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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Multiplicação através da soma de múltiplos - parte 1 - 154

Fazendo cálculos com somas e diferenças entre números quadrados perfeitos observei que podemos obter a soma de produtos de quaisquer números, semelhante ao algoritmo usual de multiplicação, quando armamos a conta no sentido vertical.

Acredito ser este algoritimo, o qual nomeei como método da Escadinha, uma novidade para se fazer multiplicação. Tenho e tive a oportunidade de ver vários livros de matemática, mas nada parecido como demonstrado a seguir.

Se por ventura, você que estiver lendo este estudo, souber que já exista algoritmo igual, sinta-se a vontade para me comunicar, humildemente retiro a palavra novidade.

Múltiplos de um número e tabuadas

Alguns múltiplos são fáceis de se escrever, falar e memorizar:

a) múltiplos de 2:

2, 4, 6, 8, 10, 12,...

b) múltiplos de 3:

3, 6, 9, 12, 15, 18,...

c) múltiplos de 4:

4, 8, 12, 16, 20,...

d) múltiplos de 5:

5, 10, 15, 20, 25,...

enquanto outros não são tão fáceis, como: 13, 17, 19, 23, etc.

Para auxiliar na memorização e nos cálculos aprendemos a utilizar as tabuadas em formas de tabelas onde temos a multiplicação de determinado número por uma sequência de 1 a 10.

Tabuada do 1

Tabuada do 1
       
0 x 1 = 0
1 x 1 = 1
2 x 1 = 2
3 x 1 = 3
4 x 1 = 4
5 x 1 = 5
6 x 1 = 6
7 x 1 = 7
8 x 1 = 8
9 x 1 = 9
10 x 1 = 10

Tabuada do 2

Tabuada do 2
       
0 x 2 = 0
1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
3 x 2 = 6
4 x 2 = 8
5 x 2 = 10
6 x 2 = 12
7 x 2 = 14
8 x 2 = 16
9 x 2 = 18
10 x 2 = 20

Tabuada do 3

Tabuada do 3
       
0 x 3 = 0
1 x 3 = 3
2 x 3 = 6
3 x 3 = 9
4 x 3 = 12
5 x 3 = 15
6 x 3 = 18
7 x 3 = 21
8 x 3 = 24
9 x 3 = 27
10 x 3 = 30

Algoritmo usual de multiplicação

Deseja-se saber o produto de 3 por 458 e o algoritmo usual de multiplicação que aprendemos é armar a conta verticalmente, colocando-se os fatores um abaixo do outro e efetuando a múltiplicação.

  4 5 8  
         
x     3  
         
1 3 7 4  

Multiplicando números através da soma de múltiplos (produtos)

Deseja-se saber o produto de 3 por 458.

Utilizando-se da técnica de armar a conta verticamente, temos um novo algoritmo para efetuar multiplicações.

Fazendo-se do uso da tabuada de multiplicação onde temos o produto de um número pela sequência de 1 a 10, as contas ficam assim:

3 x 4 = 12

3 x 5 = 15

3 x 8 = 24

3 x 4   1 2    
               
3 x 5     1 5  
               
3 x 8       2 4
               
               
        1 3 7 4

Simplificando o algoritmo, basta lembrar os múltiplos de um número, neste caso, os múltiplos de 3, armar a conta de cima para baixo e deslocando-se uma casa à direita e descendo uma linha os múltiplos e posteriormente somando-os, isto é, os produtos que neste caso viraram parcelas.

Como vemos, é só deslocar uma casa à direita e descer uma linha a partir do segundo múltiplo e depois efetuamos a adição das parcelas.

1 2    
       
  1 5  
       
    2 4
       
       
1 3 7 4

Importante observar que o maior número de 2 algarismos e que é produto de dois fatores cujos números são de um algarismo cada um é o número 81.

9 x 9 = 81

8 pertence a classe das dezenas

1 pertence a classe das unidades

Então sempre utilizaremos duas "casas" para alocar os produtos de dois números e é por isso que acrescentamos o zero (0) para facilitar a disposição deles na tabela que também serve como guia para a montagem das contas.

Múltiplos de um número de um só algarismo

Quando o múltiplo de um número possuir um só algarismo, deve-se acrescentar um zero (0) à esquerda, de forma que o múltiplo fique com dois algarismos, desta forma podemos deslocar os outros múltiplos uma casa à direita, facilitando a soma dos produtos.

Este acréscimo do zero (0), inclusive facilita a armação da conta no sentido vertical.

Exemplos

Produto de 3 por 10

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

3 x 0 = 0

acrescenta 0 antes do 0

0 3  
  0 0
     
  3 0

Produto de 3 por 11

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

0 3  
  0 3
     
  3 3

Produto de 3 por 12

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

3 x 2 = 6

acrescenta 0 antes do 6

0 3  
  0 6
     
  3 6

Produto de 3 por 13

0 3  
  0 9
     
  3 9

Múltiplos de um número com mais de um algarismo

Quando o múltiplo de um número possuir mais de um algarismo, não se acrescenta zero (0).

Produto de 3 por 14

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

3 x 4 = 12

não se acrescenta 0

0 3  
  1 2
     
  4 2

Produto de 3 por 15

3 x 1 = 3

acrescenta 0 antes do 3

3 x 5 = 15

não se acrescenta 0

0 3  
  1 5
     
  4 5

Produto de 3 por 16

0 3  
  1 8
     
  4 8

Produto de 3 por 17

0 3  
  2 1
     
  5 1

Produto de 3 por 18

0 3  
  2 4
     
  5 4

Produto de 3 por 19

0 3  
  2 7
     
  5 7

Produto de 3 por 24.578 = 73.734

Neste exemplo temos o produto cujos fatores são um número de um algarismo e outro de cinco algarismos, veja que a armação da conta fica com a forma de "Escadinha".

O que precisamos é multiplicar, neste caso, o número 3 por cada um dos algarismos do número 24.578, deslocando cada produto uma casa à direita e descendo uma linha.

3 x 2 = 6 (acrescenta se o zero)

3 x 4 = 12

3 x 5 = 15

3 x 7 = 21

3 x 8 = 24

0 6        
           
  1 2      
           
    1 5    
           
      2 1  
           
        2 4
           
           
  7 3 7 3 4

Autor: Ricardo Silva - novembro/2017

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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