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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Múltiplos de 9: seus fatores e seus produtos - 113

O presente estudo demonstra regularidades numéricas quando se multiplica o número 9 por um número natural.

Os produtos apresentam em suas formações, as vezes, o próprio algarismo nove e sequências de algarismos que quando somados tem como resultado também 9 e seus múltiplos.

Múltiplos de 9 e múltiplos de 3

Na sequência dos números naturais, a cada dois números há um múltiplo de 3.

Todos os múltiplos de 9 são múltiplos de 3, mas nem todos múltiplos de 3 é um múltiplo de 9.

Escolhendo-se qualquer múltiplo de 3 e somando-se sempre nove unidades, os números resultantes tendem a formar uma linha diagonal.

3, 12, 21

6, 15, 24, 33, 42, 51

 

múltiplos de três

Múltiplos de 9

Na sequência dos números naturais, a cada oito números há um múltiplo de 9.

Todos os múltiplos de 9 são múltiplos de 3.

Escolhendo-se qualquer múltiplo de 9 e somando-se sempre nove unidades, os números resultantes tendem a formar uma linha diagonal.

9, 18, 27, 36

90, 99

múltiplos de nove

Os números 3 e 9 apresentam algumas propriedades em comum:

a) os números aparecem em linhas diagonais quando inscritos em diagramas como mostrados acima;

b) multiplos de 9 também são múltiplos de 3;

Múltiplos de 9 e a soma dos algarismos de um número

O número 9 tem uma particularidade: a soma dos algarismos de de seus múltiplos tem como resultado o próprio número 9 (para as 10 primeiras multiplicações, a soma dos algarismos dos produtos acontecem sequencialmente e tem como resultado o número 9);

A soma dos algarimos dos múltiplos de 9 são números múltiplos e divisíveis tanto por 9 quanto por 3.

9 x 1= 9

9 x 2 = 18 (1 + 8 = 9)

9 x 3 = 27 (2 + 7 = 9)

9 x 4 = 36 (3 + 6 = 9)

9 x 5 = 45 (4 +5 = 9)

9 x 6 = 54 (5+ 4 = 9)

9 x 7 = 63 (6 + 3 + 9)

9 x 8 = 72 (7 + 2 = 9)

9 x 10 = 90 ( 9 + 0 = 9)

11 x 9 = 99 (9 + 9 = 18)

12 x 9 = 108 (1 + 0 + 8 = 9)

20 x 9 = 180 ( 1 + 8 + 0 = 9)

21 x 9 = 189 ( 1 + 8 + 9 = 18)

30 x 9 = 270 ( 2 + 7 + 0 = 9)

31 x 9 = 279 ( 2 + 7 + 9 = 18)

Múltiplos de 9 e fatores com algarismos repetidos

Quando um dos fatores da multiplicação for um número cujo o algarimo 1 se repete, o produto será um número baseado em tantas vezes que o algarismo 1 se repete.

Exemplo 1)

1 x 9 = 9

11 x 9 = 99

111 x 9 = 999

Quando um dos fatores da multiplicação for um número diferente de 1 e cujo o algarismo se repete, o produto será determinado conforme especificações a seguir:

Exemplo 2)

2 x 9 = 18

22 x 9 = 198

no número 22, o algarismo 2 repete duas vezes; os algarismos do número 18 se encontra nos extremos do número 198; é como se estivéssemos escrevendo o número 198 com dois números 9 da seguinte forma: um 9 desmembrado em (1 e 8 nos extremos) e o outro 9 no meio do número 198.

Exemplo 3)

222 x 9 = 1998

no número 222, o algarismo 2 repete três vezes; os algarismos do número 18 se encontra nos extremos do número 1998; é como se estivéssemos escrevendo o número 1998 com três números 9 da seguinte forma: um 9 desmembrado em (1 e 8 nos extremos) e os outros dois 9 no meio do número 1998.

Exemplo 4)

3 x 9 = 27

33 x 9 = 297

333 x 9 = 2997

Exemplo 5)

4 x 9 = 36

44 x 9 = 396

444 x 9 = 3996

Exemplo 6)

5 x 9 = 45

55 x 9 = 495

555 x 9 = 4995

Exemplo 7)

6 x 9 = 54

66 x 9 = 594

666 x 9 = 5994

Exemplo 8)

7 x 9 = 63

77 x 9 = 693

777 x 9 = 6993

Exemplo 9)

8 x 9 = 72

88 x 9 = 792

888 x 9 = 7992

Exemplo 10)

9 x 9 = 81

99 x 9 = 891

999 x 9 = 8991

Múltiplos de 9 e fatores de final 0 (zero)

Quando um dos fatores da multiplicação for um número terminado em 0 (zero):

Exemplo 11)

10 x 9 = 90

1010 x 9 = 9090

101010 x 9 = 909090

20 x 9 = 180

2020 x 9 = 18180

202020 x 9 = 1818180

30 x 9 = 270

3030 x 9 = 27270

303030 x 9 = 2727270

40 x 9 = 360

4040 x 9 = 36360

404040 x 9 = 3636360

Múltiplos de 9 e fatores com algarismos repetidos alternadamente

Quando um dos fatores da multiplicação for um número número cujos algarismos se repetem de forma alternada:

Exemplo 12)

A multiplicação: 2x9=18, o número 18 aparece separados por seus algarismos nos extremos dos produtos a seguir:

12 x 9 = 108

1212 x 9 = 10908

121212 x 9 = 1090908

Exemplo 13)

A multiplicação: 3x9=27, somando-se 1+1=2 e juntando 2 e 7, temos 27.

13 x 9 = 117

1313 x 9 = 11817

131313 x 9 = 1181817

Exemplo 14)

A multiplicação: 4x9=36, somando-se 1+2=3 e juntando 3 e 6, temos 36.

14 x 9 = 126

1414 x 9 = 12726

141414 x 9 = 1272726

Exemplo 15)

A multiplicação: 5x9=45, somando-se 1+3=4 e juntando 4 e 5, temos 45.

15 x 9 = 135

1515 x 9 = 13635

151515 x 9 = 1363635

Múltiplos de 9 e números quadrados perfeitos

Número quadrado perfeito cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 9, quando dividido por 9 tem como quociente um outro número quadrado perfeito.

Número quadrado perfeito 36

soma dos algarismos 3 + 6 = 9

36 : 9 = 4

4 é um número quadrado perfeito

Número quadrado perfeito 81

soma dos algarismos 8 + 1 = 9

81 : 9 = 9

9 é um número quadrado perfeito

Número quadrado perfeito 144

soma dos algarismos 1 + 4 + 4 = 9

144 : 9 = 16

16 é um número quadrado perfeito

Número quadrado perfeito 225

soma dos algarismos 2 + 2 + 5 = 9

225 : 9 = 25

25 é um número quadrado perfeito

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2015

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Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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