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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados e triângulos inscritos em quadrados e números primos - 338

Números irracionais são números que possuem infinitos algarismos não periódicos após a vírgula.

Os números irracionais não podem ser gerados da divisão de dois números inteiros.

Através de processo geométrico podemos determinar um ponto em que um número irracional ocupa numa reta numérica.

a) desenha um quadrado de lado unitário sobre a reta numerada;

b) traça-se um arco de circunferência com centro no ponto 0 da reta e extremidade no vértice superior direito do quadrado até a reta numerada;

c) a intersecção do arco de circunferência com a reta numerada corresponde a √2, que é aproximadamente 1,4142...

raiz quadrada de 2 na reta numeda

Determinando áreas e lados de quadrados

No cápitulo 1 Revendo Números do livro Realidade Matemática 8° ano são apresentados modelos matemáticos cujos objetivos são demonstrar conceitos iniciais sobre números racionais e irracionais.

Fazendo análises desses modelos matemáticos, eles revelam interessantes regularidades tanto nas configurações geométricas quanto nas sequências numéricas que eles geram.

área de quadrado de lado 1 e área de quadrado de lado 2

Fonte: Adaptado do livro Realidade Matemática - 8° ano/Gelson Iezzi, Owaldo Dolce, Antonio Machado - 6a edi - São Paulo - Atual , 2009.

Quadrado 1

Os lados do Quadrado 1 medem 1cm.

Traçando-se uma diagonal, dividi-se o quadrado em duas partes.

Responda:

Qual é a área do quadrado?

Qual é a área de cada parte?

Quadrado 2

Juntando-se quatro quadradinhos de 1cm de lado, forma-se um quadrado maior de 2cm de lado.

No interior do quadrado maior, forma-se um outro quadrado (cor azul)

Responda:

Qual é a área do quadrado azul?

Quanto medem os seus lados?

A medida dos lados é um número inteiro?

É um número racional (fracionário)?

Quadrado de área 5 inscrito em quadrado de lado 3

No quadrado de lado 3, qual é a medida aproximada do lado do quadrado de área 5?

Demarcando o quadrado de área 5, podemos decompô-lo em 4 triângulos e 1 quadrado menor com as seguintes áreas:

quadrado de área 9 e quadrado de área 5

Método 1

área de cada triângulo: T1, T2, T3 e T4.

base x altura / 2

4 x ( 2 x 1 / 2)

4 x 1 = 4

área do quadrado Q1 = 1 x 1 = 1

Portanto a área do quadrado azul é igual a 5cm2 (4 + 1)

medida do seu lado é √5 = 2,23..., um número irracional.

Método 2

área do quadrado maior (cor verde): 3 x 3 = 9

área de cada triângulo: T1, T2, T3 e T4.

base x altura / 2

4 x ( 2 x 1 / 2)

4 x 1 = 4

área dos 4 triângulos subtraídas do quadrado maior é igual a área do quadrado (cor azul)

9 - 4 = 5

medida do lado do quadrado (cor azul)

√5 = 2,23..., um número irracional.

Quadrado de área 17 inscrito em quadrado de lado 5

No quadrado de lado 5, qual é a medida aproximada do lado do quadrado de área 17 ?

Demarcando o quadrado de área 17, podemos decompô-lo em 4 triângulos e 1 quadrado menor com as seguintes áreas:

quadrado de área 25 e quadrado de área 17

Método 1

área de cada triângulo: T1, T2, T3 e T4

base x altura / 2

4 x ( 4 x 1 / 2)

4 x 2 = 8

área do quadrado Q1 = 3 x 3 = 9

Portanto a área do quadrado azul é igual a 17cm2 (8 + 9).

Medida do lado √17 = 4,12...

Método 2

área do quadrado maior (cor verde): 5 x 5 = 25

área de cada triângulo: T1, T2, T3 e T4.

base x altura / 2

4 x ( 4 x 1 / 2)

4 x 2 = 8

área dos 4 triângulos subtraídas do quadrado maior é igual a área do quadrado (cor azul)

25 - 8 = 17

medida do lado do quadrado (cor azul)

√17 = 4,1231..., um número irracional.

A partir dos modelos matemáticos e cálculos apresentados é possível generalizar e formar expressões aritméticas que nos forneçam números que extraídos suas raízes quadradas deem como resultados números irracionais.

Expressão aritmética 1 - quadrados e triângulos inscritos em quadrados

Um número quadrado ímpar somado com o dobro de sua raiz quadrada e duas unidades tem como resultado um número que extraído a sua raiz quadrada tem como resultado um número irracional.

Exemplo 1)

1² + 2 + 2 =

1 + 2 + 2 = 5 (número primo)

√5 = 2,23...

Exemplo 2)

3² + 6 + 2 =

9 + 6 + 2 = 17 (número primo)

√17 = 4,1231...

Exemplo 3)

5² + 10 + 2 =

25 + 10 + 2 = 37 (número primo)

√37 = 6,0827...

Cálculos efetuados e tabulados com os 1000 primeiros números quadrados ímpares perfeitos demonstram que os lados dos quadrados inscritos são todos números irracionais.

A seguinte tabela apresenta os 50 primeiros cálculos.

Número quadrado
somado com seu dobro
e duas unidades
                 
número quadrado   dobro       área  
  ímpar   raiz       quadrado raiz
              inscrito quadrada
                 
1 1 + 2 + 2 = 5 2,2360
3 9 + 6 + 2 = 17 4,1231
5 25 + 10 + 2 = 37 6,0827
7 49 + 14 + 2 = 65 8,0622
9 81 + 18 + 2 = 101 10,0498
11 121 + 22 + 2 = 145 12,0415
13 169 + 26 + 2 = 197 14,0356
15 225 + 30 + 2 = 257 16,0312
17 289 + 34 + 2 = 325 18,0277
19 361 + 38 + 2 = 401 20,0249
21 441 + 42 + 2 = 485 22,0227
23 529 + 46 + 2 = 577 24,0208
25 625 + 50 + 2 = 677 26,01922
27 729 + 54 + 2 = 785 28,0178
29 841 + 58 + 2 = 901 30,0166
31 961 + 62 + 2 = 1025 32,0156
33 1089 + 66 + 2 = 1157 34,014
35 1225 + 70 + 2 = 1297 36,0138
37 1369 + 74 + 2 = 1445 38,0131
39 1521 + 78 + 2 = 1601 40,0124
41 1681 + 82 + 2 = 1765 42,0119
43 1849 + 86 + 2 = 1937 44,0113
45 2025 + 90 + 2 = 2117 46,0108
47 2209 + 94 + 2 = 2305 48,010
49 2401 + 98 + 2 = 2501 50,009
51 2601 + 102 + 2 = 2705 52,009
53 2809 + 106 + 2 = 2917 54,009
55 3025 + 110 + 2 = 3137 56,008
57 3249 + 114 + 2 = 3365 58,0086
59 3481 + 118 + 2 = 3601 60,008
61 3721 + 122 + 2 = 3845 62,0080
63 3969 + 126 + 2 = 4097 64,0078
65 4225 + 130 + 2 = 4357 66,0075
67 4489 + 134 + 2 = 4625 68,0073
69 4761 + 138 + 2 = 4901 70,0071
71 5041 + 142 + 2 = 5185 72,00694
73 5329 + 146 + 2 = 5477 74,0067
75 5625 + 150 + 2 = 5777 76,0065
77 5929 + 154 + 2 = 6085 78,0064
79 6241 + 158 + 2 = 6401 80,0062
81 6561 + 162 + 2 = 6725 82,006
83 6889 + 166 + 2 = 7057 84,0059
85 7225 + 170 + 2 = 7397 86,0058
87 7569 + 174 + 2 = 7745 88,005
89 7921 + 178 + 2 = 8101 90,005
91 8281 + 182 + 2 = 8465 92,005
93 8649 + 186 + 2 = 8837 94,00
95 9025 + 190 + 2 = 9217 96,005
97 9409 + 194 + 2 = 9605 98,005

Expressão numérica 2 - quadrados e triângulos inscritos em quadrados

O dobro de uma raiz quadrada ímpar subtraída de duas unidades e posteriomente subraída do número quadrado ímpar correspondente igual ou maior que 9 tem como resultado um número que extraído a sua raiz quadrada tem como resultado um número irracional.

Exemplo 1)

3² - (6 - 2) =

= 9 - 4

= 5 (número primo)

√5 = 2,23...

Exemplo 2)

5² - (10 - 2) =

= 25 - 8

= 17 (número primo)

√17 = 4,1231...

Exemplo 3)

7² - (14 - 2) =

= 49 - 12

= 37 (número primo)

√37 = 6,0827...

Cálculos efetuados e tabulados com os 1000 primeiros números quadrados ímpares perfeitos demonstram que os lados dos quadrados inscritos são todos números irracionais, com exceção do primeiro cálculo cuja raiz quadrada é 1.

A seguinte tabela apresenta os 50 primeiros cálculos.

Dobro de um raiz quadrada
subtraída de duas unidades
e subtraída de seu quadrado
 
                 
número quadrado   dobro       área  
  ímpar   raiz       quadrado raiz
              inscrito quadrada
                 
1 1 - 2 - 2 = 1 1
3 9 - 6 - 2 = 5 2,236
5 25 - 10 - 2 = 17 4,1231
7 49 - 14 - 2 = 37 6,082
9 81 - 18 - 2 = 65 8,062
11 121 - 22 - 2 = 101 10,04
13 169 - 26 - 2 = 145 12,0415
15 225 - 30 - 2 = 197 14,035
17 289 - 34 - 2 = 257 16,031
19 361 - 38 - 2 = 325 18,027
21 441 - 42 - 2 = 401 20,0249
23 529 - 46 - 2 = 485 22,0227
25 625 - 50 - 2 = 577 24,020
27 729 - 54 - 2 = 677 26,019
29 841 - 58 - 2 = 785 28,017
31 961 - 62 - 2 = 901 30,016
33 1089 - 66 - 2 = 1025 32,015
35 1225 - 70 - 2 = 1157 34,014
37 1369 - 74 - 2 = 1297 36,013
39 1521 - 78 - 2 = 1445 38,0131
41 1681 - 82 - 2 = 1601 40,012
43 1849 - 86 - 2 = 1765 42,01
45 2025 - 90 - 2 = 1937 44,011
47 2209 - 94 - 2 = 2117 46,0108
49 2401 - 98 - 2 = 2305 48,010
51 2601 - 102 - 2 = 2501 50,00
53 2809 - 106 - 2 = 2705 52,009
55 3025 - 110 - 2 = 2917 54,009
57 3249 - 114 - 2 = 3137 56,008
59 3481 - 118 - 2 = 3365 58,0086
61 3721 - 122 - 2 = 3601 60,008
63 3969 - 126 - 2 = 3845 62,0080
65 4225 - 130 - 2 = 4097 64,007
67 4489 - 134 - 2 = 4357 66,0075
69 4761 - 138 - 2 = 4625 68,0073
71 5041 - 142 - 2 = 4901 70,007
73 5329 - 146 - 2 = 5185 72,006
75 5625 - 150 - 2 = 5477 74,0067
77 5929 - 154 - 2 = 5777 76,006
79 6241 - 158 - 2 = 6085 78,006
81 6561 - 162 - 2 = 6401 80,006
83 6889 - 166 - 2 = 6725 82,00
85 7225 - 170 - 2 = 7057 84,005
87 7569 - 174 - 2 = 7397 86,0058
89 7921 - 178 - 2 = 7745 88,005
91 8281 - 182 - 2 = 8101 90,005
93 8649 - 186 - 2 = 8465 92,005
95 9025 - 190 - 2 = 8837 94,00
97 9409 - 194 - 2 = 9217 96,0052

 

Autor: Ricardo Silva - abril/2021

Fontes Bibliográficas:

Realidade Matemática - 8° ano/Gelson Iezzi, Owaldo Dolce, Antonio Machado - 6a edi - São Paulo - Atual , 2009.

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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