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Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 - 182

Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 é um conjunto de 3 quadrados mágicos 3x3 formados a partir de progressões aritméticas com Ternos Pitagóricos Primitivos e seus ternos derivados.

Ternos Pitagóricos podem ser formados através das Fórmulas de Euclides:

Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

é pitagórico, e é primitivo se e só se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico

As Fórmulas de Euclides, conforme estudos publicado no livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas, não geram toda a sequência de ternos pitagóricos derivados.

Analizando os Quadrados Mágicos Pitagóricos de Royal Vale Heath em que cada Quadrado Mágico é formado por sequência numérica distinta e que os conjuntos formam ternos pitagóricos, entre eles, há ternos pitágoricos ímpares que também não são formados pelas Fórmulas de Euclides.

O terno primitivo 3, 4 e 5 é a base dos Quadrados Mágicos Pitagóricos 3x3 de Royal Vale Heath.

Os ternos derivados são múltiplos de cada um dos termos do terno primitivo.

3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
quadrados mágicos pitagóricos 3x3 - ternos 3-4-5 - Royal Vale Heath

Fonte: HEATH, Royal Vale. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.

Os ternos pitagóricos quando gerados sequencialmente pelas Fórmulas de Euclides formam o dobro, do dobro, do dobro...e assim sucessivamente de um terno primitivo.

Ternos pitagóricos derivados formados por progressões aritméticas a partir de ternos primitivos geram sequencialmente ternos derivados ímpares e pares.

Todo terno pitagórico primitivo de ordem triangular tem como primeiro terno um número ímpar e o segundo e terceiro termos números consecutivos que somados formam o quadrado do primeiro termo.

Fonte: Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas

Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 (terno 5, 12 e 13)

Quadrados Mágicos 3x3 podem ser formados a partir do terno pitagórico primitivos 5, 12 e 13:

a) 5 é o primeiro termo;

b) 12 é o segundo termo;

c) 13 é o terceiro termo;

d) 12 + 13 = 25

e) 25 é a soma de dois números consecutivos;

f) 25 é o quadrado de 5.

quadrados mágicos pitagóricos 3x3 - ternos-5-12-13

Sequências aritméticas do terno 5, 12 e 13

Sequências aritméticas com 9 termos formadas a partir do Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular 5, 12 e 13 para produzir Quadrados Mágicos Pitagóricos.

5 10 15 20 25 30 35 40 45
12 24 36 48 60 72 84 96 108
13 26 39 52 65 78 91 104 117

Quadrado Mágico 3x3 com o termo 5

Quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 75
75
 
20 45 10 75
15 25 35 75
40 5 30 75
 
75 75 75 75

Constante Mágia: 75

Soma dos termos da PA: 225

Quadrado Mágico 3x3 com o termo 12

Quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 180
180
 
48 108 24 180
36 60 84 180
96 12 72 180
 
180 180 180 180

Constante Mágica: 180

Soma de todos os termos: 540

Quadrado Mágico 3x3 com o termo 13

Quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu.

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 195
195
 
52 117 26 195
39 65 91 195
104 13 78 195
 
195 195 195 195

Constante Mágica: 195

Soma dos termos da PA: 585

Cálculos com o Teorema de Pitágoras - Constantes Mágicas

752 + 1802 = 1952

5.625 + 32.400 = 38.025

Cálculos com o Teorema de Pitágoras - Soma dos termos da PA

2252 + 5402 = 5852

50.625 + 291.600 = 342.225

Vemos que as Constantes Mágicas e Soma dos Termos da PA dos quadrados estão relacionadas com o Teorema de Pitágoras assim como cada termo subsequente das sequências aritméticas formando ternos também estão.

Podem ser construídos infinitos Quadrados Mágicos Pitagóricos Perfeitos 3x3 seguindo os exemplos aqui apresentados.

E um grande desafio está lançado desde 1996...

Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers? This short question asked by Martin LaBar in 1984 became famous when Martin Gardner republished it in 1996 and offered $100 to the first person to construct such a square. Two years later, Gardner wrote:

So far no one has come forward with a “square of squares” – but no one has proved its impossibility either. If it exists, its numbers would be huge, perhaps beyond the reach of today’s fastest computers.

Fonte: http://www.multimagie.com

Pode um quadrado mágico de 3x3 ser construído com nove números quadrados distintos? Esta pequena pergunta feita por Martin LaBar em 1984 tornou-se famosa quando Martin Gardner a republicou em 1996 e ofereceu US$ 100 para a primeira pessoa a construir tal quadrado. Dois anos depois, Gardner escreveu:

Até agora ninguém avançou com um “quadrado de quadrados” - mas ninguém provou sua impossibilidade. Se existir, seus números seriam enormes, talvez além do alcance dos computadores mais rápidos de hoje.

Autor: Ricardo Silva - junho/2018

Fonte Bibliográfica:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

 

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