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao cubo - divisores de 168

Elevando-se os divisores de 168 ao cubo e multiplicando-os, somente as diagonais apresentam Constante Mágica.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

4741632 8 27 74088
216 13824 9261 1728
2744 512 343 21952
64 175616 592704 1

produtos da linhas

1ª -75880374829056

2ª -47784725839872

3ª -10578455953408

4ª -6661651562496

diagonal principal - 22.483.074.023.424

diagonal secundária - 22.483.074.023.424

produtos das colunas

1ª -179864592187392

2ª -9943923032064

3ª -50833922981184

4ª -2810384252928

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4- divisores de 210

Multiplicando-se os divisores de 210, as diagonais e dois pares de linhas apresentam produtos iguais.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

D (210): 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210

210 2 3 42
6 30 21 14
15 10 7 35
5 70 105 1

produtos da linhas

1ª -52920

2ª -52920

3ª -36750

4ª -36750

diagonal principal -44100

diagonal secundária -44100

produtos das colunas

1ª -94500

2ª -42000

3ª -46305

4ª -20580

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao quadrado - divisores de 210

Elevando-se os divisores de 210 ao quadrado as diagonais e dois pares de linhas apresentam produtos iguais.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

44100 4 9 1764
36 900 441 196
225 100 49 1225
25 4900 11025 1

produtos da linhas

1ª -2800526400

2ª -2800526400

3ª -1350562500

4ª -1350562500

diagonal principal -1.944.810.000

diagonal secundária -1.944.810.000

produtos das colunas

1ª -8930250000

2ª -1764000000

3ª -2144153025

4ª -423536400

Quadrado Semi-Mágico Multiplicativo 4x4 ao cubo - divisores de 210

Elevando-se os divisores de 210, as diagonais e dois pares de linhas apresentam produtos iguais.

Quadrado construído com o Método Moschopoulos.

9261000 8 27 74088
216 27000 9261 2744
3375 1000 343 42875
125 343000 1157625 1

produtos da linhas

1ª -148203857088000

2ª -148203857088000

3ª -49633171875000

4ª -49633171875000

diagonal principal - 85.766.121.000.000

diagonal secundária - 85.766.121.000.000

produtos das colunas

1ª -843908625000000

2ª -74088000000000

3ª -99285005822625

4ª -8716379112000

Conclusão

Com os exemplos de Quadrados Semi-Mágicos Multiplicativos 4x4 expostos, percebe-se as inconsistências nas construções, pois o nos quadrados dos divisores de 210, pares de linhas têm produtos iguais, diferentemente dos exemplos dos quadrados dos divisores 120 e 168.

Aqui fica um desafio e uma incógnita, será que é possível formar Quadrado Mágico Multiplicativo 4x4 ou de ordem 4.

Outro detalhe é que os produtos vão alcaçando a classe dos trilhões a medida que avançamos na lista dos divisores.

Haverá poder de processamento para se fazer tais cálculos?

Fontes:

[1] https://pt.www.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_divisores

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

Autor: Ricardo Silva - setembro/2018

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