logotipo os fantasticos numeros primos
capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números primos entre números quadrados perfeitos - 334

Números Primos é a menina dos olhos, tanto de matemáticos quanto de entusiastas matemáticos, isto é, são objetos de análises, estudos e pesquisas para se tentar descobrir uma fórmula "mágica" que os gerem sequencialmente.

Números primos entre números quadrados perfeitos

Um grande salto em relação aos estudos dos números primos deve-se ao matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que aos 15 anos de idade, após ter ganhado de presente um livro com Tábua de Logaritmos cuja contra-capa havia uma tabela de números primos, passou a contar as quantidades de números primos em intervalos de potências de base 10 conforme tabela a seguir.[1]

Intervalo Quantidade em média,  %
  de quantos  
  números números  
  primos precisamos  
    contar até  
    atingir um  
    número primo  
       
1 a 10 4 2,5 40%
       
1 a 100 25 4,0 25%
       
1 a 1.000 168 6,0 16,8%
       
1 a 10.000 1.229 8,1 12,2%
       
1 a 100.000 9.592 10,4 9,5%
       
1 a 1.000.000 78.498 12,7 7,8%
       
1 a 10.000.000 664.579 15,0 6,6%
       
1 a 100.000.000 5.761.455 17,4 5,7%
       
1 a 1.000.000.000 50.847.534 19,7 5,0%
       
1 a 10.000.000.000 455.052.511 22,0 4,5%

Fonte: Tabela adaptada do livro A música dos números primos, Sautou, Marcus Du.

Em seus estudos, Gauss descobriu regularidades entre a proporção de números primos com potências de base 10.

Exemplos:

1 a cada 2 números são números primos no intervalo de 1 a 10.

1 a cada 4 números são números primos no intervalo de 1 a 100.

1 a cada 6 números são números primos no intervalo de 1 a 1000.

Na tabela referente ao estudos de Gauss, a cada faixa de potências de base 10 os número primos são somados desde a primeira ocorrência.

Remontando a tabela, mas contando os números primos conforme suas ocorrências absolutas por intervalos específicos, verifica-se que as porcentagens de números primos em intervalos de potências de base 10 mantem-se de certa forma constante, não havendo grandes diferenças entre as quantidades e as médias de números primos.

Outro dado importante é a medida que se aumenta as potências de base 10, as porcentagens de números primos vão diminuindo.

Haverá um momento que os números primos terão porcentagem 0 ?

Intervalo Quantidade em média,  %
  de quantos  
  números números  
  primos precisamos  
    contar até  
    atingir um  
    número primo  
1 a      
10 4 2,5 40%
       
 11 a      
100 21 4,7 21%
       
 1001 a      
1.000 143 6,9 14,3%
       
 1001 a      
10.000 1061 9,4 10,6%
       
10.001a      
100.000 8.363 11,9 8,3%
       
100.001a      
1.000.000 68.906 14,5 6,8%
       
1.000.001a      
10.000.000 586.081 17,0 5,8%
       
10.000.001 a      
100.000.000 5.096.876 19,6 5,0%
       
100.000.001a      
1.000.000.000 45.086.079 22,1 4,5%
       
1.000.000.000 a      
10.000.000.000 404.204.977 24,7 4,0%

Elaborando uma reeleitura dos estudos do matemático Gauss, mas desta vez verificando as quantidades de números primos entre intervalos de números quadrados perfeitos, observam-se as seguintes ocorrências:

Números primos
entre intervalos
de números
quadrados perfeitos
    quantidade
números números de
  quadrados quadrados
    -.-.-.-.-.-.-.-.-.-
1 1  
2 4 3
3 9  
    -.-.-.-.-.-.-.-.-.-
4 16  
5 25  
6 36 6
7 49  
8 64  
9 81  
    -.-.-.-.-.-.-.-.-.-
10 100  
a   22
31 961  
    -.-.-.-.-.-.-.-.-.-
32 1.024  
a   68
99 9.801  
    -.-.-.-.-.-.-.-.-.-
100 10.000  
a   217
316 99.856  
    -.-.-.-.-.-.-.-.-.-
317 100.489  
a   684
1.000 1.000.000  
    -.-.-.-.-.-.-.-.-.-
1.001 1.002.001  
a   2162
3.162 9.998.244  
    -.-.-.-.-.-.-.-.-.-
3.163 10.004.569  
a   6.838
10.000 100.000.000  
    -.-.-.-.-.-.-.-.-.-
10.001 100.020.001  
    21.622
31.622 999.950.884  
    -.-.-.-.-.-.-.-.-.-
31.623 1.000.014.129  
    68.377
100.000 10.000.000.000  
     
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

1) a razão entre as quantidades de números quadrados perfeitos tende a 3,1;

2) a razão entre as quantidades de números primos nos intervalos entre os números quadrados perfeitos tende 8,9;

3) a razão entre as médias de números primos nos intervalos entre os números quadrados perfeitos tende 2,7;

4) as porcentagens passam as casas dos 100.000% rapidamente.

Números primos
em intervalos
de números quadrados perfeitos
       
quantidade quantidade média %
de quadrados de primos primos  
       
       
3 4 1,3 133%
       
2,0 5,2 2,6  
       
       
6 21 3,5 350%
       
       
       
3,6 6,8 1,8  
       
22 143 6,5 650%
       
3,0 7,4 2,4  
       
68 1.061 15,6 1.560%
       
3,1 7,8 2,4  
       
217 8.363 38,5 3.853%
       
3,1 8,2 2,6  
       
684 68.906 100,7 10.073%
       
3,1 8,5 2,6  
       
2162 586.081 271,0 27.100%
       
3,1 8,6 2,7  
       
6.838 5.096.876 745,3 74.537%
       
3,1 8,8 2,7  
       
21.622 45.086.079 2.085,1 208.512%
       
3,1 8.9 2,8  
68.377 404.204.977 5.911,4 591.140%
       
www.osfantasticosnumerosprimos.com.br

 

Autor: Ricardo Silva - abril/2021

Fontes Bibliográficas:

Du Sautoy, Marcus, 1965. A música dos números primos: uma história de um problema não resolvido na matemática / Marcus du Sautoy, Diego Alfaro. - Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2007

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

Matérias relacionadas:

011-estudos-031-numeros-primos-triangulo-isoceles
011-estudos-045-numeros-primos-figuras-geometricas-o-triangulo
011-estudos-059-numeros-primos-circunferencia-3-partes
011-estudos-160-numeros-primos-numeros-capicuas
Livro digital (e-book)
Os Fantásticos Números Primos
livro os fantasticos números primos

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Senhores Professores de Matemática,

Profissionais de Exatas e

Entusiastas Matemáticos

RECEBAM GRATUITAMENTE
O E-BOOK
TRIÂNGULO RETÂNGULO:

 

livro Triângulo Retângulo

FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO

AGORA MESMO ATRAVÉS

DO E-MAIL:

contato@osfantasticos numerosprimos.com.br

L A N Ç A M E N T O ! ! !
livro descobrindo numeros primos a partir numeros compostos

NOVO LIVRO DIGITAL:

DESCOBRINDO NÚMEROS PRIMOS A PARTIR DE NÚMEROS COMPOSTOS

Manual Digital (E-book) Quadrado Mágico Triplo
livro quadrado mágico triplo
DOWNLOAD GRATUITO

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Manual Digital (E-book) Multiplicação através da soma de múltiplos
livro multiplicação através da soma de múltiplos
DOWNLOAD GRATUITO

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS


Prezado visitante, o conteúdo deste site está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado, desde que informando ao autor o local ou o meio em que será utilizado e divulgado, através do e-mail: contato

O uso comercial é proibido.

curta  fantasticos numeros primos no facebook
anúncio dominó tri-minox anúncio dominó quadriminox
fapage dos fantasticos numeros primos
Canal youtube dos fantasticos numeros primos