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Página de estudos de matemática e sequências

Múltiplos de um número natural e MMC (Mínimo Múltiplo Comum) - 043

Neste estudo é apresentado outra característica do mmc (mínimo múltiplo comum). O mmc de determinados conjuntos de números, quando divididos por este mesmo conjunto de números apresentam quocientes que somados tem como resultado um número primo.

Os múltiplos de um número natural

Obtemos os múltiplos de determinado número, simplesmente multiplicando este número pela sequência dos números naturais. Os múltiplos de um número natural é um sequência infinita.

Os múltiplos de 2

2x0=0 2x1=2 2x2=4 2x3=6 2x4=8 2x5=10

M (2): 0, 2, 4, 6, 8, 10 , 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...

Os múltiplos de 3

3x0=0 3x1=3 3x2=6 3x3=9 3x4=12 3x5=15

M (3): 0, 3, 6, 9, 12, 15 , 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...

Os múltiplos de 4

4x0=0 4x1=4 4x2=8 4x3=12 4x4=16 4x5=20

M (4): 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...

O mínimo múltiplo comum (mmc)

Observando as sequências dos múltiplos de 2, 3 e 4, deparamos com um número que é o menor múltiplo comum entres eles, o número 12, excetuando-se o número zero (0).

M (2): 0, 2, 4, 6, 8, 10 , 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...

M (3): 0, 3, 6, 9, 12, 15 , 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...

M (4): 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...

Então o mmc (2, 3, 4)={12}

MMC através da decomposição em fatores primos.

Dispondo os números 2, 3 e 4 do lado esquerdo em colunas, começamos a dividí-los a partir do menor número primo colocado à direita, neste caso, o número primo 2.

      Fatores Primos  
2 3 4 2 Divide-se 2 e 4 pelo número primo 2
1 3 2 2 Divide-se 2 pelo número primo 2
1 3 1 3 Divide-se 3 pelo número primo 3
1 1 1    
         

Obtemos como fatores primos os números: 2, 2 e 3 que multiplicados (2 x 2 x 3 = 12) tem-se como produto o múltiplo comum dos números 2, 3 e 4.

O número 12 é o mínimo múltiplo comum (mmc) dos números 2, 3 e 4.

MMC dos números ímpares 3, 5 e 7

Exemplo 4a)

a) Calculando o mmc dos números 3, 5 e 7

      Fatores Primos  
3 5 7 3 Divide-se 3 pelo número primo 3
1 5 7 5 Divide-se 5 pelo número primo 5
1 1 7 7 Divide-se 7 pelo número primo 7
1 1 1    
         

b) mmc (3, 5, 7)=3 x 5 x 7 = 105

c) Dividindo o mmc pelos números 3, 5 e 7

  Quocientes
105 : 3 = 35
105 : 5 = 21
105 : 7 = 15
   
soma dos quocientes 71

A soma dos quocientes do mmc divididos pelos números 3, 5, e 7 é 71.

71 é um número primo.

MMC dos números ímpares 7, 9 e 11

a) Calculando o mmc dos números 7, 9 e 11

      Fatores Primos  
7 9 11 3 Divide-se 9 pelo número primo 3
7 3 11 3 Divide-se 3 pelo número primo 3
7 1 11 7 Divide-se 7 pelo número primo 7
1 1 11 11 Divide-se 11 pelo número primo 11
1 1 1    

b) mmc (7, 9, 11) =3 x 3 x 7 x 11 = 693

c) Dividindo o mmc pelos números 7, 9 e 11

  Quocientes
693 : 7 = 99
693 : 9 = 77
693 : 11 = 63
   
soma dos quocientes 239

A soma dos quocientes do mmc divididos pelos números 7, 9, e 11 é 239.

239 é um número primo.

MMC dos números ímpares 9,11 e 13

a) Calculando o mmc dos números 9, 11 e 13

      Fatores Primos  
9 11 13 3 Divide-se 9 pelo número primo 3
3 11 13 3 Divide-se 3 pelo número primo 3
1 11 13 11 Divide-se 11 pelo número primo 11
1 11 13 13 Divide-se 13 pelo número primo 13
1 1 1    

b) mmc (9, 11, 13) = 3 x 3 x 11 x 13 = 1287

c) Dividindo o mmc pelos números: 9, 11 e 13

  Quocientes
1287 : 9 = 143
1287 : 11 = 117
1287 : 13 = 99
   
soma dos quocientes 359

A soma dos quocientes do mmc divididos pelos números 9, 11 e 13 é 359.

359 é um número primo.

MMC dos números ímpares 7, 9 , 11, 13 e 15

Exemplo 5a)

a) Calculando o mmc dos números 7, 9 , 11, 13 e 15

          Fatores Primos  
7 9 11 13 15 3 Divide-se 9 e 15 pelo número primo 3
7 3 11 13 5 3 Divide-se 3 pelo número primo 3
7 1 11 13 5 5 Divide-se 5 pelo número primo 5
7 1 11 13 1 7 Divide-se 7 pelo número primo 7
1 1 11 13 1 11 Divide-se 11 pelo número primo 11
1 1 1 13 1 13 Divide-se 13 pelo número primo 13
1 1 1 1 1    

b) mmc (7, 9, 11, 13, 15) = 3 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 = 45.045

c) Dividindo o mmc pelos números 7, 9, 11, 13, 15

  Quocientes
45.045 : 7 = 6435
45.045 : 9 = 5005
45.045 : 11 = 4095
45.045 : 13 = 3465
45.045 : 15 = 3003
   
soma dos quocientes 22.003

A soma dos quocientes do mmc divididos pelos números 7, 9, 11, 13 e 15 é 22.003.

22.003 é um número primo.

Autor: Ricardo Silva

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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