O número 9 e seus múltiplos apresentam diversos padrões e regularidades numéricas em relação a aspectos geométricos como também com outras sequências numéricas divulgadas aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos.
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O presente estudo demontra que a soma de 2 múltiplos consecutivos da soma de múltiplos consecutivos de 9 têm como resultados números quadrados perfeitos.
Multiplicando-se o número 9 pela sequência de números naturais, obtêm-se a sequência de múltiplos de 9:
| Tabuada do 9 | ||||
|---|---|---|---|---|
| naturais | Múltiplos | |||
| de 9 | ||||
| 1 | x | 9 | = | 9 |
| 2 | x | 9 | = | 18 |
| 3 | x | 9 | = | 27 |
| 4 | x | 9 | = | 36 |
| 5 | x | 9 | = | 45 |
| 6 | x | 9 | = | 54 |
| 7 | x | 9 | = | 63 |
| 8 | x | 9 | = | 72 |
| 9 | x | 9 | = | 81 |
| 10 | x | 9 | = | 90 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||||
Os múltiplos de 9 formam uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 9 e razão 9.
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ...
A soma consecutiva de múltiplos de 9 tem como resultado a seguinte sequência numérica:
9, 27, 54, 90, 135, 189, 252, 324, 405, 495,... e que quando divididas pelo próprio número 9 apresentam como quocientes a sequência de números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
| Soma de | |||
|---|---|---|---|
| múltiplos consecutivos | |||
| de 9 | |||
| n | soma | triangular | |
| 1 | 9 | 9 : 9 | 1 |
| 2 | 9+18 | 27 : 9 | 3 |
| 3 | 9+18+27 | 54 : 9 | 6 |
| 4 | 9+18+27+36 | 90 : 9 | 10 |
| 5 | 9+18+27+36+45 | 135 : 9 | 15 |
| 6 | 9+18+27+36+45+54 | 189 : 9 | 21 |
| 7 | 9+18+...+54+63 | 252 : 9 | 28 |
| 8 | 9+18+27+...+54+63+72 | 324 : 9 | 36 |
| 9 | 9+18+27....+63+72+81 | 405 : 9 | 45 |
| 10 | 9+18+27+...+63+72+81+90 | 495 : 9 | 55 |
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A soma de 2 múltiplos consecutivos da soma de múltiplos consecutivos de 9 têm como resultados números quadrados perfeitos:
9, 36, 81, 144, 225, 324, 441, 576, 729, 900, ...
| Soma da soma | ||||
|---|---|---|---|---|
| de múltiplos consecutivos | ||||
| de 9 | ||||
| soma | soma de | número | ||
| n | 2 | quadrado | ||
| múltiplos | perfeito | |||
| 1 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 2 | 9 + 18 | 27 | 9 + 27 | 36 |
| 3 | 9 + 18 + 27 | 54 | 27 + 54 | 81 |
| 4 | 9 + 18 + 27 + 36 | 90 | 54 + 90 | 144 |
| 5 | 9 + 18 + 27 + 36 + 45 | 135 | 90 + 135 | 225 |
| 6 | 9 + 18 + 27 + 36 + 45 + 54 | 189 | 135+189 | 324 |
| 7 | 9 + 18 +...+ 54 + 63 | 252 | 189 + 252 | 441 |
| 8 | 9 +18 + 27 +...+ 54 + 63 + 72 | 324 | 252 + 324 | 576 |
| 9 | 9 + 18 + 27....+ 63 + 72 + 81 | 405 | 324 + 405 | 729 |
| 10 | 9 + 18 + 27 +...+ 63 + 72 + 81 + 90 | 495 | 405 + 495 | 900 |
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Os números quadrados perfeitos gerados pela soma 2 múltiplos consecutivos da soma de múltiplos consecutivos de 9 quando divididos pelo próprio 9 apresentam como quocientes também números quadrados perfeitos.
| Número | ||||
|---|---|---|---|---|
| Quadrado Perfeito | ||||
| dividido | ||||
| por 9 | ||||
| número | número | |||
| quadrado | quadrado | |||
| perfeito | perfeito | |||
| 9 | : | 9 | = | 1 |
| 36 | : | 9 | = | 4 |
| 81 | : | 9 | = | 9 |
| 144 | : | 9 | = | 16 |
| 225 | : | 9 | = | 25 |
| 324 | : | 9 | = | 36 |
| 441 | : | 9 | = | 49 |
| 576 | : | 9 | = | 64 |
| 729 | : | 9 | = | 81 |
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Autor: Ricardo Silva - janeiro/2022
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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