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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 - 182

Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 é um conjunto de 3 quadrados mágicos 3x3 formados a partir de progressões aritméticas com Ternos Pitagóricos Primitivos e seus ternos derivados.

Ternos Pitagóricos podem ser formados através das Fórmulas de Euclides:

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico

As Fórmulas de Euclides, conforme estudos publicados no livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, não geram todas as sequências de ternos pitagóricos derivados.

Analizando os Quadrados Mágicos Pitagóricos de Royal Vale Heath em que cada Quadrado Mágico é formado por sequência numérica distinta e que os conjuntos formam ternos pitagóricos, entre eles, há ternos pitágoricos ímpares que também não são formados pelas Fórmulas de Euclides.

O terno primitivo 3, 4 e 5 é a base dos Quadrados Mágicos Pitagóricos 3x3 de Royal Vale Heath.

Os ternos derivados são múltiplos de cada um dos termos do terno primitivo.

3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
quadrados mágicos pitagóricos 3x3 - ternos 3-4-5 - Royal Vale Heath

Fonte: HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

Os ternos pitagóricos quando gerados sequencialmente pelas Fórmulas de Euclides formam o dobro, do dobro, do dobro...e assim sucessivamente de um terno primitivo.

Ternos pitagóricos derivados formados por progressões aritméticas a partir de ternos primitivos geram sequencialmente ternos derivados ímpares e pares.

Todo terno pitagórico primitivo de ordem triangular tem como primeiro terno um número ímpar e o segundo e terceiro termos números consecutivos que somados formam o quadrado do primeiro termo.

Fonte: Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas

Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 (terno 5, 12 e 13)

Quadrados Mágicos 3x3 podem ser formados a partir do terno pitagórico primitivos 5, 12 e 13:

a) 5 é o primeiro termo;

b) 12 é o segundo termo;

c) 13 é o terceiro termo;

d) 12 + 13 = 25

e) 25 é a soma de dois números consecutivos;

f) 25 é o quadrado de 5.

quadrados mágicos pitagóricos 3x3 - ternos-5-12-13

Sequências aritméticas do terno 5, 12 e 13

Sequências aritméticas com 9 termos formadas a partir do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 5, 12 e 13 para produzir Quadrados Mágicos Pitagóricos.

5 10 15 20 25 30 35 40 45
12 24 36 48 60 72 84 96 108
13 26 39 52 65 78 91 104 117

Quadrado Mágico 3x3 com o termo 5

Quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 75
75
 
20 45 10 75
15 25 35 75
40 5 30 75
 
75 75 75 75

Constante Mágia: 75

Soma dos termos da PA: 225

Quadrado Mágico 3x3 com o termo 12

Quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 180
180
 
48 108 24 180
36 60 84 180
96 12 72 180
 
180 180 180 180

Constante Mágica: 180

Soma de todos os termos: 540

Quadrado Mágico 3x3 com o termo 13

Quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 195
195
 
52 117 26 195
39 65 91 195
104 13 78 195
 
195 195 195 195

Constante Mágica: 195

Soma dos termos da PA: 585

Cálculos com o Teorema de Pitágoras - Constantes Mágicas

752 + 1802 = 1952

5.625 + 32.400 = 38.025

Cálculos com o Teorema de Pitágoras - Soma dos termos da PA

2252 + 5402 = 5852

50.625 + 291.600 = 342.225

Vemos que as Constantes Mágicas e Soma dos Termos da PA dos quadrados estão relacionadas com o Teorema de Pitágoras assim como cada termo subsequente das sequências aritméticas formando ternos também estão.

Podem ser construídos infinitos Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 seguindo os exemplos aqui apresentados.

E um grande desafio está lançado desde 1996...

Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers? This short question asked by Martin LaBar in 1984 became famous when Martin Gardner republished it in 1996 and offered $100 to the first person to construct such a square. Two years later, Gardner wrote:

So far no one has come forward with a “square of squares” – but no one has proved its impossibility either. If it exists, its numbers would be huge, perhaps beyond the reach of today’s fastest computers.

 

Fonte: http://www.multimagie.com

 

Pode um quadrado mágico de 3x3 ser construído com nove números quadrados distintos? Esta pequena pergunta feita por Martin LaBar em 1984 tornou-se famosa quando Martin Gardner a republicou em 1996 e ofereceu US$ 100 para a primeira pessoa a construir tal quadrado. Dois anos depois, Gardner escreveu:

Até agora ninguém avançou com um “quadrado de quadrados” - mas ninguém provou sua impossibilidade. Se existir, seus números seriam enormes, talvez além do alcance dos computadores mais rápidos de hoje.

Autor: Ricardo Silva - junho/2018

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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