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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Multiplicação através da soma de múltiplos - parte 1 - 154

Fazendo cálculos com somas e diferenças entre números quadrados perfeitos observei que podemos obter a soma de produtos de quaisquer números, semelhante ao algoritmo usual de multiplicação, quando armamos a conta no sentido vertical.

Acredito ser este algoritimo, o qual nomeei como método da Escadinha, uma novidade para se fazer multiplicação. Tenho e tive a oportunidade de ver vários livros de matemática, mas nada parecido como demonstrado a seguir.

Se por ventura, você que estiver lendo este estudo, souber que já exista algoritmo igual, sinta-se a vontade para me comunicar, humildemente retiro a palavra novidade.

Múltiplos de um número e tabuadas

Alguns múltiplos são fáceis de se escrever, falar e memorizar:

a) múltiplos de 2:

2, 4, 6, 8, 10, 12,...

b) múltiplos de 3:

3, 6, 9, 12, 15, 18,...

c) múltiplos de 4:

4, 8, 12, 16, 20,...

d) múltiplos de 5:

5, 10, 15, 20, 25,...

enquanto outros não são tão fáceis, como: 13, 17, 19, 23, etc.

Para auxiliar na memorização e nos cálculos aprendemos a utilizar as tabuadas em formas de tabelas onde temos a multiplicação de determinado número por uma sequência de 1 a 10.

Tabuada do 1
       
0 x 1 = 0
1 x 1 = 1
2 x 1 = 2
3 x 1 = 3
4 x 1 = 4
5 x 1 = 5
6 x 1 = 6
7 x 1 = 7
8 x 1 = 8
9 x 1 = 9
10 x 1 = 10
Tabuada do 2
       
0 x 2 = 0
1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
3 x 2 = 6
4 x 2 = 8
5 x 2 = 10
6 x 2 = 12
7 x 2 = 14
8 x 2 = 16
9 x 2 = 18
10 x 2 = 20
Tabuada do 3
       
0 x 3 = 0
1 x 3 = 3
2 x 3 = 6
3 x 3 = 9
4 x 3 = 12
5 x 3 = 15
6 x 3 = 18
7 x 3 = 21
8 x 3 = 24
9 x 3 = 27
10 x 3 = 30

Algorítmo usual de multiplicação

Deseja-se saber o produto de 3 por 458 e o algoritmo usual de multiplicação que aprendemos é armar a conta verticalmente, colocando-se os fatores um abaixo do outro e efetuando a múltiplicação.

  4 5 8  
         
x     3  
         
1 3 7 4  

Multiplicando números através da soma de múltiplos (produtos)

Deseja-se saber o produto de 3 por 458.

Utilizando-se da técnica de armar a conta verticamente, temos um novo algoritmo para efetuar multiplicações.

Fazendo-se do uso da tabuada de multiplicação onde temos o produto de um número pela sequência de 1 a 10, as contas ficam assim:

3 x 4 = 12

3 x 5 = 15

3 x 8 = 24

3 x 4   1 2    
               
3 x 5     1 5  
               
3 x 8       2 4
               
               
        1 3 7 4

Simplificando o algoritmo, basta lembrar os múltiplos de um número, neste caso, os múltiplos de 3, armar a conta de cima para baixo e deslocando-se uma casa à direita e descendo uma linha os múltiplos e posteriormente somando-os, isto é, os produtos que neste caso viraram parcelas.

Como vemos, é só deslocar uma casa à direita e descer uma linha a partir do segundo múltiplo e depois efetuamos a adição das parcelas.

1 2    
       
  1 5  
       
    2 4
       
       
1 3 7 4

Importante observar que o maior número de 2 algarismos e que é produto de dois fatores cujos números são de um algarismo cada um é o número 81.

9 x 9 = 81

8 pertence a classe das dezenas

1 pertence a classe das unidades

Então sempre utilizaremos duas "casas" para alocar os produtos de dois números e é por isso que acrescentamos o zero (0) para facilitar a disposição deles na tabela que também serve como guia para a montagem das contas.

Mútiplos de um número de um só algarismo

Quando o múltiplo de um número possuir um só algarismo, deve-se acrescentar um zero (0) à esquerda, de forma que o múltiplo fique com dois algarismos, desta forma podemos deslocar os outros múltiplos uma casa à direita, facilitando a soma dos produtos.

Este acréscimo do zero (0), inclusive facilita a armação da conta no sentido vertical.

Exemplos

a) O produto de 3 por 10

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

3 x 0 = 0

acrescenta 0 antes do 0

0 3  
  0 0
     
  3 0

b) O produto de 3 por 11

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

0 3  
  0 3
     
  3 3

c) O produto de 3 por 12

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

3 x 2 = 6

acrescenta 0 antes do 6

0 3  
  0 6
     
  3 6

d) O produto de 3 por 13

0 3  
  0 9
     
  3 9

Mútiplos de um número com mais de um algarismo

Quando o múltiplo de um número possuir mais de um algarismo, não se acrescenta zero (0).

e) O produto de 3 por 14

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

3 x 4 = 12

não se acrescenta 0

0 3  
  1 2
     
  4 2

f) O produto de 3 por 15

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

3 x 5 = 15

não se acrescenta 0

0 3  
  1 5
     
  4 5

g) O produto de 3 por 16

0 3  
  1 8
     
  4 8

h) O produto de 3 por 17

0 3  
  2 1
     
  5 1

i) O produto de 3 por 18

0 3  
  2 4
     
  5 4

j) O produto de 3 por 19

0 3  
  2 7
     
  5 7

k) O produto de 3 por 24.578 = 73.734

Neste exemplo temos o produto cujos fatores são um número de um algarismo e outro de cinco algarismos, veja que a armação da conta fica com a forma de "Escadinha".

O que precisamos é multiplicar, neste caso, o número 3 por cada um dos algarismos do número 24.578, deslocando cada produto uma casa à direita e descendo uma linha.

3 x 2 = 6 (acrescenta se o zero)

3 x 4 = 12

3 x 5 = 15

3 x 7 = 21

3 x 8 = 24

0 6        
           
  1 2      
           
    1 5    
           
      2 1  
           
        2 4
           
           
  7 3 7 3 4

Autor: Ricardo Silva - novembro/2017

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