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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Teorema Pitágoras e o livro Chou Pei Suan Ching - 340

Zhoubi suanjing (Clássico Aritmético do Gnomon e os Caminhos Circulares do Céu) é um livro chinês sobre astronomia e matemática datado de aproximadamente 100 aC.

"Zhou" refere-se à antiga dinastia Zhou (1046–256 aC).

 "Bi" significa coxa e, de acordo com o livro, refere-se ao gnômon do relógio de sol. 

 "Suan Jing" "clássico da aritmética".

Chou Pi Suan Ching - transliteração.

A imagem de detalhe do livro é de uma cópia da dinastia Ming impressa em 1603. Esses diagramas foram adicionados ao texto original em algum ponto na tentativa de ilustrar uma prova de dissecação do "Teorema de Pitágoras", conhecido pelos chineses como teorema de Gou-gu.

Na página à direita, diagrama de um prova visual do Teorema de Pitágoras.

Neste estudo os diagramas de triângulos serão referenciados seguindo o exemplo: Triângulo 3-4-5 de Gou-Gu, preservando desta forma o modo como os chineses o denominam, assim como nós ocidentais estamos acostumados a denominar: Teorema de Pitágoras, Triângulo Pitagórico, Triângulo de Pitágoras, Ternos Pitagóricos, Tripla Pitagórica, etc.

Teorema de Pitágoras e o livro Chou Pei Suan Ching

Fonte: https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasures-zhoubi-suanjing

Os estudos aqui apresentados são complementares a outros estudos publicados aqui WebSite Os Fantáticos Números Primos.

Veja matérias relacionadas abaixo, para mais informações.

As construções de diagramas quadriculados com retângulos e triângulos retângulos inscritos aqui referenciados para se contruirem outros triângulos retângulos, possuem em suas estruturas interessantes propriedades geométricas e aritméticas:

a) de que os cálculos para se saber as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão estritamente relacionados com o quadradinho central do diagrama;

b) de que a diferença entre cateto menor e cateto maior tem como a media do lado do quadradinho central;

c) de que os cálculos referente a lados de triângulos retângulo podem ser efetuados aritmeticamente.

Triângulo Retângulo 3-4-5 de Gou-gu e métodos de construção

Para a construção de um Triângulo Retângulo 3-4-5 de Gou-gu, segue-se as seguintes etapas:

a) desenha-se um quadrado quadriculado de 7 cm de lado;

b) desenham-se 4 retângulos de base 4 cm e altura 3 cm, de forma que um par fique na vertical e outro na horizontal;

c) traça-se a diagonal em cada um dos retângulos;

d) finalizando, desta forma, com um quadrado de lado de 5 cm inscrito no quadrado de lado de 7 cm.

Observação importante: no centro do quadrado inscrito, forma-se um quadrado de lado de 1cm.

triângulo 3-4-5 de Gou-go

Triângulo Retângulo 3-4-5 de Gou-gu e cálculos aritméticos

Cálculos para se saber a área do quadrado inscrito

Área do quadrado maior

7² = 49 cm²

Área de cada triângulo

(base x altura) / 2

(4 x 3) / 2 = 6

4 triângulos x 6 = 24 cm²

49 cm² - 24 cm² = 25 cm²

Resposta: A área do quadrado inscrito é 25 cm².

Cálculos para se saber a medida do lado do quadrado inscrito / hipotenusa.

Área de cada triângulo

(base x altura) / 2

(4 x 3) / 2 = 6

4 triângulos x 6 = 24 cm²

24 cm² + 1cm² (área do quadradinho central) = 25 cm²

√25 = 5cm

Resposta: O lado do quadrado inscrito é 5 cm.

Observação: 5cm também é a medida da hipotenusa no triângulo retângulo.

Cálculos para se saber a medida do cateto menor

5² = 25 cm²

25 cm² - 1 cm² (área do quadradinho central) = 24 cm²

24 cm² : (2 x 4) dobro do cateto maior

24 cm² : 8 = 3

Resposta: A medida do cateto menor é 3 cm.

Cálculos para se saber a medida do cateto maior

5² = 25 cm²

25 cm² - 1 cm² (área do quadradinho central) = 24 cm²

24 cm² : (2 x 3) dobro do cateto menor

24 cm² : 6 = 4

Resposta: A medida do cateto maior é 4 cm.

Triângulo Retângulo 5-12-13 de Gou-gu e cálculos aritméticos

Para a construção de um Triângulo Retângulo 5-12-13 de Gou-gu, segue-se as seguintes etapas:

a) desenha-se um quadrado quadriculado de 17 cm de lado;

b) desenham-se 4 retângulos de base 12 cm e altura 5cm, de forma que um par fique na vertical e outro na horizontal;

c) traça-se a diagonal em cada um dos retângulos;

d) finalizando, desta forma, com um quadrado de lado de 13 cm inscrito no quadrado de lado de 17cm.

Observação importante: no centro do quadrado inscrito, forma-se um quadrado de lado de 7 cm.

triângulo 5-12-13 de Gou-go

Triângulo Retângulo 5-12-13 de Gou-gu e cálculos aritméticos

Cálculos para se saber a área do quadrado inscrito

Área do quadrado maior

17² = 289 cm²

Área de cada triângulo

(base x altura) / 2

(12 x 5) / 2 = 30

4 triângulos x 30 = 120 cm²

289 cm² - 120 cm² = 169 cm²

Resposta: A área do quadrado inscrito é 169 cm².

Cálculos para se saber a medida do lado do quadrado inscrito / hipotenusa.

Área de cada triângulo

(base x altura) / 2

(12 x 5) / 2 = 30

4 triângulos x 30 = 120 cm²

120 cm² + 49 cm² (área quadrado central) = 169 cm²

√169 = 13

Resposta: O lado do quadrado inscrito é 13 cm.

Cálculos para se saber a medida do cateto menor

13² = 169 cm²

169 cm² - 49 cm² (área do quadrado central) = 120 cm²

120 cm² : (2 x 12) dobro do cateto maior

120 cm² : 24 = 5

Resposta: A medida do cateto menor é 5 cm.

Cálculos para se saber a medida do cateto maior

13² = 169 cm²

169 cm² - 49 cm² (área do quadrado central) = 120 cm²

120 cm² : (2 x 5) dobro do cateto maior

120 cm² : 10 = 12

Resposta: A medida do cateto maior é 12 cm.

Triângulo Retângulo 7-24-25 de Gou-gu e cálculos aritméticos

Para a construção de um Triângulo Retângulo 7-24-25 de Gou-gu, segue-se as seguintes etapas:

a) desenha-se um quadrado quadriculado de 31 cm de lado;

b) desenham-se 4 retângulos de base 24 cm e altura 7 cm, de forma que um par fique na vertical e outro na horizontal;

c) traça-se a diagonal em cada um dos retângulos;

d) finalizando, desta forma, com um quadrado de lado de 25 cm inscrito no quadrado de lado de 31 cm.

Observação importante: no centro do quadrado inscrito, forma-se um quadrado de lado de 17 cm.

triângulo 7-24-25 de Gou-go

Triângulo Retângulo 7-24-25 de Gou-gu e cálculos aritméticos

Cálculos para se saber a área do quadrado inscrito

Área do quadrado maior

31² = 961 cm²

Área de cada triângulo

(base x altura) / 2

(24 x 7) / 2 = 84

4 triângulos x 84 = 336 cm²

961 cm² - 336 cm² = 625 cm²

Resposta: A área do quadrado inscrito é 625 cm².

Cálculos para se saber a medida do lado do quadrado inscrito / hipotenusa.

Área de cada triângulo

(base x altura) / 2

(24 x 7) / 2 = 84

4 triângulos x 84 = 336 cm²

336 cm² + 289 cm² (área do quadrado central) = 625 cm²

√625 = 25

Resposta: O lado do quadrado inscrito é 25 cm.

Cálculos para se saber a medida do cateto menor

25² = 625 cm²

625 cm² - 289 cm² (área do quadrado central) = 336 cm²

336 cm² : (2 x 24) dobro do cateto maior

336 cm² : 48 = 7

Resposta: A medida do cateto menor é 7 cm.

Cálculos para se saber a medida do cateto maior

25² = 625 cm²

625 cm² - 289 cm² (área do quadrado central) = 336 cm²

336 cm² : (2 x 7) dobro do cateto menor

336 cm² : 14 = 24

Resposta: A medida do cateto maior é 24 cm.

Autor: Ricardo Silva - abril/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

:https://pt.wikipedia.org/wiki/ Chou_Pei_Suan_Ching#/ media/File:Chinese_pythagoras.jpg

https://www.maa.org/press/ periodicals/convergence/ mathematical-treasures -zhoubi-suanjing

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