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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados formando quadrado - 343

O Teorema de Pitágoras apresenta o seguinte enunciado: O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos e o que também é verdade: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

O teorema é facilmente comprovado, desenhando-se um triângulo retângulo e posteriormente quadrados em cada um dos seus lados.

Quadriculando as áreas dos quadrados e somando-se os quadradinhos das áreas dos catetos, o resultado é a mesma quantidade de quadradinhos da área do quadrado da hipotenusa.

Nesta demonstração do Teorema de Pitágoras, as áreas dos quadrados foram quadriculadas formando-se áreas quadradas menores cujos lados dos quadradinhos possuem a mesma medida.

As áreas dos quadrados dos catetos foram decompostas em quadradinhos menores e que posteriormente foram justapotas na área do quadrado da hipotenusa assim provando o Teorema de Pitágoras.

Esta é apenas umas das demonstrações do Teorema de Pitágoras, há outras centenas de demonstrações classificadas dependendo de suas caracteristicas comuns, tais como: algébricas, geométricas, decomposições de áreas, etc.

Teorema de Pitágoras - método geometrico

Sem decompor as áreas dos quadrados dos catetos em áreas menores é possível formar a área do quadrado da hipotenusa geometricamente?

Conforme os exemplos a) e b) da figura 343-02 não são possíveis de se formarem as áreas dos quadrados das hipotenusas justapondo-se os quadrados dos catetos.

Teorema de Pitágoras e quadrados justapostos

Quadrados e retângulos de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é formada repetindo-se o número 1 e posteriormente somando-se dois termos anteriores a partir do terceiro termo.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

A soma de termos consecutivos de Fibonacci ao quadrado apresentam uma outra interessante sequência numérica com a qual são possíveis de formarem figuras de quadrados e retângulos justapondo-as consecutivamente, formando-se retângulos cujos comprimentos e alturas são os próprios números consecutivos de Fibonacci.

1² + 1² = 2

1² + 1² + 2² = 6

1² + 1² + 2² + 3²= 15

1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 40

1² + 1² + 2² + 3² + 5² + 8² = 104

Quadrados e retângulos de Fibonacci

Fonte: CARVALHO, Maria Cecília Costa e Silva. Padrões numéricos e sequências: São Paulo, Moderna, 1997

Quadrados consecutivos

Com figuras de quadrados de lados 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 e 8 cujas respectivas áreas formando quadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 e 64 quadriculados não são possíveis de se formar um quadrado maior, pois ficam faltando áreas a serem preenchidas.

No exemplo, há uma área de 4 quadradinhos e outras duas de 1 quadradinho faltantes.

Quadrados consecutivos

Quadrados dinâmicos

Quadrados dinâmicos são construções geométricas de quadrados proporcionais.

No exemplo, um dos métodos de construções: a partir de um quadrado de lado unitário, podem ser obtidos duas séries de quadrados proporcionais em progressões geométricas: 1, 2, 4, 8, 16,... e outra: √2, 2√2, 4 √2, 8√2, 16√2,...

Veja matérias relacionadas abaixo, para conhecer outros métodos de construções.

Quadrados dinâmicos

Quadrados dinâmicos em quadrados

Tentando-se reconstruir um quadrado dinâmico com quadrados dinâmicos menores, necessariamente precisam ser os quadrados menores replicados para se poder formar a área de um quadrado maior.

quadrados dinâmicos em quadrados

Quadrado de 175mm formado por quadrados

A construção de quadrados formados por quadrados a seguir é creditada T. H. Willcocks, um estudante inglês.

A demonstração se encontra publicada no livro Matematics on Vacation, do ano de 1966, de autoria do estadunidense Joseph S. Madachy.

Interessante observar que nesta construção com 23 quadrados, há 6 quadrados cujos lados são medidas de quadrados perfeitos e os demais não.

1, 4, 9, 16, 64 e 81 - quadrados perfeitos.

3, 2, 5, 8, 14 18, 20, 29, 30, 31, 33, 35, 39, 43, 51, 55 e 56 - não quadrados perfeitos.

Quadrado de 175mm formado por quadrados

Fonte: Madachy, Joseph S. Matematics on Vacacion

 

Autor: Ricardo Silva - maio/2021

Fontes Bibliográficas:

CARVALHO, Maria Cecília Costa e Silva. Padrões numéricos e sequências: São Paulo, Moderna, 1997

MADACHY, Joseph S. Matematics on Vacacion. EUA, Charles Scribner's Sons, 1966

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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