Na primeira edição do livro digital Os Fantásticos Números Primos se encontram publicados vários estudos relacionados à estrutura da Tabuada de Multiplicação, também conhecida como Tabuada Pitagórica, Tabuada de Pythagoras.
Entre os estudos, se encontra o tópico Diferença de Quadrados que demonstram que as diferenças entre números quadrados perfeitos aparecem "embutidas" paralelas à diagonal secundária da tabuada, conforme a figura 331-01.
As diferenças de quadrados são os números ímpares que aparecem nos círculos.
Os números ímpares aparecem conforme frequências relacionadas na tabela a seguir:
| Números ímpares | |
|---|---|
| frequência | |
| na Tabuada de Pythagoras | |
| Número | Frequência |
| ímpar | |
| 3 | 1 |
| 5 | 3 |
| 7 | 5 |
| 9 | 7 |
| 11 | 9 |
| 13 | 11 |
| 15 | 13 |
| 17 | 15 |
| 19 | 17 |
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A partir desses dados, deduziu-se a seguinte sequência numérica:
(31, 53, 75, 97, 119, 1311,...) formada por bases de números ímpares cujos expoentes são ímpares antecessores das bases.
Desde a publicação do livro digital Os Fantásticos Números Primos, pesquisas tem sido realizadas para se saber se a sequência (31, 53, 75, 97, 119, 1311,...) já não fora publicada em trabalhos acadêmicos como ensaios, dissertações, teses de mestrados, em livros, etc... ou se está relacionada a algum outro evento matemático, físico, etc...
Observação importante: os estudos sobre tabuada de multiplicação, atualmente estão publicadas no livro digital Tabuada de Pythagoras e Sequências Numéricas.
Analisando novamente a sequência (31, 53, 75, 97, 119, 1311,...) mas não a vendo como potências e sim como produtos de dois números ímpares, são apresentados neste estudo interessantes conexões e regularidades numéricas entre produtos de dois números ímpares com múltiplos de 3, sequência de números triangulares e números primos gêmeos.
Os produtos de 2 números ímpares têm como resultados números que são 1 unidade menor que um número quadrado perfeito.
(3, 15, 35, 63, 99, 143, ...) são exemplos de Números Quases Quadrados Perfeitos.
A tabela a seguir apresenta os primeiros 50 produtos de 2 números ímpares cujos fatores se apresentam em ordem decrescente.
Determinados produtos de dois números ímpares são múltiplos do número 3.
Na coluna "divisão por 3" há quocientes que são números inteiros e quocientes decimais.
| Produtos de 2 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| números ímpares | ||||||
| ordem / | multiplicação | produto | divisão por | |||
| posição | 3 | |||||
| 1 | 3 | x | 1 | = | 3 | 1 |
| 2 | 5 | x | 3 | = | 15 | 5 |
| 3 | 7 | x | 5 | = | 35 | 11,66667 |
| 4 | 9 | x | 7 | = | 63 | 21 |
| 5 | 11 | x | 9 | = | 99 | 33 |
| 6 | 13 | x | 11 | = | 143 | 47,66667 |
| 7 | 15 | x | 13 | = | 195 | 65 |
| 8 | 17 | x | 15 | = | 255 | 85 |
| 9 | 19 | x | 17 | = | 323 | 107,6667 |
| 10 | 21 | x | 19 | = | 399 | 133 |
| 11 | 23 | x | 21 | = | 483 | 161 |
| 12 | 25 | x | 23 | = | 575 | 191,6667 |
| 13 | 27 | x | 25 | = | 675 | 225 |
| 14 | 29 | x | 27 | = | 783 | 261 |
| 15 | 31 | x | 29 | = | 899 | 299,6667 |
| 16 | 33 | x | 31 | = | 1023 | 341 |
| 17 | 35 | x | 33 | = | 1155 | 385 |
| 18 | 37 | x | 35 | = | 1295 | 431,6667 |
| 19 | 39 | x | 37 | = | 1443 | 481 |
| 20 | 41 | x | 39 | = | 1599 | 533 |
| 21 | 43 | x | 41 | = | 1763 | 587,6667 |
| 22 | 45 | x | 43 | = | 1935 | 645 |
| 23 | 47 | x | 45 | = | 2115 | 705 |
| 24 | 49 | x | 47 | = | 2303 | 767,6667 |
| 25 | 51 | x | 49 | = | 2499 | 833 |
| 26 | 53 | x | 51 | = | 2703 | 901 |
| 27 | 55 | x | 53 | = | 2915 | 971,6667 |
| 28 | 57 | x | 55 | = | 3135 | 1045 |
| 29 | 59 | x | 57 | = | 3363 | 1121 |
| 30 | 61 | x | 59 | = | 3599 | 1199,667 |
| 31 | 63 | x | 61 | = | 3843 | 1281 |
| 32 | 65 | x | 63 | = | 4095 | 1365 |
| 33 | 67 | x | 65 | = | 4355 | 1451,667 |
| 34 | 69 | x | 67 | = | 4623 | 1541 |
| 35 | 71 | x | 69 | = | 4899 | 1633 |
| 36 | 73 | x | 71 | = | 5183 | 1727,667 |
| 37 | 75 | x | 73 | = | 5475 | 1825 |
| 38 | 77 | x | 75 | = | 5775 | 1925 |
| 39 | 79 | x | 77 | = | 6083 | 2027,667 |
| 40 | 81 | x | 79 | = | 6399 | 2133 |
| 41 | 83 | x | 81 | = | 6723 | 2241 |
| 42 | 85 | x | 83 | = | 7055 | 2351,667 |
| 43 | 87 | x | 85 | = | 7395 | 2465 |
| 44 | 89 | x | 87 | = | 7743 | 2581 |
| 45 | 91 | x | 89 | = | 8099 | 2699,667 |
| 46 | 93 | x | 91 | = | 8463 | 2821 |
| 47 | 95 | x | 93 | = | 8835 | 2945 |
| 48 | 97 | x | 95 | = | 9215 | 3071,667 |
| 49 | 99 | x | 97 | = | 9603 | 3201 |
| 50 | 101 | x | 99 | = | 9999 | 3333 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||||
Os produtos de 2 números ímpares que não são múltiplos de 3 se encontram em posições de múltiplos de 3.
3, 6, 9, 12, 15,... são posições que são múltiplos de 3.
Os fatores quanto aos produtos que se encontram em posições cujos números são múltiplos de 3 apresentam as seguintes regularidades numéricas:
| Produtos de 2 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| números ímpares | ||||||
| posição | multiplicação | produto | divisão por | |||
| 3 | ||||||
| 1 | 3 | x | 1 | = | ||
| 2 | 5 | x | 3 | = | ||
| 3 | 7 | x | 5 | = | 35 | 11,66667 |
| 4 | 9 | x | 7 | = | ||
| 5 | 11 | x | 9 | = | ||
| 6 | 13 | x | 11 | = | 143 | 47,66667 |
| 7 | 15 | x | 13 | = | ||
| 8 | 17 | x | 15 | = | ||
| 9 | 19 | x | 17 | = | 323 | 107,6667 |
| 10 | 21 | x | 19 | = | ||
| 11 | 23 | x | 21 | = | ||
| 12 | 25 | x | 23 | = | 575 | 191,6667 |
| 13 | 27 | x | 25 | = | ||
| 14 | 29 | x | 27 | = | ||
| 15 | 31 | x | 29 | = | 899 | 299,6667 |
| 16 | 33 | x | 31 | = | ||
| 17 | 35 | x | 33 | = | ||
| 18 | 37 | x | 35 | = | 1295 | 431,6667 |
| 19 | 39 | x | 37 | = | ||
| 20 | 41 | x | 39 | = | ||
| 21 | 43 | x | 41 | = | 1763 | 587,6667 |
| 22 | 45 | x | 43 | = | ||
| 23 | 47 | x | 45 | = | ||
| 24 | 49 | x | 47 | = | 2303 | 767,6667 |
| 25 | 51 | x | 49 | = | ||
| 26 | 53 | x | 51 | = | ||
| 27 | 55 | x | 53 | = | 2915 | 971,6667 |
| 28 | 57 | x | 55 | = | ||
| 29 | 59 | x | 57 | = | ||
| 30 | 61 | x | 59 | = | 3599 | 1199,667 |
| 31 | 63 | x | 61 | = | ||
| 32 | 65 | x | 63 | = | ||
| 33 | 67 | x | 65 | = | 4355 | 1451,667 |
| 34 | 69 | x | 67 | = | ||
| 35 | 71 | x | 69 | = | ||
| 36 | 73 | x | 71 | = | 5183 | 1727,667 |
| 37 | 75 | x | 73 | = | ||
| 38 | 77 | x | 75 | = | ||
| 39 | 79 | x | 77 | = | 6083 | 2027,667 |
| 40 | 81 | x | 79 | = | ||
| 41 | 83 | x | 81 | = | ||
| 42 | 85 | x | 83 | = | 7055 | 2351,667 |
| 43 | 87 | x | 85 | = | ||
| 44 | 89 | x | 87 | = | ||
| 45 | 91 | x | 89 | = | 8099 | 2699,667 |
| 46 | 93 | x | 91 | = | ||
| 47 | 95 | x | 93 | = | ||
| 48 | 97 | x | 95 | = | 9215 | 3071,667 |
| 49 | 99 | x | 97 | = | ||
| 50 | 101 | x | 99 | = | ||
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O dobro de um múltiplo de 3 adicionado de 1 unidade tem como resultado o primeiro fator do produto de 2 números ímpares.
Exemplo 1)
| posição | multiplicação | produto | |||
| múltiplo | |||||
| de 3 | |||||
| 3 | 7 | x | 5 | = | 35 |
3 é um múltiplo de 3.
(2 x 3) + 1 =
= 6 + 1
= 7
7 é o primeiro fator da multiplicação 7 x 5 = 35.
Exemplo 2)
| posição | multiplicação | produto | |||
| múltiplo | |||||
| de 3 | |||||
| 6 | 13 | x | 11 | = | 143 |
6 é um múltiplo de 3.
(2 x 6) + 1 =
= 12 + 1
= 13
13 é o primeiro fator da multiplicação 13 x 11 = 35.
O dobro de um número múltiplo de 3 subtraído 1 unidade tem como resultado o segundo fator do produto de 2 números ímpares.
Exemplo 1)
| posição | multiplicação | produto | |||
| múltiplo | |||||
| de 3 | |||||
| 3 | 7 | x | 5 | = | 35 |
3 é um múltiplo de 3.
(2 x 3) - 1 =
= 6 - 1
= 5
5 é o segundo fator da multiplicação 7 x 5 = 35.
Determinadas duplas de fatores da multiplicação de 2 números ímpares cujas posições são números múltiplos de 3, formam números primos gêmeos.
7 e 5;
13 e 11;
31 e 29;
43 e 41,... são exemplos de números primos gêmeos (cor laranja).
As regularidades observadas aos múltiplos de 3 acima também podem ser extendidas a números triangulares que também são múltiplos de 3.
Os produtos de 2 números ímpares que se encontram em posições de números triangulares múltiplos de 3 não são múltiplos de 3.
Os números 3, 6, 15, 21,... são números triangulares e também são múltiplos de 3.
Os produtos 35, 143, 899, 1763,... não são múltiplos de 3.
Rearranjando a tabela com produtos de 2 números ímpares cujas posições correspondem a números triangulares, observam-se as seguintes regularidades:
| Produtos de 2 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| números ímpares | |||||
| de posições | |||||
| triangulares | |||||
| posição | multiplicação | produto | |||
| número | |||||
| triangular | |||||
| 3 | 7 | x | 5 | = | 35 |
| 6 | 13 | x | 11 | = | 143 |
| 15 | 31 | x | 29 | = | 899 |
| 21 | 43 | x | 41 | = | 1763 |
| 36 | 73 | x | 71 | = | 5183 |
| 45 | 91 | x | 89 | = | 8099 |
| 66 | 133 | x | 131 | = | 17423 |
| 78 | 157 | x | 155 | = | 24335 |
| 105 | 211 | x | 209 | = | 44099 |
| 120 | 241 | x | 239 | = | 57599 |
| 153 | 307 | x | 305 | = | 93635 |
| 171 | 343 | x | 341 | = | 116963 |
| 210 | 421 | x | 419 | = | 176399 |
| 231 | 463 | x | 461 | = | 213443 |
| 276 | 553 | x | 551 | = | 304703 |
| 300 | 601 | x | 599 | = | 359999 |
| 351 | 703 | x | 701 | = | 492803 |
| 378 | 757 | x | 755 | = | 571535 |
| 435 | 871 | x | 869 | = | 756899 |
| 465 | 931 | x | 929 | = | 864899 |
| 528 | 1057 | x | 1055 | = | 1115135 |
| 561 | 1123 | x | 1121 | = | 1258883 |
| 630 | 1261 | x | 1259 | = | 1587599 |
| 666 | 1333 | x | 1331 | = | 1774223 |
| 741 | 1483 | x | 1481 | = | 2196323 |
| 780 | 1561 | x | 1559 | = | 2433599 |
| 861 | 1723 | x | 1721 | = | 2965283 |
| 903 | 1807 | x | 1805 | = | 3261635 |
| 990 | 1981 | x | 1979 | = | 3920399 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
O dobro de um número triangular múltiplo de 3 adicionado de 1 unidade tem como resultado o primeiro fator do produto de 2 números ímpares.
Exemplo 1)
| posição | multiplicação | produto | |||
| número | |||||
| triangular | |||||
| 3 | 7 | x | 5 | = | 35 |
3 é um número triangular e múltiplo de 3.
(2 x 3) + 1 =
= 6 + 1
= 7
7 é o primeiro fator da multiplicação 7 x 5 = 35.
Exemplo 2)
| posição | multiplicação | produto | |||
| número | |||||
| triangular | |||||
| 3 | 7 | x | 5 | = | 35 |
| 6 | 13 | x | 11 | = | 143 |
6 é um número triangular e múltiplo de 3.
(2 x 6) + 1 =
= 12 + 1
= 13
13 é o primeiro fator da multiplicação 13 x 11 = 14.
Exemplo 3)
| posição | multiplicação | produto | |||
| número | |||||
| triangular | |||||
| 3 | 7 | x | 5 | = | 35 |
| 6 | 13 | x | 11 | = | 143 |
| 15 | 31 | x | 29 | = | 899 |
15 é um número triangular e múltiplo de 3.
(2 x 15) + 1 =
= 30 + 1
= 31
31 é o primeiro fator da multiplicação 31 x 29 = 899.
O dobro de um número triangular múltiplo de 3 subtraído 1 unidade tem como resultado o segundo fator do produto de 2 números ímpares.
Exemplo 1)
| posição | multiplicação | produto | |||
| número | |||||
| triangular | |||||
| 3 | 7 | x | 5 | = | 35 |
3 é um número triangular e múltiplo de 3.
(2 x 3) - 1 =
= 6 - 1
= 5
5 é o segundo fator da multiplicação 7 x 5 = 35.
Determinadas duplas de fatores da multiplicação de 2 números ímpares cujas posições são números triangulares múltiplos de 3, formam números primos gêmeos.
7 e 5;
13 e 11;
31 e 29;
43 e 41,... são exemplos de números primos gêmeos (cor laranja).
| números primos | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| gêmeos | |||||
| posição | multiplicação | produto | |||
| número | |||||
| triangular | |||||
| 3 | 7 | x | 5 | = | 35 |
| 6 | 13 | x | 11 | = | 143 |
| 15 | 31 | x | 29 | = | 899 |
| 21 | 43 | x | 41 | = | 1763 |
| 36 | 73 | x | 71 | = | 5183 |
| 45 | 91 | x | 89 | = | 8099 |
| 66 | 133 | x | 131 | = | 17423 |
| 78 | 157 | x | 155 | = | 24335 |
| 105 | 211 | x | 209 | = | 44099 |
| 120 | 241 | x | 239 | = | 57599 |
| 153 | 307 | x | 305 | = | 93635 |
| 171 | 343 | x | 341 | = | 116963 |
| 210 | 421 | x | 419 | = | 176399 |
| 231 | 463 | x | 461 | = | 213443 |
| 276 | 553 | x | 551 | = | 304703 |
| 300 | 601 | x | 599 | = | 359999 |
| 351 | 703 | x | 701 | = | 492803 |
| 378 | 757 | x | 755 | = | 571535 |
| 435 | 871 | x | 869 | = | 756899 |
| 465 | 931 | x | 929 | = | 864899 |
| 528 | 1057 | x | 1055 | = | 1115135 |
| 561 | 1123 | x | 1121 | = | 1258883 |
| 630 | 1261 | x | 1259 | = | 1587599 |
| 666 | 1333 | x | 1331 | = | 1774223 |
| 741 | 1483 | x | 1481 | = | 2196323 |
| 780 | 1561 | x | 1559 | = | 2433599 |
| 861 | 1723 | x | 1721 | = | 2965283 |
| 903 | 1807 | x | 1805 | = | 3261635 |
| 990 | 1981 | x | 1979 | = | 3920399 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Autor: Ricardo Silva - abril/2021
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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