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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 4x4 - 184

Quadrado Mágico 4x4 ou de ordem 4 é um quadrado quadriculado formado por 4 linhas e 4 colunas perfazendo um total de 16 células.

O Quadrado Mágico de ordem 4 Normal ou Puro tem como formação os 16 primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12 , 13, 14, 15 e 16) ou 1 a n2.

Albrecht Durer, em sua obra "Melancolia" de 1514, retrata uma variante de Quadrado Mágico de ordem 4 cujas disposições numéricas apresentam aspectos da obra em si quanto de sua vida em particular.

quadrado mágico 4x4 de Albrecht Durer

Fonte: https://pt.wikipedia.org/

wiki/Quadrado_m%C3%A1gico

Quadrado Mágico 4x4 e o Método de Moschopoulos

O Método de Manuel Moschopoulos, autor bizantino que escreveu um tratado matemático sobre quadrados mágicos baseados nos textos de Ahmed al-Buni [1], também chamado de Método Igualmente Uniforme funciona para qualquer quadrado mágico de ordem par múltiplos de 4 (4, 8, 16, 32, ...)

A técnica de construção consiste em inverter as posições dos números que estão nas diagonais.

É uma técnica bastante simples em que consiste de alguns passos:

a) em um quadrado com 16 células, preencher com os números de 1 a 16, os números que estão nas células com fundo na cor branca devem ficar em posições fixas;

b) posteriormente, invertem-se as posições dos números que se encontram nas linhas diagonais do quadrado e que estão em células de fundo colorido:

o 1 troca de posição com o 16;

o 4 troca de posição com o 13;

o 6 troca de posição com o 11 e

o 7 troca de posição com 10.

quadrado mágico 4x4 método de Manuel Moschopoulos

Quadrado Mágico 4x4 e propriedades numéricas

quadrado mágico 4x4 e constante mágica

O Quadrado Mágico 4x4 tem como Constante Mágica 34 e a soma de todos os seus termos 136 com as seguintes propriedades:

a) a soma dos números das células dos cantos do quadrado tem como resultado a Constante Mágica;

16 + 13 + 1 + 4 = 34

Quadrado Mágico 4x4 - constante mágica 34
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

b) a soma dos números das células do sub-quadrado superior esquerdo tem como resultado a Constante Mágica;

16 + 2 + 5 + 11 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

c) a soma dos números das células do sub-quadrado 2x2 inferior esquerdo tem como resultado a Constante Mágica;

9 + 7 + 4 + 14 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

d) a soma dos números das células do sub-quadrado 2x2 superior direito tem como resultado a Constante Mágica;

3 + 13 + 10 + 8 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

e) a soma dos números das células do sub-quadrado 2x2 inferior direito tem como resultado a Constante Mágica;

6 + 12 + 15 + 1 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

f) a soma dos números das células do sub-quadrado 2x2 central tem como resultado a Constante Mágica;

11 + 10 + 7 + 6 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

g) a soma dos números das células dos cantos do sub-quadrado central tem como resultado a Constante Mágica;

2 + 3 + 14 + 15 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

h) a soma dos números das células dos cantos do sub-retângulo tem como resultado a Constante Mágica;

16 + 3 + 9 + 6 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

i) a soma dos números das células dos cantos do sub-retângulo tem como resultado a Constante Mágica;

5 + 10 + 4 + 15 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

j) a soma dos números das células dos cantos do sub-retângulo tem como resultado a Constante Mágica;

2 + 13 + 7 + 12 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

k) a soma dos números das células dos cantos do sub-retângulo tem como resultado a Constante Mágica;

11 + 8 + 14 + 1 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

l) a soma dos números das células dos laterais centrais tem como resultado a Constante Mágica;

5 + 9 + 8 + 12 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

m) a soma dos números de diagonais quebradas tem como resultado a Constante Mágica;

5 + 2 + 15 + 12 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

n) a soma dos números de diagonais quebradas tem como resultado a Constante Mágica;

9 + 14 + 3 + 8 = 34

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

Permutação dos sub-quadrados 2x2 (4 células)

Os sub-quadrados 2x2 tem a soma de todos os seus números 34, que é Costante Mágica.

Permutando os sub-quadrados, a Constante Mágica e a soma de todos os números do Quadrado Mágico de ordem 4 não se alteram.

Veja alguns exemplos:

a)

Quadrado Mágico 4x4 - constante mágica 34 - permutação
34
         
16 2 3 13 34
5 11 10 8 34
9 7 6 12 34
4 14 15 1 34
         
34 34 34 34 34

b)

34
         
6 12 3 13 34
15 1 10 8 34
9 7 16 2 34
4 14 5 11 34
         
34 34 34 34 34

c)

34
         
16 2 9 7 34
5 11 4 14 34
3 13 6 12 34
10 8 15 1 34
         
34 34 34 34 34

d)

34
         
9 7 6 12 34
4 14 15 1 34
16 2 3 13 34
5 11 10 8 34
         
34 34 34 34 34

Quadrado Mágico 4x4 e números quadrados perfeitos

Elevando-se os números de 1 a 16 do Quadrado Mágico 4x4 ao quadrado, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito com as sequintes características:

Quadrado Mágico 4x4 - números quadrados perfeitos
334
 
256 4 9 169 438
25 121 100 64 310
81 49 36 144 310
16 196 225 1 438
 
378 370 370 378 414

a) a soma dos números quadrados perfeitos da primeira linha é igual a soma dos quadrados da quarta linha;

b) a soma dos números quadrados perfeitos da segunda linha é igual a soma dos quadrados da terceira linha;

c) a soma dos números quadrados perfeitos da primeira coluna é igual a soma dos quadrados da quarta coluna;

d) a soma dos números quadrados perfeitos da segunda coluna é igual a soma dos quadrados da terceira coluna.

Quadrado Mágico 4x4 e números cúbicos

Elevando-se os números de 1 a 16 do Quadrado Mágico 4x4 ao cubo, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito com as sequintes características:

Quadrado Mágico 4x4 - números cúbicos
3604
 
4096 8 27 2197 6328
125 1331 1000 512 2968
729 343 216 1728 3016
64 2744 3375 1 6184
 
5014 4426 4618 4438 5644

a) a soma dos números cúbicos das diagonais...

5.644 + 3.604 = 9.248

... é igual a soma dos cubos do números centrais das laterais esquerda e direita bem como das partes inferior e superior.

8 + 27 + 125 + 512 + 729 + 1728 + 2744 + 3375 = 9.248

3604
 
4096 8 27 2197 6328
125 1331 1000 512 2968
729 343 216 1728 3016
64 2744 3375 1 6184
 
5014 4426 4618 4438 5644

b) a soma dos números cúbicos do quadrado 18.496 é o dobro da soma dos números das diagonais 9.248.

18.496: 2 = 9.248

O quadrado 4x4 e números consecutivos

No livro Sequências Numéricas Magicas [2] estão publicados vários estudos sobre relações númericas entre figuras geométricas, números figurados, naturais, quadrados, cúbicos, etc.

Em um desses estudos, os 16 primeiros números naturais são dispostos sequencialmente dentro de um quadrado 4x4 apresentando entre outras, as seguintes propriedadas numéricas:

Quadrado Mágico 4x4 - números consecutivos
34
 
1 2 3 4 10
5 6 7 8 26
9 10 11 12 42
13 14 15 16 58
 
28 32 36 40 34

a) as diagonais tem como resultado a Constante Mágica 34;

b) a soma de cada das linha horizontai não é múltiplo de 4;

c) a soma de cada coluna tem como resultado um múltiplo de 4;

d) a soma de todos os números do quadrado tem como resultado a Soma Mágica 136.

Autor: Ricardo Silva - julho/2018

Fontes Bibliográficas:

[1] https://www.maa.org/press/

periodicals/convergence/

the-magic-squares-of-manuel-moschopoulos-the-mathematics-of-the-methods-evenly-even-squares

[2] Silva, Ricardo José da - Sequências Numéricas Mágicas/Ricardo José da Silva - livro digital - São Paulo, 2013

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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