Quadrado Mágico é um dispositivo numérico vérsatil, instigador, cativante e desafiador. Seja ele construído da forma mais simples ou da forma mais complexa, ele tem revelado estruturas e propriedades lógicas e matemáticas que vem despertanto o interesse de grandes matemáticos, estudiosos, especialistas e o público em geral ao longo do tempo.
Nos dias de hoje, há uma vasta literatura téorica, bem como textos de matemática recreativa discorrendo sobre Quadrados Mágicos.
No site:
do Sr. Harvey Heinz (1930-2013), canadense, especialista em Quadrados Mágicos, está catalogado:
35 livros específicos - dos anos 1900 em diante;
47 capítulos/seções publicados em livros;
67 artigos publicados em periódicos;
8 artigos na Recreational Mathematics Magazine;
mais de 150 artigos no Journal of Recreational Mathematics.
Número Quadrado Perfeito é um número inteiro que pode ser escrito como um quadrado de outro número inteiro.
Pode ser obtido pela multiplicação de um número por ele mesmo:
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
Pode ser obtido elevando-se um número à potência 2:
12 = 1
22 = 4
32 = 9
A partir de qualquer número e qualquer razão pode-se formar progressão aritmética finita ou infinita.
Quadrados Mágicos são formados especificamente por progressões aritméticas finitas.
Escolhendo-se um número quadrado perfeito como termo central de uma progressão aritmética finita e complementando os ternos anteriores e posteriores referente as quantidades de células do Quadrado Mágico, tanto a Constante Mágica quanto a Soma dos Termos também estão associados a este número quadrado perfeito escolhido.
Neste estudo veremos relações numéricas de Quadrados Mágicos com números quadrados perfeitos.
Quadrados Mágicos 3x3 ou de ordem 3 podem ter os seus termos centrais a sequência de números quadrados perfeitos a partir de 9 (9, 16, 25, 36, 49, 64, ...) formados tanto por quadrados ímpares quanto quadrados pares.
As somas dos termos de uma Progressão Aritmética (P.A.) resultantes são números quadrados perfeitos.
Todo Quadrado Mágico 3x3 ou de ordem 3 cujo termo central é um número quadrado perfeito tem como resultado a soma dos termos da Progressão Aritmética (P.A.) a um número quadrado perfeito.
1) escolhe-se um número quadrado, no exemplo, o quadrado 9;
2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 9 termos;
Progessão Aritmética | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
de 5 a 13 | ||||||||
09 | ||||||||
08 | 10 | |||||||
07 | 11 | |||||||
06 | 12 | |||||||
05 | 13 |
3) constrói-se o quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu;
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
constante mágica 27 | ||||
27 | ||||
8 | 13 | 6 | 27 | |
7 | 9 | 11 | 27 | |
12 | 5 | 10 | 27 | |
27 | 27 | 27 | 27 |
Como resultados temos:
a) Constante Mágica: 27
27 é produto de 3 por 9
27 é o cubo de 3
b) Soma dos Termos da Progressão Aritmética: 81
81 é quadrado de 9
9 é produto de 3 por 3 (3 é raiz quadrada de 9)
1) escolhe-se um número quadrado, no exemplo, o quadrado 16;
2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 9 termos;
Progessão Aritmética | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
de 12 a 20 | ||||||||
16 | ||||||||
15 | 17 | |||||||
14 | 18 | |||||||
13 | 19 | |||||||
12 | 20 |
3) constrói-se o quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu;
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
constante mágica 48 | ||||
48 | ||||
15 | 20 | 13 | 48 | |
14 | 16 | 18 | 48 | |
19 | 12 | 17 | 48 | |
48 | 48 | 48 | 48 |
Como resultados temos:
a) Constante Mágica: 48
48 é produto de 3 por 16
b) Soma Termos da Progressão Aritmética: 144
144 é produto de 3 por 48
144 é quadrado de 12
12 é produto de 3 por 4 (4 é a raiz quadrada de 16)
1) escolhe-se um número quadrado, no exemplo, o quadrado 25;
2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 9 termos;
Progessão Aritmética | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
de 21 a 29 | ||||||||
25 | ||||||||
24 | 26 | |||||||
23 | 27 | |||||||
22 | 28 | |||||||
21 | 29 |
3) constrói-se o quadrado 3x3, conforme a configuração do Quadrado Mágico Lo-Shu;
Quadrado Mágico 3x3 | ||||
constante mágica 75 | ||||
75 | ||||
24 | 29 | 22 | 75 | |
23 | 25 | 27 | 75 | |
28 | 21 | 26 | 75 | |
75 | 75 | 75 | 75 |
Como resultados temos:
a) Constante Mágica: 75
75 é produto de 3 por 25
b) Soma Termos da Progressão Aritmética: 225
225 é produto de 3 por 75
225 é quadrado de 15
15 é produto de 3 por 5 (5 é a raiz quadrada de 25)
Quadrados Mágicos de ordem 4 cuja soma de dois termos centrais da progressão aritmética seja um quadrado perfeito ímpar, o resultado da Soma dos Termos é o dobro de um quadrado perfeito.
A soma de dois termos centrais de determinada progressão aritmética para formar Quadrado Mágico 4x4 geram sempre quadrado perfeitos ímpares.
Observação importante: diferentemente dos Quadrados Mágicos de ordem 3 e 5, Quadrado Mágico de ordem 4 não gera Soma dos Termos número quadrado perfeito e sim o dobro de um número quadrado perfeito.
1) forma-se a sequência aritmética, no exemplo, a soma de dois termos centrais é o quadrado 25;
2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 16 termos;
Progessão Aritmética | |||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
de 5 a 20 | |||||||||||||||
12 | 13 | ||||||||||||||
11 | 14 | ||||||||||||||
10 | 15 | ||||||||||||||
09 | 16 | ||||||||||||||
08 | 17 | ||||||||||||||
07 | 18 | ||||||||||||||
06 | 19 | ||||||||||||||
05 | 20 |
3) constrói-se o quadrado 4x4, conforme a configuração abaixo,
invertendo-se as posições dos números das diagonais;
Quadrado Mágico 4x4 | |||||
constante mágica 50 | |||||
50 | |||||
20 | 6 | 7 | 17 | 50 | |
9 | 15 | 14 | 12 | 50 | |
13 | 11 | 10 | 16 | 50 | |
8 | 18 | 19 | 5 | 50 | |
50 | 50 | 50 | 50 | 50 |
Como resultados temos:
a) Constante Mágica: 50
50 é o dobro do quadrado 25
b) Soma Termos da Progressão Aritmética: 200
200 é o dobro do quadrado perfeito 100
10 é raiz quadrada de 100 (10 é o dobro da raiz quadrada da soma de dois ternos centrais das diagonais ou dois termos dos extremos das diagonais do Quadrado Mágico 4x4).
1) forma-se a sequência aritmética, no exemplo, a soma de dois termos centrais é o quadrado 49;
2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 16 termos;
Progessão Aritmética | |||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
de 17 a 32 | |||||||||||||||
24 | 25 | ||||||||||||||
23 | 26 | ||||||||||||||
22 | 27 | ||||||||||||||
21 | 28 | ||||||||||||||
20 | 29 | ||||||||||||||
19 | 30 | ||||||||||||||
18 | 31 | ||||||||||||||
17 | 32 |
3) constrói-se o quadrado 4x4, conforme a configuração abaixo,
invertendo-se as posições dos números das diagonais;
Quadrado Mágico 4x4 | |||||
constante mágica 27 | |||||
98 | |||||
32 | 18 | 19 | 29 | 98 | |
21 | 27 | 26 | 24 | 98 | |
25 | 23 | 22 | 28 | 98 | |
20 | 30 | 31 | 17 | 98 | |
98 | 98 | 98 | 98 | 98 |
Como resultados temos:
a) Constante Mágica: 98
98 é o dobro do quadrado 49
b) Soma Termos da Progressão Aritmética: 392
392 é o dobro do quadrado perfeito 196
14 é raiz quadrada de 196 (14 é o dobro da raiz quadrada da soma de dois ternos centrais das diagonais ou dois termos dos extremos das diagonais do Quadrado Mágico 4x4).
Quadrados Mágicos de ordem 5 podem ter os seus termos centrais a sequência de números quadrados perfeitos a partir de 16 (16, 25, 36, 49, 64, 81, ...) formados tanto por quadrados ímpares quanto pares.
As Somas Mágicas resultantes são números quadrados perfeitos.
Todo Quadrado Mágico 5x ou de ordem 5 cujo termo central é um número quadrado perfeito tem como resultado a Soma dos Termos também um número quadrado perfeito.
1) escolhe-se um número quadrado, no exemplo, o quadrado 16;
2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 25 termos;
Progessão Aritmética | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
de 4 a 28 | ||||||||||||
16 | ||||||||||||
15 | 17 | |||||||||||
14 | 18 | |||||||||||
13 | 19 | |||||||||||
12 | 20 | |||||||||||
11 | 21 | |||||||||||
10 | 22 | |||||||||||
09 | 23 | |||||||||||
08 | 24 | |||||||||||
07 | 25 | |||||||||||
06 | 26 | |||||||||||
05 | 27 | |||||||||||
04 | 28 |
3) constrói-se o quadrado 5x5, conforme método Yang Hui /"Pirâmide", desta forma o número 16 fica no centro do quadrado.
Quadrado Mágico 5x5 | ||||||
constante mágica 80 | ||||||
80 | ||||||
14 | 7 | 20 | 13 | 26 | 80 | |
27 | 15 | 8 | 21 | 9 | 80 | |
10 | 28 | 16 | 4 | 22 | 80 | |
23 | 11 | 24 | 17 | 5 | 80 | |
6 | 19 | 12 | 25 | 18 | 80 | |
80 | 80 | 80 | 80 | 80 | 80 |
Como resultados temos:
a) Constante Mágica: 80
b) Soma Termos da Progressão Aritmética: 400
400 é quadrado de 20
20 é produto de 5 por 4 (4 é a raiz quadrada de 16)
1) escolhe-se um número quadrado, no exemplo, o quadrado 25;
2) em forma de escadinha, completa-se a sequência da esquerda e da direita formando a progressão aritmética finita com 25 termos;
Progessão Aritmética | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
de 13 a 36 | ||||||||||||
25 | ||||||||||||
24 | 26 | |||||||||||
23 | 27 | |||||||||||
22 | 28 | |||||||||||
21 | 29 | |||||||||||
20 | 30 | |||||||||||
19 | 31 | |||||||||||
18 | 32 | |||||||||||
17 | 33 | |||||||||||
16 | 34 | |||||||||||
15 | 35 | |||||||||||
14 | 36 | |||||||||||
13 | 37 |
3) constrói-se o quadrado 5x5, conforme método Yang Hui/ "Pirâmide", desta forma o número 25 fica no centro do quadrado.
Quadrado Mágico 5x5 | ||||||
constante mágica 125 | ||||||
125 | ||||||
23 | 16 | 29 | 22 | 35 | 125 | |
36 | 24 | 17 | 30 | 18 | 125 | |
19 | 37 | 25 | 13 | 31 | 125 | |
32 | 20 | 33 | 26 | 14 | 125 | |
15 | 28 | 21 | 34 | 27 | 125 | |
125 | 125 | 125 | 125 | 125 | 125 |
Como resultados temos:
a) Constante Mágica: 125
b) SomaTermos da Progressão Aritmética: 625
625 é quadrado de 25
25 é produto de 5 por 5 (5 é a raiz quadrada de 25)
Autor: Ricardo Silva - junho/2018
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
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