Números Primos é a menina dos olhos, tanto de matemáticos quanto de entusiastas matemáticos, isto é, são objetos de análises, estudos e pesquisas para se tentar descobrir uma fórmula "mágica" que os gerem sequencialmente.
Um grande salto em relação aos estudos dos números primos deve-se ao matemático Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que aos 15 anos de idade, após ter ganhado de presente um livro com Tábua de Logaritmos cuja contra-capa havia uma tabela de números primos, passou a contar as quantidades de números primos em intervalos de potências de base 10 conforme tabela a seguir.[1]
| Intervalo | Quantidade | em média, | % |
| de | quantos | ||
| números | números | ||
| primos | precisamos | ||
| contar até | |||
| atingir um | |||
| número primo | |||
| 1 a 10 | 4 | 2,5 | 40% |
| 1 a 100 | 25 | 4,0 | 25% |
| 1 a 1.000 | 168 | 6,0 | 16,8% |
| 1 a 10.000 | 1.229 | 8,1 | 12,2% |
| 1 a 100.000 | 9.592 | 10,4 | 9,5% |
| 1 a 1.000.000 | 78.498 | 12,7 | 7,8% |
| 1 a 10.000.000 | 664.579 | 15,0 | 6,6% |
| 1 a 100.000.000 | 5.761.455 | 17,4 | 5,7% |
| 1 a 1.000.000.000 | 50.847.534 | 19,7 | 5,0% |
| 1 a 10.000.000.000 | 455.052.511 | 22,0 | 4,5% |
Fonte: Tabela adaptada do livro A música dos números primos, Sautou, Marcus Du.
Em seus estudos, Gauss descobriu regularidades entre a proporção de números primos com potências de base 10.
Exemplos:
1 a cada 2 números são números primos no intervalo de 1 a 10.
1 a cada 4 números são números primos no intervalo de 1 a 100.
1 a cada 6 números são números primos no intervalo de 1 a 1000.
Na tabela referente ao estudos de Gauss, a cada faixa de potências de base 10 os número primos são somados desde a primeira ocorrência.
Remontando a tabela, mas contando os números primos conforme suas ocorrências absolutas por intervalos específicos, verifica-se que as porcentagens de números primos em intervalos de potências de base 10 mantem-se de certa forma constante, não havendo grandes diferenças entre as quantidades e as médias de números primos.
Outro dado importante, a medida que se aumenta as potências de base 10, as porcentagens de números primos vão diminuindo.
Haverá um momento que os números primos terão porcentagem 0 ?
| Números Primos | |||
| entre intervalos de | |||
| Potências de 10 | |||
| Intervalo | Quantidade | em média, | % |
| de | quantos | ||
| números | números | ||
| primos | precisamos | ||
| contar até | |||
| atingir um | |||
| número primo | |||
| 1 a | |||
| 10 | 4 | 2,5 | 40% |
| 11 a | |||
| 100 | 21 | 4,7 | 21% |
| 101 a | |||
| 1.000 | 143 | 6,9 | 14,3% |
| 1001 a | |||
| 10.000 | 1061 | 9,4 | 10,6% |
| 10.001a | |||
| 100.000 | 8.363 | 11,9 | 8,3% |
| 100.001a | |||
| 1.000.000 | 68.906 | 14,5 | 6,8% |
| 1.000.001a | |||
| 10.000.000 | 586.081 | 17,0 | 5,8% |
| 10.000.001 a | |||
| 100.000.000 | 5.096.876 | 19,6 | 5,0% |
| 100.000.001a | |||
| 1.000.000.000 | 45.086.079 | 22,1 | 4,5% |
| 1.000.000.000 a | |||
| 10.000.000.000 | 404.204.977 | 24,7 | 4,0% |
Elaborando uma reeleitura dos estudos do matemático Gauss, mas desta vez verificando as quantidades de números primos entre intervalos de números quadrados perfeitos, observam-se as seguintes ocorrências:
| Números Quadrados Perfeitos | ||
| entre intervalos de | ||
| Potências de 10 | ||
| quantidade | ||
| números | números | de |
| quadrados | quadrados | |
| entre 1 | ||
| 1 | 1 | |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 9 | |
| e 10 | ||
| entre 11 | ||
| 4 | 16 | |
| 5 | 25 | |
| 6 | 36 | 7 |
| 7 | 49 | |
| 8 | 64 | |
| 9 | 81 | |
| 10 | 100 | |
| e 100 | ||
| entre 101 | ||
| 11 | 121 | |
| a | 21 | |
| 31 | 961 | |
| e 1000 | ||
| entre 1001 | ||
| 32 | 1.024 | |
| a | 69 | |
| 100 | 10.000 | |
| a 10.000 | ||
| entre 10.001 | ||
| 101 | 10.201 | |
| a | 216 | |
| 316 | 99.856 | |
| a 100.000 | ||
| entre 100.001 | ||
| 317 | 100.489 | |
| a | 684 | |
| 1.000 | 1.000.000 | |
| a 1.000.000 | ||
| entre 1.000.001 | ||
| 1.001 | 1.002.001 | |
| a | 2162 | |
| 3.162 | 9.998.244 | |
| a 10.000.000 | ||
| entre 10.000.001 | ||
| 3.163 | 10.004.569 | |
| a | 6.838 | |
| 10.000 | 100.000.000 | |
| a 100.000.000 | ||
| entre 100.000.001 | ||
| 10.001 | 100.020.001 | |
| 21.622 | ||
| 31.622 | 999.950.884 | |
| a 1.000.000.000 | ||
| entre 1.000.000.001 | ||
| 31.623 | 1.000.014.129 | |
| 68.377 | ||
| 100.000 | 10.000.000.000 | |
| a 10.000.000.000 | ||
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1) a razão entre as quantidades de números quadrados perfeitos tende a 3,1 (semelhante ao número pi);
2) a razão entre as quantidades de números primos nos intervalos entre os números quadrados perfeitos tende 8,9;
3) a razão entre as médias de números primos e os números quadrados perfeitos nos intervalos de potências de 10 tende 2,7 (semelhante ao número e);
4) as porcentagens passam as casas dos 100.000% rapidamente.
| Números Primos e | |||
| Números Quadrados Perfeitos | |||
| entre potências de 10 | |||
| quantidade | quantidade | média | % |
| de quadrados | de primos | primos | |
| 3 | 4 | 1,3 | 133% |
| 2,0 | 5,2 | 2,6 | |
| 6 | 21 | 3,5 | 350% |
| 3,6 | 6,8 | 1,8 | |
| 22 | 143 | 6,5 | 650% |
| 3,0 | 7,4 | 2,4 | |
| 68 | 1.061 | 15,6 | 1.560% |
| 3,1 | 7,8 | 2,4 | |
| 217 | 8.363 | 38,5 | 3.853% |
| 3,1 | 8,2 | 2,6 | |
| 684 | 68.906 | 100,7 | 10.073% |
| 3,1 | 8,5 | 2,6 | |
| 2162 | 586.081 | 271,0 | 27.100% |
| 3,1 | 8,6 | 2,7 | |
| 6.838 | 5.096.876 | 745,3 | 74.537% |
| 3,1 | 8,8 | 2,7 | |
| 21.622 | 45.086.079 | 2.085,1 | 208.512% |
| 3,1 | 8.9 | 2,8 | |
| 68.377 | 404.204.977 | 5.911,4 | 591.140% |
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Autor: Ricardo Silva - abril/2021
Du Sautoy, Marcus, 1965. A música dos números primos: uma história de um problema não resolvido na matemática / Marcus du Sautoy, Diego Alfaro. - Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2007
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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