O Quadrado Mágico 9x9 ou de ordem 9 Normal ou Puro tem como formação a progressão aritmética finita constituída pelos 81 primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..., 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81) ou 1 a n2, tendo como Constante Mágica 369 e soma de todos os números 3.321.
Quadrado Mágico 9x9 é um quadrado quadriculado formado por 9 linhas e 9 colunas perfazendo um total de 81 células.
Há vários métodos de construções de Quadrados Mágicos de ordem ímpar.
O Método da "Pirâmide"[1] Yang Hui [2] é uma técnica bem simples e prática, consistindo das seguintes etapas:
a) construir um quadriculado base de 17x17 (289 células);
b) construir o quadrado principal de 9x9 (81 células);
c) a partir da linha horizontal central e do lado esquerdo do quadrado maior, começar numerando com o número 1 em sentido diagonal até 9, depois de 10 a 18, de 19 a 27, 28 a 36, 37 a 45, 46 a a 54, 55 a 63, 64 a 72 e finalmente de 73 a 81;
d) alguns números ficam de fora (números coloridos) e outros ficam dentro do quadrado principal;
e) deslocar os números (na cor verde) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado direito;
f) deslocar os números (na cor vermelho) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado esquerdo;
g) deslocar os números (na cor azul escuro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte inferior;
g) deslocar os números (na cor azul claro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte superior;
h) após montado o quadrado mágico, a diagonal principal (da esquerda superior para a direita inferior) apresenta uma sequência consecutiva de números: 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 e 45.
O Quadrado Mágico de ordem 9 tem como Constante Mágica 369 e soma de todos os números 3.321 e apresenta outras propriedades numéricas:
a) o sub-quadrado 3x3 central tem como resultado a Constante Mágica 369;
| Quadrado Mágico 9x9 | |||||||||
| constante mágica 369 | |||||||||
| 369 | |||||||||
| 37 | 6 | 47 | 16 | 57 | 26 | 67 | 36 | 77 | 369 |
| 78 | 38 | 7 | 48 | 17 | 58 | 27 | 68 | 28 | 369 |
| 29 | 79 | 39 | 8 | 49 | 18 | 59 | 19 | 69 | 369 |
| 70 | 30 | 80 | 40 | 9 | 50 | 10 | 60 | 20 | 369 |
| 21 | 71 | 31 | 81 | 41 | 1 | 51 | 11 | 61 | 369 |
| 62 | 22 | 72 | 32 | 73 | 42 | 2 | 52 | 12 | 369 |
| 13 | 63 | 23 | 64 | 33 | 74 | 43 | 3 | 53 | 369 |
| 54 | 14 | 55 | 24 | 65 | 34 | 75 | 44 | 4 | 369 |
| 5 | 46 | 15 | 56 | 25 | 66 | 35 | 76 | 45 | 369 |
| 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||||||
b) a "cruz" central mais quatro números tem como resultado a Constante Mágica 369;
1 + 9 + 41 + 73 + 81 = 205
205 + 39 + 43 + 55 + 59 = 369
| 369 | |||||||||
| 37 | 6 | 47 | 16 | 57 | 26 | 67 | 36 | 77 | 369 |
| 78 | 38 | 7 | 48 | 17 | 58 | 27 | 68 | 28 | 369 |
| 29 | 79 | 39 | 8 | 49 | 18 | 59 | 19 | 69 | 369 |
| 70 | 30 | 80 | 40 | 9 | 50 | 10 | 60 | 20 | 369 |
| 21 | 71 | 31 | 81 | 41 | 1 | 51 | 11 | 61 | 369 |
| 62 | 22 | 72 | 32 | 73 | 42 | 2 | 52 | 12 | 369 |
| 13 | 63 | 23 | 64 | 33 | 74 | 43 | 3 | 53 | 369 |
| 54 | 14 | 55 | 24 | 65 | 34 | 75 | 44 | 4 | 369 |
| 5 | 46 | 15 | 56 | 25 | 66 | 35 | 76 | 45 | 369 |
| 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 |
c) cada sub-quadrado 3x3 em cada quadrante tem como resultado a Constante Mágica 369;
| 369 | |||||||||
| 37 | 6 | 47 | 16 | 57 | 26 | 67 | 36 | 77 | 369 |
| 78 | 38 | 7 | 48 | 17 | 58 | 27 | 68 | 28 | 369 |
| 29 | 79 | 39 | 8 | 49 | 18 | 59 | 19 | 69 | 369 |
| 70 | 30 | 80 | 40 | 9 | 50 | 10 | 60 | 20 | 369 |
| 21 | 71 | 31 | 81 | 41 | 1 | 51 | 11 | 61 | 369 |
| 62 | 22 | 72 | 32 | 73 | 42 | 2 | 52 | 12 | 369 |
| 13 | 63 | 23 | 64 | 33 | 74 | 43 | 3 | 53 | 369 |
| 54 | 14 | 55 | 24 | 65 | 34 | 75 | 44 | 4 | 369 |
| 5 | 46 | 15 | 56 | 25 | 66 | 35 | 76 | 45 | 369 |
| 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 | 369 |
Elevando-se os números de 1 a 81 do Quadrado Mágico de ordem 9 ao quadrado, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito com as seguintes características:
Excluindo-se as diagonais e linhas centrais, as demais linhas formando duplas apresentam os mesmos resultados.
Elevando-se os números de 1 a 81 do Quadrado Mágico 9x9 ao cubo, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito em que a soma de cada linha, cada coluna bem como as diagonais apresentam resultados diferentes.
No livro Sequências Numéricas Magicas [3] estão publicados vários estudos sobre relações numéricas entre figuras geométricas, números figurados, números naturais, números quadrados perfeitos, números cúbicos, etc.
Nos estudos, os números naturais são dispostos sequencialmente dentro de quadrados 3x3, 4x4, 5x5, 6x6 apresentando outras propriedades numéricas.
Propriedades numéricas do Quadrado Natural 9x9 com números consecutivos.
| Quadrado Natural 9x9 | |||||||||
| (números consecutivos) | |||||||||
| 369 | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 45 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 126 |
| 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 207 |
| 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 288 |
| 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 369 |
| 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 450 |
| 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 531 |
| 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 612 |
| 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 693 |
| 333 | 342 | 351 | 360 | 369 | 378 | 387 | 396 | 405 | 369 |
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a) as diagonais tem como resultado a Constante Mágica 369;
b) a coluna e linha centrais têm como resultado a Constante Mágica 369
c) a soma de cada linha horizontal é múltiplo de 9;
d) a soma de cada linha vertical é múltiplo de 9;
e) a soma de todos os números do quadrado tem como resultado a Soma Mágica 3.321.
9 x 369 = 3.321
Estudos divulgados no WebSite:
https://mestredoconhecimento.forumeiros.com
apresenta um Quadrado Mágico 9x9 Puro convertido em raízes digitais e algumas de suas propriedades, datado de 16/02/2017.
Para mais informações, veja:
011-estudos-488-quadrados-magicos-raizes-digitais
Autor: Ricardo Silva - julho/2018
atualizado - abril/2024
[1] COSTA, Olandino. A Matemática Recreativa no Ensino Básico /Olandino da Costa. - 2014. 87 p. Dissertação (mestrado) - Universidade do Minho - Portugal
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square
[3] SILVA, Ricardo José da. Sequências Numéricas Mágicas, São Paulo livro digital, 2013
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