Nikola Tesla (1856-1943) foi um inventor, engenheiro eletrotécnico e engenheiro mecânico sérvio mais conhecido por suas contribuições ao projeto do moderno sistema de fornecimento de eletricidade em corrente alternada (CA).[1]
Tido com um homem excêntrico, misterioso, enigmático, foi também um estudioso da matemática. É de sua autoria a seguinte frase “se você soubesse a grandeza dos números 3, 6 e 9, teria a chave para o Universo”.
Os números 3, 6 e 9, segundo estudos de Randy Powell, pode ser a chave secreta para obtenção de energia livre na qual Tesla trabalhou e pesquisou durante toda sua vida.
Umas das interessantes propriedades relacionadas ao número 9 é que escolhendo um número qualquer, somando seus algarismos e posteriormente subtraído desse número escolhido, o resultado é um número que é simultaneamente múltiplo de 3 e de 9.
Veja matérias relacionadas, abaixo, para mais detalhes.
Neste estudo são apresentados outras regularidades numéricas relacionadas ao número 9 com números triangulares e números quase potências de base 2 que são números que são as somas de divisores próprios de potências de base 2.
Multiplicando o número 9 pela sequência de números naturais, obtêm-se a sequência de múltiplos de 9.
Os múltiplos de 9 formam uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é 9 e razão 9.
| Tabuada do 9 | ||||
|---|---|---|---|---|
| naturais | Múltiplos | |||
| de 9 | ||||
| 1 | x | 9 | = | 9 |
| 2 | x | 9 | = | 18 |
| 3 | x | 9 | = | 27 |
| 4 | x | 9 | = | 36 |
| 5 | x | 9 | = | 45 |
| 6 | x | 9 | = | 54 |
| 7 | x | 9 | = | 63 |
| 8 | x | 9 | = | 72 |
| 9 | x | 9 | = | 81 |
| 10 | x | 9 | = | 90 |
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A soma de múltiplos de 9 consecutivos têm como resultado o nônuplo de um número triangular.
A soma de múltiplos de 9 consecutivos dividida por 9 tem como resultado um número triangular.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,... são números triangulares.
| Soma de múltiplos de 9 consecutivos | |||
|---|---|---|---|
| n | soma | triangular | |
| 1 | 9 | 9 : 9 | 1 |
| 2 | 9 + 18 | 27 : 9 | 3 |
| 3 | 9 + 18 + 27 | 54 : 9 | 6 |
| 4 | 9 + 18 + 27 + 36 | 90 : 9 | 10 |
| 5 | 9 + 18 + 27 + 36 + 45 | 135 : 9 | 15 |
| 6 | 9 + 18 + 27 + 36 + 45 + 54 | 189 : 9 | 21 |
| 7 | 9 +18 +...+ 54 + 63 | 252 : 9 | 28 |
| 8 | 9 + 18 + 27 +...+ 54 + 63 + 72 | 324 : 9 | 36 |
| 9 | 9 + 18 + 27 ....+ 63 + 72 + 81 | 405 : 9 | 45 |
| 10 | 9 + 18 + 27 +...+ 63 + 72 + 81 + 90 | 495 : 9 | 55 |
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A partir do número 9 e multiplicando-o pela razão 2 e assim sucessivamente a cada produto, forma-se uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 9 e razão 2.
| Progressão Geométrica | |
|---|---|
| primeiro termo 9 | |
| razão 2 | |
| ordem/ | Termos |
| posição | |
| 1º | 9 |
| 2º | 18 |
| 3º | 36 |
| 4º | 72 |
| 5º | 144 |
| 6º | 288 |
| 7º | 576 |
| 8º | 1152 |
| 9º | 2304 |
| 10º | 4608 |
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As somas de termos consecutivos da progressão geométrica cujo primeiro termo é 9 e razão 2 divididas pelo primeiro termo têm como resultados somas de potências de base 2.
Potências de base 2 também são denominadas de Números Quase Perfeitos, pois as somas dos seus divisores próprios é 1 unidade menor que suas próprias potências.
Números que são 1 unidade menor que potências de base 2, neste estudo são denominados de Números Quase Potências de base 2.
Os números 1, 3, 7, 15, 31, são Números Quase Potências de base 2.
| Soma de termos consecutivos | |||
|---|---|---|---|
| Progressão geométrica | |||
| primeiro termo 9 - razão 2 | |||
| números | |||
| quase | |||
| potências | |||
| n | soma | de base 2 | |
| 1 | 9 | 9 : 9 | 1 |
| 2 | 9 +18 | 27 : 9 | 3 |
| 3 | 9 + 18 + 36 | 63 : 9 | 7 |
| 4 | 9 + 18 + 36 + 72 | 135 : 9 | 15 |
| 5 | 9 + 18 + 36 + 72 + 144 | 279 : 9 | 31 |
| 6 | 9 +18 + 36 + 72 + 144 + 288 | 567 : 9 | 63 |
| 7 | 9 +18 + 36+...+ 288 + 576 | 1143 : 9 | 127 |
| 8 | 9 + 18 + 36+...+ 576 + 1152 | 2295 : 9 | 255 |
| 9 | 9 +18 + 36 +...+ 1152 + 2304 | 4599 : 9 | 511 |
| 10 | 9 + 18 + 36 +...+ 2304 + 4608 | 9207 : 9 | 1023 |
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Elevando-se o número 9 a expoentes de números naturais sucessivos, obtêm-se potências de base 9
90= 1
91 = 9
92 = 81
93= 729
94 = 6.561
95 = 59.049
96 = 531.441
97 = 4.782.969
98 = 43.046.721
99 = 387.420.489
910 = 3.486.784.401
Somas potências de base 9 consecutivas.
1
1 + 9 = 10
1 + 9 + 81 = 91
1 + 9 + 81 + 729 = 820
1 + 9 + 81 + 729 + 6561 = 7.381
1 + 9 + 81 + 729 + 6561+ 59049 = 66.430
1 + 9 + 81 + 729 + 6.561+ 59.049 + 531.441 = 597.871
1 + 9 + 81 + 729 + 6.561+ 59.049 + 531.441+ 4.782.969 = 5.380.840
1 + 9 + 81 + 729 + 6.561+ 59.049 + 531.441+ 4.782.969 + 43.046.721= 48.427.561
1 + 9 + 81 + 729 + 6.561+ 59.049 + 531.441+ 4.782.969 + 43.046.721+ 387.420.489 = 435.848.050
1 + 9 + 81 + 729 + 6.561+ 59.049 + 531.441+ 4.782.969 + 43.046.721+ 387.420.489 + 3.486.784.401 = 3.922.632.451
Qual é a soma das 4 primeiras potências de base 9.
1 + 9 + 81 + 729 = 820
Podemos também obter a soma 820 através da seguinte fórmula:
Base 9 elevada ao expoente 4 (indicando os 4 primeiros termos) subtraída 1 unidade e dividida por um número de 1 unidade menor que a base, neste caso o número 8.
| b4 - 1 |
| _____ |
| b - 1 |
| 94 - 1 |
| _____ |
| 9 - 1 |
| 6.561 - 1 |
| _____ |
| 8 |
| 6560 |
| _____ |
| 8 |
Resposta:
| 820 |
Esta e outras novas fórmulas para se saber somas de P.A.s e P.G.s se encontram publicadas no livro digital (e-book) Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs.
Autor: Ricardo Silva - abril/2021
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Nikola_Tesla
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