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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 9x9 - 197

O Quadrado Mágico 9x9 ou de ordem 9 Normal ou Puro tem como formação a progressão aritmética finita constituída pelos 81 primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..., 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81) ou 1 a n2, tendo como Constante Mágica 369 e soma de todos os números 3.321.

Quadrado Mágico 9x9 é um quadrado quadriculado formado por 9 linhas e 9 colunas perfazendo um total de 81 células.

Quadrado Mágico 9x9 e o Método de Construção Yang Hui "Pirâmide"

Há vários métodos de construção de Quadrados Mágicos de ordem ímpar.

O Método da "Pirâmide"[1] Yang Hui [2] é uma técnica bem simples e prática, consistindo das seguintes etapas:

a) construir um quadriculado base de 17x17 (289 células);

b) construir o quadrado principal de 9x9 (81 células);

c) a partir da linha horizontal central e do lado esquerdo do quadrado maior, começar numerando com o número 1 em sentido diagonal até 9, depois de 10 a 18, de 19 a 27, 28 a 36, 37 a 45, 46 a a 54, 55 a 63, 64 a 72 e finalmente de 73 a 81;

d) alguns números ficam de fora (números coloridos) e outros ficam dentro do quadrado principal;

quadrado mágico de ordem 9 - método de construção Pirâmide

e) deslocar os números (na cor verde) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado direito;

f) deslocar os números (na cor vermelho) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado esquerdo;

g) deslocar os números (na cor azul escuro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte inferior;

g) deslocar os números (na cor azul claro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte superior;

h) após montado o quadrado mágico, a diagonal principal (da esquerda superior para a direita inferior) apresenta uma sequência consecutiva de números: 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 e 45.

quadrado mágico 9x9 - método de construção Pirâmide

Quadrado Mágico 9x9 e propriedades numéricas

O Quadrado Mágico de ordem 9 tem como Constante Mágica 369 e soma de todos os números 3.321 e apresenta outras propriedades numéricas:

quadrados mágicos 9x9 e propriedades numéricas

a) o sub-quadrado 3x3 central tem como resultado a Constante Mágica 369;

Quadrado Mágico 9x9 - constante mágica 369
369
37 6 47 16 57 26 67 36 77 369
78 38 7 48 17 58 27 68 28 369
29 79 39 8 49 18 59 19 69 369
70 30 80 40 9 50 10 60 20 369
21 71 31 81 41 1 51 11 61 369
62 22 72 32 73 42 2 52 12 369
13 63 23 64 33 74 43 3 53 369
54 14 55 24 65 34 75 44 4 369
5 46 15 56 25 66 35 76 45 369
369 369 369 369 369 369 369 369 369 369

b) a "cruz" central mais quatro números tem como resultado a Constante Mágica 369;

1 + 9 + 41 + 73 + 81 = 205

205 + 39 + 43 + 55 + 59 = 369

369
37 6 47 16 57 26 67 36 77 369
78 38 7 48 17 58 27 68 28 369
29 79 39 8 49 18 59 19 69 369
70 30 80 40 9 50 10 60 20 369
21 71 31 81 41 1 51 11 61 369
62 22 72 32 73 42 2 52 12 369
13 63 23 64 33 74 43 3 53 369
54 14 55 24 65 34 75 44 4 369
5 46 15 56 25 66 35 76 45 369
369 369 369 369 369 369 369 369 369 369

c) cada sub-quadrado 3x3 em cada quadrante tem como resultado a Constante Mágica 369;

369
37 6 47 16 57 26 67 36 77 369
78 38 7 48 17 58 27 68 28 369
29 79 39 8 49 18 59 19 69 369
70 30 80 40 9 50 10 60 20 369
21 71 31 81 41 1 51 11 61 369
62 22 72 32 73 42 2 52 12 369
13 63 23 64 33 74 43 3 53 369
54 14 55 24 65 34 75 44 4 369
5 46 15 56 25 66 35 76 45 369
369 369 369 369 369 369 369 369 369 369

Quadrado Mágico 9x9 e números quadrados perfeitos

Evelando-se os números de 1 a 81 do Quadrado Mágico de ordem 9 ao quadrado, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito com as seguintes características:

Excluindo-se as diagonais e linhas centrais, as demais linhas formando duplas apresentam os mesmos resultados.

quadrados mágicos 9x9 e números quadrados perfeitos

Quadrado Mágico 9x9 e números cúbicos

Evelando-se os números de 1 a 81 do Quadrado Mágico 9x9 ao cubo, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito em que a soma de cada linha, cada coluna bem como as diagonais apresentam resultados diferentes.

quadrados mágicos 9x9 e números cúbicos

O Quadrado Mágico 9x9 e números consecutivos

No livro Sequências Numéricas Magicas [3] estão publicados vários estudos sobre relações numéricas entre figuras geométricas, números figurados, naturais, quadrados, cúbicos, etc.

Nos estudos, os números naturais são dispostos sequencialmente dentro de quadrados 3x3, 4x4, 5x5, 6x6 apresentando outras propriedades numéricas.

Propriedades numéricas do quadrado 9x9 com números consecutivos.

Quadrado Mágico 9x9 - números consecutivos
369
1 2 3 4 5 6 7 8 9 45
10 11 12 13 14 15 16 17 18 126
19 20 21 22 23 24 25 26 27 207
28 29 30 31 32 33 34 35 36 288
37 38 39 40 41 42 43 44 45 369
46 47 48 49 50 51 52 53 54 450
55 56 57 58 59 60 61 62 63 531
64 65 66 67 68 69 70 71 72 612
73 74 75 76 77 78 79 80 81 693
333 342 351 360 369 378 387 396 405 369

a) as diagonais tem como resultado a Constante Mágica 369;

b) a coluna e linha centrais têm como resultado a Constante Mágica 369

c) a soma de cada linha horizontal é múltiplo de 9;

d) a soma de cada linha vertical é múltiplo de 9;

e) a soma de todos os números do quadrado tem como resultado a Soma Mágica 3.321.

9 x 369 = 3.321

Autor: Ricardo Silva julho/2018

Fontes Bibliográficas:

[1] Costa, Olandino. A Matemática Recreativa no Ensino Básico /Olandino da Costa. - 2014. 87 p. Dissertação (mestrado) - Universidade do Minho - Portugal

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square

[3] Silva, Ricardo José da. Sequências Numéricas Mágicas - livro digital - São Paulo, 2013

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QUADRADOS MÁGICOS E SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS


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