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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Teorema de Pitágoras e quadrados inscritos em quadrados - 339

O Teorema de Pitágoras (a² = b² + c² ) é uma das fórmulas mais importantes e muito utilizada para se efetuarem cálculos aritméticos, algébricos e trigonométricos a partir de um triângulo retângulo.

A sua estrutura carrega grandes quantidades de informações e conceitos matemáticos que se relacionam entre si.

Com o Teorema de Pitágoras, para citar alguns exemplos, são possíveis de se:

a) calcular lados, áreas e alturas de triângulos retângulos;

b) calcular lados, áreas e alturas das mais diversas figuras geométricas regulares;

c) calcular distâncias acessíveis e distâncias inacessíveis, como distâncias planetárias: da Terra ao Sol; da Terra a Lua; da Lua ao Sol, etc.

Neste estudo são demonstradas novas relações numéricas entre o Teorema de Pitágoras e construções geométricas com a sequência de números triangulares bem como com números irracionais e números primos.

Quadrado inscrito em quadrado - determinando áreas e lados

No cápitulo 1 Revendo Números do livro Realidade Matemática 8° ano são apresentados modelos matemáticos cujos objetivos são demonstrar conceitos iniciais sobre números racionais e irracionais, no qual apresenta o sequinte questionamento:

Qual é a área de um quadrado de lado 1 e qual é o lado de um quadrado de área 2?

Para mais informações veja matérias relacionadas.

area de quadrado de lado 1 e lado de quadrado de área 2

Fonte: Adaptado do livro Realidade Matemática - 8° ano/Gelson Iezzi, Owaldo Dolce, Antonio Machado - 6a edi - São Paulo - Atual , 2009.

Quadrado inscrito em quadrado - quadrados dinâmicos

Há quatro métodos de construções de quadrados dinâmicos, no exemplo, construções de quadrados proporcionais a partir do ponto médio de cada lado de cada quadrado.

Os quadrados formados a partir do ponto médio de cada um de seus lados geram quadrados, ora com lados de números inteiros, ora quadrados com lados de números irracionais.

Para mais informações veja matérias relacionadas.

quadrados inscritos em quadrados - quadrados dinâmicos

Teorema de Pitágoras do livro Chou Pei Suan Ching

Na demonstração do Teorema de Pitágoras publicada, com a qual os chineses a chamam de Teorema Gou-gu, no livro  Chou Pei Suan Ching, o quadrado de área 25 se encontra em um quadrado quadriculado e é formando por 4 triângulos retângulos cujas hipotenusas formam os lados do quadrado inscrito e um quadradinho central.

Teorema de Pitágoras do livro Chou Pei

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Chou_Pei_Suan_Ching#/ media/File:Chinese_pythagoras.jpg

 

Cada triângulo retângulo possui a seguinte área:

3 x 4 = 12

12 / 2 = 6

Reparar que há um quadradinho no centro do quadrado maior.

Então, 4 triângulos x 6 (área) = 24

24 + 1 (quadradinho central) = 25 (área do quadrado maior)

Partindo-se dos exemplos expostos e principalmente da demonstração chinesa do Teorema de Pitágoras, quando é que um quadrado inscrito em um quadrado terá a sua área e consequentemente a sua raiz quadrada números inteiros.

Assim como na antiga China, também já era de conhecimento das antigas civilizações mesopotâmicas e egípcia a manipulação do Terno Pitagórico 3, 4, 5 e sua relação com o triângulo retângulo.

Quadrado de lado 3 e quadrado de área 5

Construindo-se um quadrado quadriculado de lado 3 e área 9 e inscrevendo um outro quadrado, qual é a área e o lado do quadrado inscrito?

quadrado de lado 3 e quadrado de área 5

área de cada triângulo: T1, T2, T3 e T4.

base x altura / 2

4 x ( 2 x 1 / 2)

4 x 1 = 4

área do quadrado Q1 = 1 x 1 = 1

Portanto a área do quadrado azul é igual a 5cm² (4 + 1) e a

medida do seu lado é √5 = 2,23..., um número irracional.

Quadrado de lado 5 e quadrado de área 13

Construindo-se um quadrado quadriculado de lado 5 e área 25 e inscrevendo um outro quadrado, qual é a área e o lado do quadrado inscrito?

quadrado de lado 5 e quadrado de área 13

área de cada triângulo: T1, T2, T3 e T4.

base x altura / 2

4 x ( 3 x 2 / 2)

4 x 3 = 12

área do quadrado Q1 = 1 x 1 = 1

Portanto a área do quadrado amarelo é igual a 13 cm² (12 + 1) e a

medida do seu lado é √13 = 3,6055..., um número irracional.

Quadrado de lado 7 e quadrado de área 25

Construindo-se um quadrado quadriculado de lado 7 e área 49 e inscrevendo um outro quadrado, qual é a área e o lado do quadrado inscrito?

área de cada triângulo: T1, T2, T3 e T4.

base x altura / 2

4 x ( 4 x 3 / 2)

4 x 6 = 24

área do quadrado Q1 = 1 x 1 = 1

Portanto a área do quadrado amarelo é igual a 25 cm² (24 + 1) e a

medida do seu lado é √25 = 5, um número inteiro.

Parafraseando...

... Bhaskara Akaria (1114-1185) matemático indiano, também conhecido como Bhaskaracharya.

Nota: Não confudir com o também matemático indiano Bhaskara I que viveu no século VI.

Aqui está!

Contemple!

Veja!...,

pois a construção geométrica no livro chinês Chou Pei Suan Chingcom a demostração do Teorema de Pitágoras com quadrado inscrito em um quadrado é uma das quatro variantes que podem ser construídas com um quadrado de lado unitário central conforme explanações e cálculos a seguir.

Quadrados inscritos em quadrados e regularidades numéricas

As expressões numéricas utilizadas para os cálculos de áreas e lados de quadrados inscritos em quadrados nos exemplos apresentados, têm em suas formações termos da sequência de números triangulares, vejamos:

cálculo 1

4 x ( 2 x 1 / 2)

4 x 1 = 4

4 multiplicado pelo triangular 1

cálculo 2

4 x ( 3 x 2 / 2)

4 multiplicado pelo triangular 3

cálculo 3

4 x ( 4 x 3 / 2)

4 multiplicado pelo triangular 6

6 é um número triangular e perfeito.

Nos cálculos encontramos o primeiro quadrado inscrito em um quadrado cujas área e lado são números inteiros.

Simples coincidência ou há relação entre a construção geométrica com número perfeito e número inteiro?

Montando-se tabela a partir da expressão numérica acima e efetuando-se os cálculos verifica-se que entre os 1000 primeiros números triangulares multiplicados por 4 geram 4 sequências que correspondem às areas e lados de quadrados inscritos em quadrados formados por números inteiros, os demais resultados geram números irracionais.

Número 4
multiplicado por
número triangular
       
    área do  
    quadrado  
multiplicação      
triangular produto soma raiz
                 
4 x 1 = 4 1 = 5 2,236068
4 x 3 = 12 1 = 13 3,605551
4 x 6 = 24 1 = 25 5
4 x 10 = 40 1 = 41 6,403124
4 x 15 = 60 1 = 61 7,81025
4 x 21 = 84 1 = 85 9,219544
4 x 28 = 112 1 = 113 10,63015
4 x 36 = 144 1 = 145 12,04159
4 x 45 = 180 1 = 181 13,45362
4 x 55 = 220 1 = 221 14,86607
4 x 66 = 264 1 = 265 16,27882
4 x 78 = 312 1 = 313 17,69181
4 x 91 = 364 1 = 365 19,10497
4 x 105 = 420 1 = 421 20,51828
4 x 120 = 480 1 = 481 21,93171
4 x 136 = 544 1 = 545 23,34524
4 x 153 = 612 1 = 613 24,75884
4 x 171 = 684 1 = 685 26,1725
4 x 190 = 760 1 = 761 27,58623
4 x 210 = 840 1 = 841 29
4 x 231 = 924 1 = 925 30,41381
4 x 253 = 1012 1 = 1013 31,82766
4 x 276 = 1104 1 = 1105 33,24154
4 x 300 = 1200 1 = 1201 34,65545
4 x 325 = 1300 1 = 1301 36,06938
4 x 351 = 1404 1 = 1405 37,48333
4 x 378 = 1512 1 = 1513 38,8973
4 x 406 = 1624 1 = 1625 40,31129
4 x 435 = 1740 1 = 1741 41,72529
4 x 465 = 1860 1 = 1861 43,13931
4 x 496 = 1984 1 = 1985 44,55334
4 x 528 = 2112 1 = 2113 45,96738
4 x 561 = 2244 1 = 2245 47,38143
4 x 595 = 2380 1 = 2381 48,79549
4 x 630 = 2520 1 = 2521 50,20956
4 x 666 = 2664 1 = 2665 51,62364
4 x 703 = 2812 1 = 2813 53,03772
4 x 741 = 2964 1 = 2965 54,45181
4 x 780 = 3120 1 = 3121 55,86591
4 x 820 = 3280 1 = 3281 57,28001
4 x 861 = 3444 1 = 3445 58,69412
4 x 903 = 3612 1 = 3613 60,10824
4 x 946 = 3784 1 = 3785 61,52235
4 x 990 = 3960 1 = 3961 62,93648
4 x 1035 = 4140 1 = 4141 64,3506
4 x 1081 = 4324 1 = 4325 65,76473
4 x 1128 = 4512 1 = 4513 67,17887
4 x 1176 = 4704 1 = 4705 68,593
4 x 1225 = 4900 1 = 4901 70,00714
4 x 1275 = 5100 1 = 5101 71,42129
4 x 1326 = 5304 1 = 5305 72,83543
4 x 1378 = 5512 1 = 5513 74,24958
4 x 1431 = 5724 1 = 5725 75,66373
4 x 1485 = 5940 1 = 5941 77,07788
4 x 1540 = 6160 1 = 6161 78,49204
4 x 1596 = 6384 1 = 6385 79,9062
4 x 1653 = 6612 1 = 6613 81,32035
4 x 1711 = 6844 1 = 6845 82,73452
4 x 1770 = 7080 1 = 7081 84,14868
4 x 1830 = 7320 1 = 7321 85,56284
4 x 1891 = 7564 1 = 7565 86,97701
4 x 1953 = 7812 1 = 7813 88,39118
4 x 2016 = 8064 1 = 8065 89,80535
4 x 2080 = 8320 1 = 8321 91,21952
4 x 2145 = 8580 1 = 8581 92,63369
4 x 2211 = 8844 1 = 8845 94,04786
4 x 2278 = 9112 1 = 9113 95,46203
4 x 2346 = 9384 1 = 9385 96,87621
4 x 2415 = 9660 1 = 9661 98,29039
4 x 2485 = 9940 1 = 9941 99,70456
4 x 2556 = 10224 1 = 10225 101,1187
4 x 2628 = 10512 1 = 10513 102,5329
4 x 2701 = 10804 1 = 10805 103,9471
4 x 2775 = 11100 1 = 11101 105,3613
4 x 2850 = 11400 1 = 11401 106,7755
4 x 2926 = 11704 1 = 11705 108,1896
4 x 3003 = 12012 1 = 12013 109,6038
4 x 3081 = 12324 1 = 12325 111,018
4 x 3160 = 12640 1 = 12641 112,4322
4 x 3240 = 12960 1 = 12961 113,8464
4 x 3321 = 13284 1 = 13285 115,2606
4 x 3403 = 13612 1 = 13613 116,6748
4 x 3486 = 13944 1 = 13945 118,0889
4 x 3570 = 14280 1 = 14281 119,5031
4 x 3655 = 14620 1 = 14621 120,9173
4 x 3741 = 14964 1 = 14965 122,3315
4 x 3828 = 15312 1 = 15313 123,7457
4 x 3916 = 15664 1 = 15665 125,1599
4 x 4005 = 16020 1 = 16021 126,5741
4 x 4095 = 16380 1 = 16381 127,9883
4 x 4186 = 16744 1 = 16745 129,4025
4 x 4278 = 17112 1 = 17113 130,8167
4 x 4371 = 17484 1 = 17485 132,2309
4 x 4465 = 17860 1 = 17861 133,6451
4 x 4560 = 18240 1 = 18241 135,0592
4 x 4656 = 18624 1 = 18625 136,4734
4 x 4753 = 19012 1 = 19013 137,8876
4 x 4851 = 19404 1 = 19405 139,3018
4 x 4950 = 19800 1 = 19801 140,716
4 x 5050 = 20200 1 = 20201 142,1302
4 x 5151 = 20604 1 = 20605 143,5444
4 x 5253 = 21012 1 = 21013 144,9586
4 x 5356 = 21424 1 = 21425 146,3728
4 x 5460 = 21840 1 = 21841 147,787
4 x 5565 = 22260 1 = 22261 149,2012
4 x 5671 = 22684 1 = 22685 150,6154
4 x 5778 = 23112 1 = 23113 152,0296
4 x 5886 = 23544 1 = 23545 153,4438
4 x 5995 = 23980 1 = 23981 154,858
4 x 6105 = 24420 1 = 24421 156,2722
4 x 6216 = 24864 1 = 24865 157,6864
4 x 6328 = 25312 1 = 25313 159,1006
4 x 6441 = 25764 1 = 25765 160,5148
4 x 6555 = 26220 1 = 26221 161,929
4 x 6670 = 26680 1 = 26681 163,3432
4 x 6786 = 27144 1 = 27145 164,7574
4 x 6903 = 27612 1 = 27613 166,1716
4 x 7021 = 28084 1 = 28085 167,5858
4 x 7140 = 28560 1 = 28561 169
                 
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Quadrados inscritos em quadrados e números inteiros

4 Expressões numéricas numéricas relacionadas às construções geometricas de quadrados incritos em quadrados cujos resultados são números inteiros.

4 x 6 = 24 1 = 25 5
                 
4 x 210 = 840 1 = 841 29
                 
4 x 7140 = 28560 1 = 28561 169
                 
4 x 242556 = 970224 1 = 970225 985

 

Autor: Ricardo Silva - abril/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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