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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Produtos de dois ímpares e conexões com números triangulares e primos gêmeos - 331

Na primeira edição do livro digital Os Fantásticos Números Primos se encontram publicados vários estudos relacionados à estrutura da Tabuada de Multiplicação, também conhecida como Tabuada Pitagórica, Tabuada de Pythagoras.

Entre os estudos, se encontra o tópico Diferença de Quadrados que demonstram que as diferenças entre números quadrados perfeitos aparecem "embutidas", paralelas à diagonal secundária da tabuada, conforme a figura 331-01.

As diferenças de quadrados são os números ímpares que aparecem nos círculos.

Tabuada de Pythagoras e diferença de quadrados

Os número ímpares aparecem conforme frequências relacionadas na tabela a seguir:

Números ímpares
frequência
na Tabuada de Pythagoras
 
   
Número Frequência
ímpar  
   
3 1
5 3
7 5
9 7
11 9
13 11
15 13
17 15
19 17
   
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A partir desses dados, deduziu-se a seguinte sequência numérica:

(31, 53, 75, 97, 119, 1311,...) formada por bases de números ímpares cujos expoentes são ímpares antecessores das bases.

Desde a publicação do livro digital Os Fantásticos Números Primos, pesquisas tem sido realizadas para se saber se a sequência (31, 53, 75, 97, 119, 1311,...) já não fora publicada em trabalhos acadêmicos como ensaios, dissertações, teses de mestrados, em livros, etc. ou se está relacionada a algum outro evento matemático, físico, etc.

Observação importante: os estudos sobre tabuada de multiplicação, atualmente estão publicadas no livro digital Tabuada de Pythagoras e Sequências Numéricas.

Analisando novamente a sequência (31, 53, 75, 97, 119, 1311,...) mas não a vendo como potências e sim como produtos de dois números ímpares, são apresentados neste estudo, interessantes conexões e regularidades numéricas entre produtos de dois números ímpares com múltiplos de 3, sequência de números triangulares e números primos gêmeos.

Produtos de 2 números ímpares

Os produtos de 2 números ímpares têm como resultados números que são 1 unidade menor que um número quadrado perfeito.

(3, 15, 35, 63, 99, 143, ...) são exemplos de Números Quases Quadrados Perfeitos.

A tabela a seguir apresenta os primeiros 50 produtos de 2 números ímpares cujos fatores se apresentam em ordem decrescente.

Determinados produtos de dois números ímpares são múltiplos do número 3.

Na coluna "divisão por 3" há quocientes que são números inteiros e quocientes decimais.

Produtos de 2
números ímpares
 
posição multiplicação produto divisão por
            3
             
1 3 x 1 = 3 1
2 5 x 3 = 15 5
3 7 x 5 = 35 11,66667
4 9 x 7 = 63 21
5 11 x 9 = 99 33
6 13 x 11 = 143 47,66667
7 15 x 13 = 195 65
8 17 x 15 = 255 85
9 19 x 17 = 323 107,6667
10 21 x 19 = 399 133
11 23 x 21 = 483 161
12 25 x 23 = 575 191,6667
13 27 x 25 = 675 225
14 29 x 27 = 783 261
15 31 x 29 = 899 299,6667
16 33 x 31 = 1023 341
17 35 x 33 = 1155 385
18 37 x 35 = 1295 431,6667
19 39 x 37 = 1443 481
20 41 x 39 = 1599 533
21 43 x 41 = 1763 587,6667
22 45 x 43 = 1935 645
23 47 x 45 = 2115 705
24 49 x 47 = 2303 767,6667
25 51 x 49 = 2499 833
26 53 x 51 = 2703 901
27 55 x 53 = 2915 971,6667
28 57 x 55 = 3135 1045
29 59 x 57 = 3363 1121
30 61 x 59 = 3599 1199,667
31 63 x 61 = 3843 1281
32 65 x 63 = 4095 1365
33 67 x 65 = 4355 1451,667
34 69 x 67 = 4623 1541
35 71 x 69 = 4899 1633
36 73 x 71 = 5183 1727,667
37 75 x 73 = 5475 1825
38 77 x 75 = 5775 1925
39 79 x 77 = 6083 2027,667
40 81 x 79 = 6399 2133
41 83 x 81 = 6723 2241
42 85 x 83 = 7055 2351,667
43 87 x 85 = 7395 2465
44 89 x 87 = 7743 2581
45 91 x 89 = 8099 2699,667
46 93 x 91 = 8463 2821
47 95 x 93 = 8835 2945
48 97 x 95 = 9215 3071,667
49 99 x 97 = 9603 3201
50 101 x 99 = 9999 3333
             
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Produtos de 2 números ímpares que não são múltiplos de 3

Os produtos de 2 números ímpares que não são múltiplos de 3 se encontram em posições de múltiplos de 3.

3, 6, 9, 12, 15,... são posições que são múltiplos de 3.

Os fatores quanto os produtos que se encontram em posições cujos números são múltiplos de 3 apresentam as seguintes regularidades numéricas:

Produtos de 2
números ímpares
 
posição multiplicação produto divisão por
            3
             
1 3 x 1 =    
2 5 x 3 =    
3 7 x 5 = 35 11,66667
4 9 x 7 =    
5 11 x 9 =    
6 13 x 11 = 143 47,66667
7 15 x 13 =    
8 17 x 15 =    
9 19 x 17 = 323 107,6667
10 21 x 19 =    
11 23 x 21 =    
12 25 x 23 = 575 191,6667
13 27 x 25 =    
14 29 x 27 =    
15 31 x 29 = 899 299,6667
16 33 x 31 =    
17 35 x 33 =    
18 37 x 35 = 1295 431,6667
19 39 x 37 =    
20 41 x 39 =    
21 43 x 41 = 1763 587,6667
22 45 x 43 =    
23 47 x 45 =    
24 49 x 47 = 2303 767,6667
25 51 x 49 =    
26 53 x 51 =    
27 55 x 53 = 2915 971,6667
28 57 x 55 =    
29 59 x 57 =    
30 61 x 59 = 3599 1199,667
31 63 x 61 =    
32 65 x 63 =    
33 67 x 65 = 4355 1451,667
34 69 x 67 =    
35 71 x 69 =    
36 73 x 71 = 5183 1727,667
37 75 x 73 =    
38 77 x 75 =    
39 79 x 77 = 6083 2027,667
40 81 x 79 =    
41 83 x 81 =    
42 85 x 83 = 7055 2351,667
43 87 x 85 =    
44 89 x 87 =    
45 91 x 89 = 8099 2699,667
46 93 x 91 =    
47 95 x 93 =    
48 97 x 95 = 9215 3071,667
49 99 x 97 =    
50 101 x 99 =    
             
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O dobro de um número múltiplo de 3 adicionado de 1 unidade

O dobro de um múltiplo de 3 adicionado de 1 unidade tem como resultado o primeiro fator do produto de 2 números ímpares.

Exemplo 1)

posição multiplicação produto
múltiplo          
de 3          
           
3 7 x 5 = 35

3 é um múltiplo de 3.

(2 x 3) + 1 =

= 6 + 1

= 7

7 é o primeiro fator da multiplicação 7 x 5 = 35.

Exemplo 2)

posição multiplicação produto
múltiplo          
de 3          
           
6 13 x 11 = 143

6 é um múltiplo de 3.

(2 x 6) + 1 =

= 12 + 1

= 13

13 é o primeiro fator da multiplicação 7 x 5 = 35.

O dobro de um múltiplo de 3 subtraído de 1 unidade

O dobro de um número múltiplo de 3 subtraído de 1 unidade tem como resultado o segundo fator do produto de 2 números ímpares.

Exemplo 1)

posição multiplicação produto
múltiplo          
de 3          
           
3 7 x 5 = 35

3 é um múltiplo de 3.

(2 x 3) - 1 =

= 6 - 1

= 5

5 é o segundo fator da multiplicação 7 x 5 = 35.

Números primos gêmeos

Determinadas duplas de fatores da multiplicação de 2 números ímpares cujas posições são números múltiplos de 3, formam números primos gêmeos.

7 e 5;

13 e 11;

31 e 29;

43 e 41,... são exemplos de números primos gêmeos (cor laranja).

Produtos de 2 números ímpares de posicões triangulares

As regularidades observadas aos múltiplos de 3 acima também poder ser extendidas a números triangulares que também são múltiplos de 3.

Os produtos de 2 números ímpares que se encontram em posições de números triangulares múltiplos de 3 não são múltiplos de 3.

Os número 3, 6, 15, 21,... são números triangulares e também são múltiplos de 3.

Os produtos 35, 143, 899, 1763,... não são múltiplos de 3.

Rearranjando a tabela com produtos de 2 números ímpares cujas posições correspondem a números triangulares, observam-se as seguintes regularidades:

Produtos de 2
números ímpares
de posições
triangulares
 
posição multiplicação produto
número          
triangular          
           
3 7 x 5 = 35
6 13 x 11 = 143
15 31 x 29 = 899
21 43 x 41 = 1763
36 73 x 71 = 5183
45 91 x 89 = 8099
66 133 x 131 = 17423
78 157 x 155 = 24335
105 211 x 209 = 44099
120 241 x 239 = 57599
153 307 x 305 = 93635
171 343 x 341 = 116963
210 421 x 419 = 176399
231 463 x 461 = 213443
276 553 x 551 = 304703
300 601 x 599 = 359999
351 703 x 701 = 492803
378 757 x 755 = 571535
435 871 x 869 = 756899
465 931 x 929 = 864899
528 1057 x 1055 = 1115135
561 1123 x 1121 = 1258883
630 1261 x 1259 = 1587599
666 1333 x 1331 = 1774223
741 1483 x 1481 = 2196323
780 1561 x 1559 = 2433599
861 1723 x 1721 = 2965283
903 1807 x 1805 = 3261635
990 1981 x 1979 = 3920399
           
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O dobro de um número triangular múltiplo de 3 adicionado de 1 unidade

O dobro de um número triangular múltiplo de 3 adicionado de 1 unidade tem como resultado o primeiro fator do produto de 2 números ímpares.

Exemplo 1)

posição multiplicação produto
número          
triangular          
           
3 7 x 5 = 35

3 é um número triangular e múltiplo de 3.

(2 x 3) + 1 =

= 6 + 1

= 7

7 é o primeiro fator da multiplicação 7 x 5 = 35.

Exemplo 2)

posição multiplicação produto
número          
triangular          
           
3 7 x 5 = 35
6 13 x 11 = 143

6 é um número triangular e múltiplo de 3.

(2 x 6) + 1 =

= 12 + 1

= 13

13 é o primeiro fator da multiplicação 13 x 11 = 14.

Exemplo 3)

posição multiplicação produto
número          
triangular          
           
3 7 x 5 = 35
6 13 x 11 = 143
15 31 x 29 = 899

15 é um número triangular e múltiplo de 3.

(2 x 15) + 1 =

= 30 + 1

= 31

31 é o primeiro fator da multiplicação 31 x 29 = 899.

O dobro de um número triangular múltiplo de 3 subtraído de 1 unidade

O dobro de um número triangular múltiplo de 3 subtraído de 1 unidade tem como resultado o segundo fator do produto de 2 números ímpares.

Exemplo 1)

posição multiplicação produto
número          
triangular          
           
3 7 x 5 = 35

3 é um número triangular e múltiplo de 3.

(2 x 3) - 1 =

= 6 - 1

= 5

5 é o segundo fator da multiplicação 7 x 5 = 35.

Números primos gêmeos

Determinadas duplas de fatores da multiplicação de 2 números ímpares cujas posições são números triangulares múltiplos de 3, formam números primos gêmeos.

7 e 5;

13 e 11;

31 e 29;

43 e 41,... são exemplos de números primos gêmeos (cor laranja).

números primos
gêmeos
 
posição multiplicação produto
número          
triangular          
           
3 7 x 5 = 35
6 13 x 11 = 143
15 31 x 29 = 899
21 43 x 41 = 1763
36 73 x 71 = 5183
45 91 x 89 = 8099
66 133 x 131 = 17423
78 157 x 155 = 24335
105 211 x 209 = 44099
120 241 x 239 = 57599
153 307 x 305 = 93635
171 343 x 341 = 116963
210 421 x 419 = 176399
231 463 x 461 = 213443
276 553 x 551 = 304703
300 601 x 599 = 359999
351 703 x 701 = 492803
378 757 x 755 = 571535
435 871 x 869 = 756899
465 931 x 929 = 864899
528 1057 x 1055 = 1115135
561 1123 x 1121 = 1258883
630 1261 x 1259 = 1587599
666 1333 x 1331 = 1774223
741 1483 x 1481 = 2196323
780 1561 x 1559 = 2433599
861 1723 x 1721 = 2965283
903 1807 x 1805 = 3261635
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Autor: Ricardo Silva - abril/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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