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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 - 182

Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 é um conjunto de 3 quadrados mágicos 3x3 formados a partir de progressões aritméticas com Ternos Pitagóricos Primitivos e seus ternos derivados.

Ternos Pitagóricos podem ser formados através das Fórmulas de Euclides:

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m > n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2.m.n

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico

As Fórmulas de Euclides, conforme estudos publicados no livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, não geram todas as sequências de ternos pitagóricos derivados.

Analisando os Quadrados Mágicos Pitagóricos de Royal Vale Heath em que cada Quadrado Mágico é formado por sequência numérica distinta e que os conjuntos formam ternos pitagóricos, entre eles, há ternos pitagóricos ímpares que também não são formados pelas Fórmulas de Euclides.

O terno primitivo 3, 4 e 5 é a base dos Quadrados Mágicos Pitagóricos 3x3 de Royal Vale Heath.

Os ternos derivados são múltiplos de cada um dos termos do terno primitivo 3-4-5.

Terno Pitagórico Primitivo

3	4	5

Ternos Pitagóricos Derivados

6	8	10

9	12	15

12	16	20

15	20	25

18	24	30

21	28	35

24	32	40

27	36	45

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quadrados mágicos pitagóricos 3x3 - ternos 3-4-5 - Royal Vale Heath

Fonte: HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

Os ternos pitagóricos quando gerados sequencialmente pelas Fórmulas de Euclides formam o dobro, do dobro, do dobro... e assim sucessivamente de um terno primitivo.

Ternos pitagóricos derivados formados por progressões aritméticas a partir de ternos primitivos geram sequencialmente ternos derivados ímpares e pares.

Todo terno pitagórico primitivo de ordem triangular tem como primeiro terno um número ímpar e o segundo e terceiro termos números consecutivos que somados formam o número quadrado perfeito do primeiro termo.

Fonte: Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas

Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 (terno 5, 12 e 13)

Quadrados Mágicos 3x3 podem ser formados a partir do terno pitagórico primitivos 5, 12 e 13:

a) 5 é o primeiro termo;

b) 12 é o segundo termo;

c) 13 é o terceiro termo;

d) 12 + 13 = 25

e) 25 é a soma de dois números consecutivos;

f) 25 é o quadrado de 5.

quadrados mágicos pitagóricos 3x3 - ternos-5-12-13

Sequências aritméticas do terno 5, 12 e 13

Sequências aritméticas com 9 termos formadas a partir do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 5, 12 e 13 para produzir Quadrados Mágicos Pitagóricos.

Terno Pitagórico Primitivo

5	12	13

Ternos Pitagóricos Derivados

10	24	26

15	36	39

20	48	52

25	60	65

30	72	78

35	84	91

40	96	104

45	108	117

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Quadrado Mágico 3x3 com o termo 5

Quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3
constante mágica 75
			75

20	45	10	75
15	25	35	75
40	5	30	75

75	75	75	75

Constante Mágia: 75

Soma dos termos da PA: 225

Quadrado Mágico 3x3 com o termo 12

Quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3
constante mágica 180
			180

48	108	24	180
36	60	84	180
96	12	72	180

180	180	180	180

Constante Mágica: 180

Soma de todos os termos: 540

Quadrado Mágico 3x3 com o termo 13

Quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3
constante mágica 195
			195

52	117	26	195
39	65	91	195
104	13	78	195

195	195	195	195

Constante Mágica: 195

Soma dos termos da PA: 585

Cálculos com o Teorema de Pitágoras - Constantes Mágicas

75² + 180² = 195²

5.625 + 32.400 = 38.025

Cálculos com o Teorema de Pitágoras - Soma dos termos da PA

225² + 540² = 585²

50.625 + 291.600 = 342.225

Vemos que as Constantes Mágicas e Soma dos Termos da P.A. (progressão aritmética) dos quadrados estão relacionadas com o Teorema de Pitágoras assim como cada termo subsequente das sequências aritméticas formando ternos também estão.

Podem ser construídos infinitos Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 seguindo os exemplos aqui apresentados.

E um grande desafio está lançado desde 1996...

Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers? This short question asked by Martin LaBar in 1984 became famous when Martin Gardner republished it in 1996 and offered $100 to the first person to construct such a square. Two years later, Gardner wrote:

So far no one has come forward with a “square of squares” – but no one has proved its impossibility either. If it exists, its numbers would be huge, perhaps beyond the reach of today’s fastest computers.

Fonte: http://www.multimagie.com

Pode um quadrado mágico de 3x3 ser construído com nove números quadrados distintos? Esta pequena pergunta feita por Martin LaBar em 1984 tornou-se famosa quando Martin Gardner a republicou em 1996 e ofereceu US$ 100 para a primeira pessoa a construir tal quadrado. Dois anos depois, Gardner escreveu:

Até agora ninguém avançou com um “quadrado de quadrados” - mas ninguém provou sua impossibilidade. Se existir, seus números seriam enormes, talvez além do alcance dos computadores mais rápidos de hoje.

Autor: Ricardo Silva - junho/2018