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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos de ordens 3, 4 e 5 e números quadrados perfeitos

Quadrado Mágico é um dispositivo númérico vérsatil, instigador, cativante e desafiador. Seja ele construído da forma mais simples ou da forma mais complexa, ele tem revelado estruturas e propriedades lógicas e matemáticas que vem despertanto o interesse de grandes matemáticos, estudiosos, especialistas e o público em geral ao longo do tempo.

Nos dias de hoje, há uma vasta literatura téorica, bem como textos de matemática recreativa falando sobre Quadrados Mágicos.

No site: http://www.magic-squares.net/bibliography.htm, do Sr. Harvey Heinz (1930-2013), canadense, especialista em Quadrados Mágicos, está catalogado:

35 livros específicos - dos anos 1900 em diante;

47 capítulos/seções publicados em livros;

67 artigos publicados em periódicos;

8 artigos na Recreational Mathematics Magazine;

mais de 150 artigos no Journal of Recreational Mathematics.

Números Quadrados Perfeitos

Número Quadrado Perfeito é um número inteiro que pode ser escrito como um quadrado de outro número inteiro.

Pode ser obtido pela multiplicação de um número por ele mesmo:

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

Pode ser obtido elevando-se um número à potência 2:

12 = 1

22 = 4

32 = 9

A partir de qualquer número e qualquer razão pode-se formar progressão aritmética finita ou infinita.

Quadrados Mágicos são formados especificamente por progressões aritméticas finitas.

Escolhendo-se um número quadrado perfeito como termo central de uma progressão aritmética finita e complementando os ternos anteriores e posteriores referente a quantidades de células do Quadrado Mágico tanto a Costante Mágica como a Soma dos Termos também estão associados este número quadrado escolhido.

Neste estudo veremos as relações de Quadrados Mágicos com números quadrados perfeitos.

Quadrado Mágico 3x3 e números quadrados perfeitos

Quadrados Mágicos 3x3 ou de ordem 3 podem ter os seus termos centrais a sequência de números quadrados perfeitos a partir de 9 (9, 16, 25, 36, 49, 64, ...) formados tanto por quadrados ímpares quanto pares.

As Somas dos Termos de uma PA resultantes são números quadrados perfeitos.

Todo Quadrado Mágico 3x3 ou de ordem 3 cujo termo central é um número quadrado perfeito tem como resultado a Soma dos Termos da PA um número quadrado perfeito.

Quadrado Mágico 3x3 com termo central 9

1) escolhe-se um número quadrado, no exemplo, o quadrado 9;

2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 9 termos;

Progessão Aritmética de 5 a 13
9
8 10
7 11
6 12
5 13

3) constrói-se o quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu;

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 27
27
 
8 13 6 27
7 9 11 27
12 5 10 27
 
27 27 27 27

Como resultados temos:

a) Constante Mágica: 27

27 é produto de 3 por 9

27 é o cubo de 3

b) Soma dos Termos da Progressão Aritmética: 81

81 é quadrado de 9

9 é produto de 3 por 3 (3 é raiz quadrada de 9)

Quadrado Mágico 3x3 com termo central 16

1) escolhe-se um número quadrado, no exemplo, o quadrado 16;

2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 9 termos;

Progessão Aritmética de 12 a 20
16
15 17
14 18
13 19
12 20

3) constrói-se o quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu;

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 48
48
 
15 20 13 48
14 16 18 48
19 12 17 48
 
48 48 48 48

Como resultados temos:

a) Constante Mágica: 48

48 é produto de 3 por 16

b) Soma Termos da Progressão Aritmética: 144

144 é produto de 3 por 48

144 é quadrado de 12

12 é produto de 3 por 4 (4 é a raiz quadrada de 16)

Quadrado Mágico 3x3 com termo central 25

1) escolhe-se um número quadrado, no exemplo, o quadrado 25;

2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 9 termos;

Progessão Aritmética de 21 a 29
25
24 26
23 27
22 28
21 29

3) constrói-se o quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu;

Quadrado Mágico 3x3 - constante mágica 75
75
 
24 29 22 75
23 25 27 75
28 21 26 75
 
75 75 75 75

Como resultados temos:

a) Constante Mágica: 75

75 é produto de 3 por 25

b) Soma Termos da Progressão Aritmética: 225

225 é produto de 3 por 75

225 é quadrado de 15

15 é produto de 3 por 5 (5 é a raiz quadrada de 25)

Quadrado Mágico 4x4 e números quadrados perfeitos

Quadrados Mágicos de ordem 4 cuja soma de dois termos centrais da progressão aritmética seja um quadrado perfeito ímpar, o resultado da Soma dos Termos é o dobro de um quadrado perfeito.

A soma de dois termos centrais de determinada progressão aritmética para formar Quadrado Mágico 4x4 geram sempre quadrado perfeitos ímpares.

Observação importante: diferentemente dos Quadrados Mágicos de ordem 3 e 5, Quadrado Mágico de ordem 4 não gera Soma dos Termos número quadrado perfeito e sim o dobro de um número quadrado perfeito.

Quadrado Mágico 4x4 com a soma dos termos centrais 25

1) forma-se a sequência aritmética, no exemplo, a soma de dois termos centrais é o quadrado 25;

2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 16 termos;

Progessão Aritmética de 5 a 20
12 13
11 14
10 15
9 16
8 17
7 18
6 19
5 20

3) constrói-se o quadrado 4x4, conforme a configuração abaixo,

invertendo-se as posições dos números das diagonais;

Quadrado Mágico 4x4 - constante mágica 50
50
 
20 6 7 17 50
9 15 14 12 50
13 11 10 16 50
8 18 19 5 50
 
50 50 50 50 50

Como resultados temos:

a) Constante Mágica: 50

50 é o dobro do quadrado 25

b) Soma Termos da Progressão Aritmética: 200

200 é o dobro do quadrado perfeito 100

10 é raiz quadrada de 100 (10 é o dobro da raiz quadrada da soma de dois ternos centrais das diagonais ou dois termos dos extremos das diagonais do Quadrado Mágico 4x4).

Quadrado Mágico 4x4 com soma dos termos centrais 49

1) forma-se a sequência aritmética, no exemplo, a soma de dois termos centrais é o quadrado 49;

2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 16 termos;

Progessão Aritmética de 17 a 32
24 25
23 26
22 27
21 28
20 29
19 30
18 31
17 32

3) constrói-se o quadrado 4x4, conforme a configuração abaixo,

invertendo-se as posições dos números das diagonais;

Quadrado Mágico 4x4 - constante mágica 27
98
 
32 18 19 29 98
21 27 26 24 98
25 23 22 28 98
20 30 31 17 98
 
98 98 98 98 98

Como resultados temos:

a) Constante Mágica: 98

98 é o dobro do quadrado 49

b) Soma Termos da Progressão Aritmética: 392

392 é o dobro do quadrado perfeito 196

14 é raiz quadrada de 196 (14 é o dobro da raiz quadrada da soma de dois ternos centrais das diagonais ou dois termos dos extremos das diagonais do Quadrado Mágico 4x4).

Quadrado Mágico 5x5 e números quadrados perfeitos

Quadrados Mágicos de ordem 5 podem ter os seus termos centrais a sequência de números quadrados perfeitos a partir de 16 (16, 25, 36, 49, 64, 81, ...) formados tanto por quadrados ímpares quanto pares.

As Somas Mágicas resultantes são números quadrados perfeitos.

Todo Quadrado Mágico 5x ou de ordem 5 cujo termo central é um número quadrado perfeito tem como resultado a Soma dos Termos também um número quadrado perfeito.

Quadrado Mágico 5x5 com termo central 16

1) escolhe-se um número quadrado, no exemplo, o quadrado 16;

2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 25 termos;

Progessão Aritmética de 4 a 28
 
16
15 17
  14 18  
  13 19  
  12 20  
  11 21  
  10 22  
9 23
8 24
7 25
6 26
5 27
4 28

 

 

3) constrói-se o quadrado 5x5, conforme método Yang Hui/ "Pirâmide", desta forma o número 16 fica no centro do quadrado.

Quadrado Mágico 5x5 - constante mágica 80
80
 
14 7 20 13 26 80
27 15 8 21 9 80
10 28 16 4 22 80
23 11 24 17 5 80
6 19 12 25 18 80
 
80 80 80 80 80 80

Como resultados temos:

a) Constante Mágica: 80

b) Soma Termos da Progressão Aritmética: 400

400 é quadrado de 20

20 é produto de 5 por 4 (4 é a raiz quadrada de 16)

Quadrado Mágico 5x5 com termo central 25

1) escolhe-se um número quadrado, no exemplo, o quadrado 25;

2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 25 termos;

Progessão Aritmética de 13 a 36
 
25
24 26
  23 27  
  22 28  
  21 29  
  20 30  
  19 31  
18 32
17 33
16 34
15 35
14 36
13 37

3) constrói-se o quadrado 5x5, conforme método Yang Hui/ "Pirâmide", desta forma o número 25 fica no centro do quadrado.

Quadrado Mágico 5x5 - constante mágica 125
125
 
23 16 29 22 35 125
36 24 17 30 18 125
19 37 25 13 31 125
32 20 33 26 14 125
15 28 21 34 27 125
 
125 125 125 125 125 125

Como resultados temos:

a) Constante Mágica: 125

b) SomaTermos da Progressão Aritmética: 625

625 é quadrado de 25

25 é produto de 5 por 5 (5 é a raiz quadrada de 25)

Autor: Ricardo Silva junho/2018

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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