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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 5x5 - 186

Quadrado Mágico 5x5 ou de ordem 5 é um quadrado quadriculado formado por 5 linhas e 5 colunas perfazendo um total de 25 células.

O Quadrado Mágico 5x5, de ordem 5, Normal ou Puro tem como formação a progressão aritmética finita constituída pelos 25 primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12 , 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 e 25) ou 1 a n2, tendo como Constante Mágica 65 e soma de todos os seus termos 325.

Quadrado Mágico 5x5 e o Método de Construção Yang Hui "Pirâmide"

Há vários métodos de construção de Quadrados Mágicos de ordem ímpar.

O Método da "Pirâmide"[1] Yang Hui [2] é uma técnica bem simples e prática, consistindo das seguintes etapas:

a) construir um quadriculado base de 9 x 9 (91 células);

b) construir o quadrado principal de 5 x 5 (25 células);

c) a partir da linha horizontal central e do lado esquerdo do quadrado maior, começar numerando com o número 1 em sentido diagonal até 5, depois de 6 a 10, de 11 a 15, 16 a 20 e finalmente de 21 a 25;

d) alguns números ficam de fora (números coloridos) e outros ficam dentro do quadrado principal;

quadrados mágicos de ordem 5 - método Yang Hui ou pirâmide

e) deslocar os números (na cor verde) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado direito;

f) deslocar os números (na cor vermelho) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado esquerdo;

g) deslocar os números (na cor azul escuro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte inferior;

g) deslocar os números (na cor azul claro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte superior;

h) após montado o quadrado mágico, a diagonal principal (da esquerda superior para a direita inferior) apresenta uma sequência consecutiva de números: 11, 12, 13, 14 e 15.

quadrados mágicos 5x5 - método Yang Hui ou pirâmide

Quadrado Mágico 5x5 e propriedades numéricas

O Quadrado Mágico de ordem 5 tem como Constante Mágica 65 e soma de todos os seus termos 325 e apresenta outras propriedades numéricas:

quadrados mágicos 5x5 - propriedades numéricas

a) a soma de dois números equidistantes ao centro tem como resultado o dobro do termo central 13:

05 + 21 = 26

25 + 01 = 26

12 + 14 = 26

08 + 18 = 26

Fazendo movimentação em sentido horário, há outras somas que tem também como resultado o dobro do termo central 13;

Quadrado Mágico 5x5 - constante mágica 65
11 4 17 10 23
24 12 5 18 6
7 25 13 1 19
20 8 21 14 2
3 16 9 22 15

b) a soma dos números dos cantos do quadrado tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

11 + 23 + 15 + 3 = 52

11 4 17 10 23
24 12 5 18 6
7 25 13 1 19
20 8 21 14 2
3 16 9 22 15

c) a soma dos números dos cantos do quadrado secundário tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

12 + 18 + 14 + 8 = 52

11 4 17 10 23
24 12 5 18 6
7 25 13 1 19
20 8 21 14 2
3 16 9 22 15

d) a soma dos números dos cantos do retângulo horizontal tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

24 + 6 + 20 + 2 = 52

11 4 17 10 23
24 12 5 18 6
7 25 13 1 19
20 8 21 14 2
3 16 9 22 15

e) a soma dos números dos cantos do retângulo vertical tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

4 + 10 + 22 + 16 = 52

11 4 17 10 23
24 12 5 18 6
7 25 13 1 19
20 8 21 14 2
3 16 9 22 15

f) a soma dos números dos cantos do quadrado em 45 graus tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

17 + 19 + 9 + 7 = 52

11 4 17 10 23
24 12 5 18 6
7 25 13 1 19
20 8 21 14 2
3 16 9 22 15

g) a soma dos números dos cantos do quadrado em 45 graus central tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

5 + 1 + 21 + 25 = 52

11 4 17 10 23
24 12 5 18 6
7 25 13 1 19
20 8 21 14 2
3 16 9 22 15

Quadrado Mágico 5x5 e os números quadrados perfeitos

Evelando-se os números de 1 a 25 do Quadrado Mágico de ordem 5 ao quadrado, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito com as seguintes características:

a) as colunas 1 e 5 apresentam o mesmo resultado 1155;

b) as colunas 2 e 4 apresentam o mesmo resultado 1105;

c) as linhas 1 e 5 apresentam o mesmo resultado 1055;

d) as linhas 2 e 4 apresentam o mesmo resulado 1105.

Quadrado Mágico 5x5 - números quadrados perfeitos
1095
           
121 16 289 100 529 1055
576 144 25 324 36 1105
49 625 169 1 361 1205
400 64 441 196 4 1105
9 256 81 484 225 1055
           
1155 1105 1005 1105 1155 711

Quadrado Mágico 5x5 e números consecutivos

No livro Sequências Numéricas Magicas [3] estão publicados vários estudos sobre relações numéricas entre figuras geométricas, números figurados, naturais, quadrados, cúbicos, etc.

Em um desses estudos, os 25 primeiros números naturais são dispostos sequencialmente dentro de um quadrado 5x5 apresentando entre outras, as seguintes propriedades numéricas:

Quadrado Mágico 5x5 - números consecutivos
65
 
1 2 3 4 5 15
6 7 8 9 10 40
11 12 13 14 15 65
16 17 18 19 20 90
21 22 23 24 25 115
 
55 60 65 70 75 65

a) as diagonais tem como resultado a Constante Mágica 65;

b) a soma de cada linha horizontal é múltiplo de 5;

c) a soma de cada linha vertical é múltiplo de 5;

d) a soma de todos os números do quadrado tem como resultado a Soma Mágica 325.

Autor: Ricardo Silva - junho/2018

Fontes Bibliográficas:

[1] Costa, Olandino. A Matemática Recreativa no Ensino Básico /Olandino da Costa. - 2014. 87 p. Dissertação (mestrado) - Universidade do Minho - Portugal

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square

[3] Silva, Ricardo José da - Sequências Numéricas Mágicas/Ricardo José da Silva - livro digital - São Paulo, 2013

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

 

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