O presente estudo demonstra regularidades numéricas quando se multiplica o número 9 por número natural.
Os produtos apresentam em suas formações, às vezes, o próprio algarismo 9 e sequências de algarismos que quando somados tem como resultado também 9 e seus múltiplos.
Na sequência dos números naturais, a cada três números, há um múltiplo de 3.
Todos os múltiplos de 9 são múltiplos de 3, mas nem todo múltiplo de 3 é múltiplo de 9.
Escolhendo-se qualquer múltiplo de 3 e somando-se sempre 9 unidades, os números resultantes tendem a formar uma linha diagonal.
3, 12 e 21.
6, 15, 24, 33, 42 e 51.
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 e 81.
Na sequência dos números naturais, a cada nove números, há um múltiplo de 9.
Todos os múltiplos de 9 são múltiplos de 3.
Escolhendo-se qualquer múltiplo de 9 e somando-se sempre nove unidades, os números resultantes tendem a formar uma linha diagonal.
9, 18, 27, 36, ...
90, 99, ...
Os números 3 e 9 apresentam algumas propriedades em comum:
a) os números aparecem em linhas diagonais quando inscritos em diagramas como mostrados acima;
b) multiplos de 9 também são múltiplos de 3;
c) as somas dos algarismos dos múltiplos são múltiplos de 3
O número 9 tem uma interessante particularidade: a soma de dois algarismos de seus primeiros múltiplos tem como resultado o próprio número 9 a partir do múltiplo 18 até o múltiplo 90.
A soma dos algarismos dos produtos acontecem sequencialmente e tem como resultado o número 9;
A soma dos algarimos dos múltiplos de 9 são números múltiplos e divisíveis tanto por 9 quanto por 3.
9 x 1= 9
9 x 2 = 18 (1 + 8 = 9)
9 x 3 = 27 (2 + 7 = 9)
9 x 4 = 36 (3 + 6 = 9)
9 x 5 = 45 (4 +5 = 9)
9 x 6 = 54 (5+ 4 = 9)
9 x 7 = 63 (6 + 3 + 9)
9 x 8 = 72 (7 + 2 = 9)
9 x 10 = 90 ( 9 + 0 = 9)
11 x 9 = 99 (9 + 9 = 18)
12 x 9 = 108 (1 + 0 + 8 = 9)
20 x 9 = 180 ( 1 + 8 + 0 = 9)
21 x 9 = 189 ( 1 + 8 + 9 = 18)
30 x 9 = 270 ( 2 + 7 + 0 = 9)
31 x 9 = 279 ( 2 + 7 + 9 = 18)
Quando um dos fatores da multiplicação for um número cujo o algarismo 1 se repete, o produto será um número baseado em tantas vezes que o algarismo 1 se repete.
Exemplo 1)
1 x 9 = 9
11 x 9 = 99
111 x 9 = 999
Quando um dos fatores da multiplicação for um número diferente de 1 e cujo o algarismo se repete, o produto será determinado conforme especificações a seguir:
Exemplo 2)
2 x 9 = 18
22 x 9 = 198
No número 22, o algarismo 2 repete duas vezes; os algarismos do número 18 se encontra nos extremos do número 198; é como se estivéssemos escrevendo o número 198 com dois números 9 da seguinte forma: um 9 desmembrado em (1 e 8 nos extremos) e o outro 9 no meio do número 198.
Exemplo 3)
222 x 9 = 1998
No número 222, o algarismo 2 repete três vezes; os algarismos do número 18 se encontra nos extremos do número 1998; é como se estivéssemos escrevendo o número 1998 com três números 9 da seguinte forma: um 9 desmembrado em (1 e 8 nos extremos) e os outros dois 9 no meio do número 1998.
Exemplo 4)
3 x 9 = 27
33 x 9 = 297
333 x 9 = 2997
Exemplo 5)
4 x 9 = 36
44 x 9 = 396
444 x 9 = 3996
Exemplo 6)
5 x 9 = 45
55 x 9 = 495
555 x 9 = 4995
Exemplo 7)
6 x 9 = 54
66 x 9 = 594
666 x 9 = 5994
Exemplo 8)
7 x 9 = 63
77 x 9 = 693
777 x 9 = 6993
Exemplo 9)
8 x 9 = 72
88 x 9 = 792
888 x 9 = 7992
Exemplo 10)
9 x 9 = 81
99 x 9 = 891
999 x 9 = 8991
Quando um dos fatores da multiplicação for um número terminado em 0 (zero):
Exemplo 11)
10 x 9 = 90
1010 x 9 = 9090
101010 x 9 = 909090
20 x 9 = 180
2020 x 9 = 18180
202020 x 9 = 1818180
30 x 9 = 270
3030 x 9 = 27270
303030 x 9 = 2727270
40 x 9 = 360
4040 x 9 = 36360
404040 x 9 = 3636360
Quando um dos fatores da multiplicação for um número número cujos algarismos se repetem de forma alternada:
Exemplo 12)
A multiplicação: 2 x 9 = 18, o número 18 aparece separados por seus algarismos nos extremos dos produtos a seguir:
12 x 9 = 108
1212 x 9 = 10908
121212 x 9 = 1090908
Exemplo 13)
A multiplicação: 3 x 9 = 27, somando-se 1 + 1 = 2 e juntando 2 e 7, temos 27.
13 x 9 = 117
1313 x 9 = 11817
131313 x 9 = 1181817
Exemplo 14)
A multiplicação: 4 x 9 = 36, somando-se 1 + 2 = 3 e juntando 3 e 6, temos 36.
14 x 9 = 126
1414 x 9 = 12726
141414 x 9 = 1272726
Exemplo 15)
A multiplicação: 5 x 9 = 45, somando-se 1 + 3 = 4 e juntando 4 e 5, temos 45.
15 x 9 = 135
1515 x 9 = 13635
151515 x 9 = 1363635
Número quadrado perfeito cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 9, quando dividido por 9 tem como quociente um outro número quadrado perfeito.
soma dos algarismos 3 + 6 = 9
36 : 9 = 4
4 é um número quadrado perfeito
soma dos algarismos 8 + 1 = 9
81 : 9 = 9
9 é um número quadrado perfeito
soma dos algarismos 1 + 4 + 4 = 9
144 : 9 = 16
16 é um número quadrado perfeito
soma dos algarismos 2 + 2 + 5 = 9
225 : 9 = 25
25 é um número quadrado perfeito
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2015
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