capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 5x5 - 186

Quadrado Mágico 5x5 ou de ordem 5 é um quadrado quadriculado formado por 5 linhas e 5 colunas perfazendo um total de 25 células.

O Quadrado Mágico 5x5, de ordem 5, Normal ou Puro tem como formação a progressão aritmética finita constituída pelos 25 primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12 , 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 e 25) ou 1 a n², tendo como Constante Mágica 65 e soma de todos os seus termos 325.

Quadrado Mágico 5x5 e o Método de Construção Yang Hui "Pirâmide"

Há vários métodos de construções de Quadrados Mágicos de ordem ímpar.

O Método da "Pirâmide"[1] Yang Hui [2] é uma técnica bem simples e prática, consistindo das seguintes etapas:

a) construir um quadriculado base de 9 x 9 (91 células);

b) construir o quadrado principal de 5 x 5 (25 células);

c) a partir da linha horizontal central e do lado esquerdo do quadrado maior, começar numerando com o número 1 em sentido diagonal até 5, depois de 6 a 10, de 11 a 15, 16 a 20 e finalmente de 21 a 25;

d) alguns números ficam de fora (números coloridos) e outros ficam dentro do quadrado principal;

quadrados mágicos de ordem 5 - método Yang Hui ou pirâmide

e) deslocar os números (na cor verde) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado direito;

f) deslocar os números (na cor vermelho) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado esquerdo;

g) deslocar os números (na cor azul escuro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte inferior;

g) deslocar os números (na cor azul claro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte superior;

h) após montado o quadrado mágico, a diagonal principal (da esquerda superior para a direita inferior) apresenta uma sequência de números consecutivos: 11, 12, 13, 14 e 15.

quadrados mágicos 5x5 - método Yang Hui ou pirâmide

Quadrado Mágico 5x5 soma mágica 65

O Quadrado Mágico de ordem 5 tem como Constante Mágica 65 e soma de todos os seus termos 325 e apresenta outras propriedades numéricas:

quadrados mágicos 5x5 - propriedades numéricas

a) a soma de dois números equidistantes ao centro tem como resultado o dobro do termo central 13:

05 + 21 = 26

25 + 01 = 26

12 + 14 = 26

08 + 18 = 26

Fazendo movimentação em sentido horário, há outras somas que tem também como resultado o dobro do termo central 13;

Quadrado Mágico 5x5
constante mágica 65
11	4	17	10	23
24	12	5	18	6
7	25	13	1	19
20	8	21	14	2
3	16	9	22	15

b) a soma dos números dos cantos do quadrado tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

11 + 23 + 15 + 3 = 52

11	4	17	10	23
24	12	5	18	6
7	25	13	1	19
20	8	21	14	2
3	16	9	22	15

c) a soma dos números dos cantos do quadrado secundário tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

12 + 18 + 14 + 8 = 52

11	4	17	10	23
24	12	5	18	6
7	25	13	1	19
20	8	21	14	2
3	16	9	22	15

d) a soma dos números dos cantos do retângulo horizontal tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

24 + 6 + 20 + 2 = 52

11	4	17	10	23
24	12	5	18	6
7	25	13	1	19
20	8	21	14	2
3	16	9	22	15

e) a soma dos números dos cantos do retângulo vertical tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

4 + 10 + 22 + 16 = 52

11	4	17	10	23
24	12	5	18	6
7	25	13	1	19
20	8	21	14	2
3	16	9	22	15

f) a soma dos números dos cantos do quadrado em 45 graus tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

17 + 19 + 9 + 7 = 52

11	4	17	10	23
24	12	5	18	6
7	25	13	1	19
20	8	21	14	2
3	16	9	22	15

g) a soma dos números dos cantos do quadrado em 45 graus central tem como resultado o quádruplo do termo central 13:

5 + 1 + 21 + 25 = 52

11	4	17	10	23
24	12	5	18	6
7	25	13	1	19
20	8	21	14	2
3	16	9	22	15

Quadrado Mágico 5x5 e os números quadrados perfeitos

Evelando-se os números de 1 a 25 do Quadrado Mágico de ordem 5 ao quadrado, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito com as seguintes características:

a) as colunas 1 e 5 apresentam o mesmo resultado 1155;

b) as colunas 2 e 4 apresentam o mesmo resultado 1105;

c) as linhas 1 e 5 apresentam o mesmo resultado 1055;

d) as linhas 2 e 4 apresentam o mesmo resulado 1105.

Quadrado Mágico 5x5
números quadrados perfeitos
					1095

121	16	289	100	529	1055
576	144	25	324	36	1105
49	625	169	1	361	1205
400	64	441	196	4	1105
9	256	81	484	225	1055

1155	1105	1005	1105	1155	711

Quadrado Mágico 5x5 e números consecutivos

No livro Sequências Numéricas Magicas [3] estão publicados vários estudos sobre relações numéricas entre figuras geométricas, números figurados, naturais, quadrados, cúbicos, etc.

Em um desses estudos, os 25 primeiros números naturais são dispostos sequencialmente dentro de um quadrado 5x5 apresentando entre outras, as seguintes propriedades numéricas:

Quadrado Mágico 5x5
números consecutivos
					65

1	2	3	4	5	15
6	7	8	9	10	40
11	12	13	14	15	65
16	17	18	19	20	90
21	22	23	24	25	115

55	60	65	70	75	65

a) as diagonais tem como resultado a Constante Mágica 65;

b) a soma de cada linha horizontal é múltiplo de 5;

c) a soma de cada linha vertical é múltiplo de 5;

d) a soma de todos os números do quadrado tem como resultado a Soma Mágica 325.

Autor: Ricardo Silva - junho/2018

Desafio ao visitante

O Web-Site Os Fantásticos Números Primos lança um desafio a você estimado visitante: de construir um triângulo pitagórico inscrito numa circunferência somente com régua não graduada e compasso semelhante ao triângulo retângulo de 30, 60 e 90 graus para ser publicado na Seção Texto do WebSite.

Enviando o seu estudo e modelo matemático da sua solução, para o nosso e:mail:

contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br,

você receberá como cortesia:

O livro digital OS FANTÁSTICOS NÚMEROS PRIMOS

Veja as matérias:

005-texto-017-triangulos-pitagoricos-inscrito-semicircunferencia

005-texto-018-triangulo-pitagorico3-4-5-inscrito-semicircunferencia

sobre construções de triângulos.

Fontes Bibliográficas:

[1] COSTA, Olandino. A Matemática Recreativa no Ensino Básico /Olandino da Costa. - 2014. 87 p. Dissertação (mestrado) - Universidade do Minho - Portugal

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square

[3] SILVA, Ricardo José da - Sequências Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018