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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Múltiplos de 9 - números triangulares e potências de base 2 - 332

Nikola Tesla (1856-1943) foi um inventor, engenheiro eletrotécnico e engenheiro mecânico sérvio mais conhecido por suas contribuições ao projeto do moderno sistema de fornecimento de eletricidade em corrente alternada (CA).[1]

Tido com um homem excêntrico, misterioso, enigmático, foi também um estudioso da matemática. É de sua autoria a seguinte frase “se você soubesse a grandeza dos números 3, 6 e 9, teria a chave para o Universo”.

Múltiplos de 9 - números triangulares e potências de base 2

Os números 3, 6 e 9, segundo estudos de Randy Powell, pode ser a chave secreta para obtenção de energia livre na qual Tesla trabalhou e pesquisou durante toda sua vida.

Umas das interessantes propriedades relacionadas ao número 9 é que escolhendo um número qualquer, somando seus algarismos e posteriormente subtraído desse número escolhido, o resultado é um número que é simultaneamente múltiplo de 3 e de 9.

Veja matérias relacionadas, abaixo, para mais detalhes.

Neste estudos são apresentadas outras regularidades numéricas relacionadas ao número 9 com números triangulares e números quase potências de base 2 que são números que são as somas de divisores próprios de potências de base 2.

Múltiplos de 9 e progressão aritmética

Multiplicando o número 9 pela sequência de números naturais, obtêm-se a sequência de múltiplos de 9.

Os múltiplos de 9 formam uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 9 e razão 9.

Tabuada do 9
         
naturais       Múltiplos
        de 9
         
1 x 9 = 9
2 x 9 = 18
3 x 9 = 27
4 x 9 = 36
5 x 9 = 45
6 x 9 = 54
7 x 9 = 63
8 x 9 = 72
9 x 9 = 81
10 x 9 = 90
         
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Soma de múltiplos de 9 consecutivos e números triangulares

A soma de múltiplos de 9 consecutivos têm como resultado o nônuplo de um número triangular.

A soma de múltiplos de 9 consecutivos dividida por 9 tem como resultado um número triangular.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,... são números triangulares.

Soma de múltiplos de 9 consecutivos
       
n   soma triangular
       
1 9 9 : 9 1
       
2 9+18 27 : 9 3
       
3 9+18+27 54 : 9 6
       
4 9+18+27+36 90 : 9 10
       
5 9+18+27+36+45 135 : 9 15
       
6 9+18+27+36+45+54 189 : 9 21
       
7 9+18+...+54+63 252 : 9 28
       
8 9+18+27+...+54+63+72 324 : 9 36
       
9 9+18+27....+63+72+81 405 : 9 45
       
10 9+18+27+...+63+72+81+90 495 : 9 55
       
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Múltiplos de 9 e progressão geométrica de razão 2

A partir do número 9 e multiplicando-o pela razão 2 e assim sucessivamente a cada produto, forma-se uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 9 e razão 2.

Progressão Geométrica
primeiro termo 9
razão 2
   
ordem/ Termos
posição  
   
9
18
36
72
144
288
576
1152
2304
10º 4608
   
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Soma da PG - primeiro termo 9 - razão 2

As somas de termos consecutivos da progressão geométrica cujo primeiro termo é 9 e razão 2 divididas pelo primeiro termo têm como resultados somas de potências de base 2.

Potências de base 2 também são denominadas de Números Quase Perfeitos, pois as somas dos seus divisores próprios é 1 unidade menor que suas próprias potências.

Números que são 1 unidade menor que potências de base 2, neste estudo são denominados de Números Quase Potências de base 2.

Os números 1, 3, 7, 15, 31, são Números Quase Potências de base 2.

Soma de termos consecutivos
Progressão geométrica
primeiro termo 9 - razão 2
      números
      quase
      potências 
n   soma de base 2
       
1 9 9 : 9 1
       
2 9+18 27 : 9 3
       
3 9+18+36 63 : 9 7
       
4 9+18+36+72 135 : 9 15
       
5 9+18+36+72+144 279 : 9 31
       
6 9+18+36+72+144+288 567 : 9 63
       
7 9+18+36+...+288+576 1143 : 9 127
       
8 9+18+36+...+576+1152 2295 : 9 255
       
9 9+18+36+...+1152+2304 4599 : 9 511
       
10 9+18+36+...+2304+4608 9207 : 9 1023
       
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Potências de base 9 e progressão geométrica

Elevando-se o número 9 a expoentes de números naturais sucessivos, obtêm-se potências de base 9

901 

91 = 9

92 = 81

93729

94 = 6.561 

95 = 59.049

96 = 531.441

97 = 4.782.969

98  = 43.046.721

99  = 387.420.489

910  = 3.486.784.401

Soma de potências de base 9 consecutivas

Somas potências de base 9 consecutivas.

1

1 + 9 = 10

1 + 9 + 81 = 91

1 + 9 + 81 + 729 = 820

1 + 9 + 81 + 729 + 6561 = 7.381

1 + 9 + 81 + 729 + 6561+ 59049 = 66.430

1 + 9 + 81 + 729 + 6.561+ 59.049 + 531.441 = 597.871

1 + 9 + 81 + 729 + 6.561+ 59.049 + 531.441+ 4.782.969 = 5.380.840

1 + 9 + 81 + 729 + 6.561+ 59.049 + 531.441+ 4.782.969 + 43.046.721= 48.427.561

1 + 9 + 81 + 729 + 6.561+ 59.049 + 531.441+ 4.782.969 + 43.046.721+ 387.420.489 = 435.848.050

1 + 9 + 81 + 729 + 6.561+ 59.049 + 531.441+ 4.782.969 + 43.046.721+ 387.420.489 + 3.486.784.401 = 3.922.632.451

A soma das 4 primeiras potências de base 9

Qual é a soma das 4 primeiras potências de base 9.

1 + 9 + 81 + 729 = 820

Podemos também obter a soma 820 através da seguinte fórmula:

Base 9 elevada ao expoente 4 (indicando os 4 primeiros termos) subtraída de 1 unidade e dividida por um número de 1 unidade menor que a base, neste caso o número 8.

b4 - 1
_____
b-1
94 - 1
_____
9 - 1
6.561 - 1
_____
8
6560
_____
8

Resposta:

820

Esta e outras novas fórmulas para se saber somas de PAs e PGs se encontram publicadas no livro digital (e-book) Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs.

Autor: Ricardo Silva - abril/2021

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Nikola_Tesla

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