Triângulo de Yang Hui, Triângulo de Tartaglia, Triângulo de Pascal ou simplesmente Triângulo Aritmético, como o próprio nome diz, é um dispositivo númérico formado a partir de números naturais e números figurados os quais apresentam diversas propriedades matemáticas entre si e também com números combinatórios e números binomiais, bem como, com a geometria.
Números figurados: são números que por meio de arranjos de pontos podemos formar figuras geométricas bi-dimensionais ou tri-dimensionais.
Números Combinatórios: são aqueles que dão o número de maneiras de se escolher k elementos de um conjunto com n elementos.
Números Binomiais: são os coef ientes que ocorrem na expansão da n-ésima potência da expressão binomial.
História Antiga - 4000 a.C. a 476 d.C |
Queda do Império Romano do Ocidente.
Índia
Pingala, matemático.
Obra: Chandra Sutra
Relatou o sistema numérico binário em conexão à listagem das métricas védicas com uso de sílabas longas e curtas.
Primeiros registros e regras de criação de triângulo aritmético similar ao Triângulo Aritmético de Pascal.
Grécia
Theon de Smyrna, matemático e lósofo grego.
Obra: Sobre a Matemática útil para o entendimento de Platão
Tinha conhecimentos de Números triangulares.
Grécia
Nicomachus de Gerasa, matemático
Obras: Introdução à Aritmética e Manual de Harmônicos.
Tinha conhecimentos de Números triangulares.
Idade Média - 476 d.C. até 1453 |
Queda do Império Romano do Oriente pelo turcos-otomanos em Constantinopla.
Al-Karaji
Obras: "al Fakhri" e "al Badi"
Em suas obras, de 1007, sobre álgebra, utilizou o triângulo aritmético para auferir o desenvolvimento de potências quadradas, cúbicas e quadráticas de binômios.
al Jili
Obra: Princípios do Cálculo Hindu
al Nasawi
Obra: Coisas suficientes para entender o Cálculo Hindu
Baghdad
al Samaw'al
Obra: al Bahir fi'l jabr ( A deslumbrante Álgebra )
Aos 19 anos de idade esse talentoso matemático escreveu um tratado sobre álgebra, onde corrigiu e expandiu o trabalho de al Karaji sobre o triângulo e o binômio de Newton; seu livro traz uma ricamente decorada figura de um triângulo aritmético de 12 linhas. Entre os notáveis resultados de al Samaw'al, neste livro, está uma demonstração por indução matemática da validade do binômio de Newton.
Persia
Umar al-Khayyami,
Obra: Tratado de demonstracões de problemas de Algebra.
Ele diz que escrevera um livro - hoje, totalmente perdido - sobre o triângulo aritmético e sua aplicação na extração aproximada de raízes quadradas, cúbicas, etc, seguindo a tradição indiana.
China
Yang Hui
Escreveu 10 livros, dois deles, posteriormente foram publicados por Zhu Shijie: Alfa e ômega de uma seleção de aplicações de métodos aritméticos e o Uma análise detalhada dos métodos do livro "Nove Capítulos".
China
O triângulo aritmético aparece no frontispício do Ssu Yii Chiende Chu Shih-Chiehz (ou Zhu Shijie).
China
Zhu Shijie
Obras: a Introdução ao Estudo da Matemática ( Suanxueqimeng), publicado em 1299, que é um livro sobre a matemática elementar com quatro problemas ilustrativos para explicar as operações de aritmética e álgebra e 284 problemas como exercícios.
A obra original em chinês ficou perdida, mas foi reconstruída em 1839 através de uma edição coreana de 1660.
O Precioso Espelho dos Quatro Elementos ( Siyuanyujian), escrito em 1303 e considerado a sua obra mais importante, exibe entre outros, um método de resolução de equações por aproximações sucessivas, cálculos de raízes quadradas e traz figuras de triângulos, conhecidos hoje por Triângulos de Pascal.
PUC. A obra que marca o fim da época áurea da matemática chinesa.
Persia
Jamshid Al-Kashi
Obra: Chave para a aritmética
Discorre das propriedades dos coeficientes binomiais.
Idade Moderna - 1453 até 1789 |
O período compreende o Renascimento, Invenção da Imprensa, Grandes Navegações e a Revolução Francesa.
Alemanha
Michael Stifel
Obra: Arithmetica Integra (1544)
Explorou algumas propriedades do triângulo aritmético.
Em 1553, Michael Stifel publicou uma nova edição da obra de Christoffs Rudolffs chamada Die Coss. Nessa nova edição, o próprio Stifel acrescentou e complementou assuntos e, como resultado fi nal, a nova edição foi publicada com mais do que o dobro do número de páginas da edição anterior. Podemos observar na duas páginas em que Stifel apresenta o triângulo aritmético e explica o padrão da soma para se obter os coe cientes da linha seguinte.
Alemanha
Johann Scheubel
Apresentou o triângulo aritmético um século antes de Pascal escrever sobre ele. Em seu trabalho, Scheubel extraiu raízes de índices até 24 (raízes 24-ésimas) por um processo similar ao processo de extração de raízes que utiliza o Teorema Binomial.
Alemanha
Peter Apian (em latim, Petrus Apianus)
Obra: "Kauffmanns-Rechnung" (Aritmética / Cálculo) de 1527.
Obra específica em aritmética comercial, nele o Triângulo aritmético aparece no canto inferior esquerdo de uma das páginas e que é a primeira impressão feita na Europa.
Michael Stifel publicou uma nova edição da obra de Christoffs Rudolffs chamada Die Coss. Nessa nova edição, o próprio Stifel acrescentou e complementou assuntos e, como resultado fi nal, a nova edição foi publicada com mais do que o dobro do número de páginas da edição anterior. Podemos observar na página em que Stifel apresenta o triângulo aritmético e explica o padrão da soma para se obter os coe cientes da linha seguinte.
França
Jacques Peletier du Mans, matemático , médico, gramático e poeta francês humanista.
Obra: Arithmétique, de 1549.
Junto com Guillaume Gosselin, ele foi um dos primeiros a usar letras em álgebra para resolver sistemas de equações lineares. Seu sistema de notação e sua exigência de fundar a matemática abstratamente fazem deste autor um precursor imediato de François Viète.
Itália
Tartaglia, pseudônimo de Niccolò Fontana.
Obra: Quesiti et inventioni diverse, de 1546, que possui a forma dialogada e diversas notas autobiográficas de caráter geral
Obra: General Trattato di numeri et misure, de 1556. O livro apresentava diversos problemas e regras para cálculos combinatórios.
França
Blaise Pascal, físico, filósofo e escritor.
Obra: Traité di Triangle Arithmétique, reproduzida após sua morte, em 1665.
Apresentou significativas aplicações matemáticas ao Triângulo Aritmético.
França
Abrahan de Moivre, matemático.
Obra: Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis, de 1730. Nesta livro, de Moivre referencia o triângulo como "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" que posteriormente fica conhecido com Triângulo de Pascal.
França
Pierre Rémond de Montmort, matemático.
Obra: Essai d'analyse sur les jeux de chance, de 1708.
Segundo Anthony William Fairbank Edwards, foi Montmort que, em 1708, pela primeira vez atrelou o nome de Pascal ao Triângulo Combinatório (Table de M. Pascal pour les combinaisons). No entanto Montmort apresenta o Triângulo Aritmético com uma con figuração um pouco diferente:
Suiça
Jakob Bernoulli
Obra: Ars Conjectandi, de 1713
Nesta famosa obra é notada especialmente pelo primeiro teorema sobre limite em Probabilidade; o Teorema de Bernoulli. Outro ponto de grande destaque dessa obra são os tratamentos que Bernoulli dá à Distribuição Binomial, à Teoria Combinatória e aos Números Figurados (especialmente sobre como usá-los nas somas de potências, que o leva à descoberta dos Números de Bernoulli da Análise).
Idade Contemporânea - 1789 aos dias atuais |
Tratado sobre o triângulo aritmético. Pascal, Blase. Tradução de John A. Fossa e Fabrício Possebon. Natal: EDUFRN, 2013
Autor: Ricardo Silva - abril /2022
FARIA, Vagner Figueira de. O triângulo e o tetraedro aritméticos: os teoremas binomial e multinomial e seus padrões geométricos. Dissertação de Mestrado. Unesp. Araraquara-SP, 2020
SILVEIRA, J.F. Porto da. O triângulo de Pascal é de Pascal? http://athena.mat.
https://fr.wikipedia.org/wiki/
https://fr.wikipedia.org/wiki/
https://es.wikipedia.org/wiki/
https://pt.wikipedia.org/wiki/
https://fr.wikipedia.org/wiki/
https://fr.wikipedia.org/wiki/
Mais informações, acesse:
Mais informações, acesse:
Prezado visitante, o conteúdo do
WebSite Os Fantásticos Números Primos
está protegido por direitos autorais.
O uso acadêmico e escolar está liberado,
desde que informando ao autor o local e
o meio em que será utilizado e divulgado,
através do e-mail:
contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br
O uso comercial é proibido.
Assessoria Gráfica e de Comunicação para
Escritores Independentes
que desejam lançar obras literárias,
técnicas ou artísticas.
Projeto Gráfico, Diagramação
e Editoração Eletrônica de livros (e-books).
Desenvolvimento de WebSite.
Contato
