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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo de Pascal e sequências numéricas - 378

Triângulo Aritmético é um dispositivo numérico infinito cujos números formam simetricamente um arranjo triangular e que apresenta em sua estrutura diversas relações matemáticas entre números naturais, números figurados, números combinatórios, números binominais, bem como, com a geometria.

Triângulo Aritmético / Triângulo de Pascal

Triângulo Aritmético é o termo cunhado por Blaise Pascal (1623-1662), físico, filósofo e matemático frânces, em 1654, em sua obra Traité du triangle arithmétiqueprovando algumas identidades envolvendo os coeficientes binomiais e que aplicou o triângulo na resolução de pequenos problemas de probabilidades e de combinatória.

Em 1739, o matemático inglês de Moivre publicou trabalho em que usou a denominação TRIANGULUM ARITHMETICUM PASCALIANUM para o triângulo aritmético. Dada a repercussão que esse trabalho teve na época, isso acabou tornando consagrada a denominação "Triângulo de Pascal" na Inglaterra, França e mais alguns países europeus.

Assim com Blaise Pascal, diversos outros estudiosos e matemáticos contribuiram para os estudos do triângulo aritmético, pois o triângulo aparece em manuscritos indianos, chineses e árabes. Na Europa, o triângulo aritmético aparece pela primeira vez em um livro impresso de Petrus Apianus, em 1527, na obra Rechnung (Cálculo) - cuja capa trazia um desenho do triângulo aritmético e posteriormente em trabalhos de Michael Stifel, Arithmetica Integra em 1544; Tartaglia, General Tratato di numeri et misure em 1556; Peletier Arithmétiqueem 1549, Albert Girard (1629), Marin Mersenne (1636), etc.

Triangulo de Yang Hui

Triangulo de Yang Hui

Triangulo de Apianus

Triângulo Aritmético de Petrus Apianus

Triangulo de Stifel

Triangulo de Stifel

Triangulo de Tartaglia

Triangulo de Tartaglia

Triângulo Japonês

Triângulo Japonês

Construção do Triângulo de Pascal

Originalmente, Blaise Pascal montou o Triângulo Aritmético com auxílio de células quadriculadas em formato de triângulo retângulo conforme segue:

Triângulo Artitmético de Blaise Pascal

Passo 1

Na primeira linha e na primeira coluna, cada célula é preenchida com o número 1 (células amarela);

Construção do Triângulo Aritmético de Blaise Pascal - passo 1

passo 2

Soma-se dois números em sentido diagonal 1 + 1 (células verde) e coloca-se o resultado 2 em sentido vertical para baixo (célula laranja). Seguindo esse processo monta-se o Triângulo Aritmético.

Observação: outra forma de se montar o Triângulo Aritmético é somar números em sentido horizontal e colocar o resultado em uma célula em sentido vertical para baixo.

Exemplo 1)

somam-se 1 + 3 (células liláses) e coloca-se o resultado 4 (célula amarela) na célula abaixo do 3;

Exemplo 2)

soma-se 1 + 3 + 6 (células liláses) e coloca-se o resultado 10 (célula amarela) na célula abaixo do 6;

Construção do Triângulo Aritmético de Blaise Pascal - passo 2

Triângulo de Pascal e números triangulares

Na construção do Triângulo de Pascal, as sequências númericas são automaticamente duplicadas, tanto em sentido horizontal quanto em sentido vertical.

Na linha 2 e coluna 2 (células verdes), tem-se a sequência de números naturais.

Na linha 3 e coluna 3 (células amarelas), tem-se a sequência de números triângulares.

Números triângulares, também denominados de figurados, são números que podem ser obtidos por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas de triângulos.

Somando-se números naturais consecutivos da linha 2, obtêm-se os números triangulares na linha 3.

Somando-se números naturais consecutivos da coluna 2, obtêm-se números triangulares na coluna 3.

A soma 1 + 2 + 3 (coluna 2 ou linha 2 - naturais) tem como resultado 6 (coluna 3 ou linha 3 - triangulares).

Veja também que a própria sequência do números naturais correspondem a ordem / posição de um número triangular.

O primeiro número triangular é o 1.

O segundo número triangular é o 3.

O terceiro número triangular é o 6 e assim sucessivamente.

Triângulo de Pascal e números triangulares

Triângulo de Pascal e números tetraédricos

Um número tetraédico ou número piramidal triangular, é um número figurado que pode ser representado por uma pirâmide com uma base e três lados, isto é, um tetraedro (linha 4 e coluna 4 - células laranjas).

A soma de números triangulares consecutivos têm como resultados números tetraédricos.

A soma 1 + 3 + 6 (coluna 3 ou linha 3 - triangulares) tem como resultado 10 (coluna 4 ou linha 4 - tetraédicos).

Veja também que a própria sequência do números naturais correspondem a ordem / posição de um número tetraédrico.

O primeiro número tetraédrico é o 1.

O segundo número tetraédrico é o 4.

O terceiro número tetraédrico é o 10 e assim sucessivamente.

Triângulo de Pascal e números tetraédricos

Triângulo de Pascal e potências de base 2

Outra configuração do Triângulo de Pascal é apresentá-lo com as células formando um triângulo equilátero, pois é possível também visualizar melhor tanto as suas propriedades quanto as outras sequências numéricas em sua estrutura.

Somando-se os números das células em sentido horizontal, obtêm-se potências de base 2, pois:

1 = 20

1 + 1 = 2 = 21

1 + 2 + 1 = 4 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

Triângulo de Pascal e potências de base 2

Triângulo de Pascal e números quase-potências de base 2

Formando figuras triângulos, envolvendo os números do Triângulo de Pascal e posteriormente somando-os, obtem-se a sequência de números quase-potências de base 2.

Números quase-potências de base 2 são números que são 1 unidade menor que uma potência de base 2.

Os Números de Mersenne são números que são 1 unidade menor que uma potência de base 2.

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255,... são números quase-potências de base 2 e Números de Mersenne.

Triângulo de Pascal e números quase-potências de base 2

Interessante observar que nos triângulos onde a soma dos números é um número primo, a base do triângulo também é um número primo.

Estas ocorrências são aleatórias, como pode ser observado na tabela abaixo, mas demonstram outra propriedade no Triângulo de Pascal relacionados a Números de Mersenne os quais geram números perfeitos.

base potencia Soma Número
    dos Primo
    números de Mersenne
do de nos  
triângulo base 2 triângulos  
       
1 1 1  
primo 2 4 3 sim
primo 3 8 7 sim
4 16 15  
primo 5 32 31 sim
6 64 63  
primo 7 128 127 sim
8 256 255  
9 512 511  
10 1024 1023  
11 2048 2047  
12 4096 4095  
primo 13 8192 8191 primo
         
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Triângulo de Pascal e números primos

Nas linhas em que aparecem números primos, os demais números são múltiplos desse número primo.

Triângulo de Pascal e números primos

Triângulo de Pascal e números de Fibonacci

Números de Fibonacci são gerados repetindo-se o número 1 e posteriormente somando-se dois numeros anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...

É uma sequência numérica que está estritamente relacionada ao Número de Ouro 1,618033988749894848..., poís dividindo-se um número de Fibonacci pelo seu antecessor obtem-se o Número de Ouro.

Nesta outra configuração, podemos visualizar melhor a obtenção de Números de Fibonacci no Triângulo de Pascal.

Somando-se os números das células em sentido diagonal, obtem-se os Números de Fibonacci.

Triângulo de Pascal e números de Fibonacci

Triângulo de Pascal e potências de base 11

As 5 primeiras potências de base 11 podem ser obtidas no Triângulo de Pascal, juntando-se os algarismos das células de cada linha.

Interessante observar que as 5 primeiras potências de base 11 são números palíndromos, isto é, números que podem ser lidos tanto da esquerda para à direita ou vice-versa.

Triângulo de Pascal e potências de base 11

 

Autor: Ricardo Silva - abril /2022

Fontes Bibliográficas:

BOYER, Carl Benjamn, 1906 -. Historia da Matemática: tradução: Elza F. Gomide. São Paulo. Edgard Bucher, Ed. da Universidade São Paulo, 1974.

DIAS, Graciana Ferreira. A história da matemática como metodologia de ensino: um estudo a partir do tratado sobre o triângulo aritmético de Blaise Pascal. Universidade Federal do Rio Grande do Norte, RN, 2014

EDWARDS, Anthony William Fairbank. Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002

ROSADAS, Vitor Dutra Soares Rosadas. Triângulo de Pascal: Curiosidades e Aplicações na Escola Básica. Dissertação de Mestrado. PUC-Rio, 2016

SANTIAGO, Tamara Paiva. Triângulo de Pascal: aplicaçoes no Ensino Fundamental e Médio. Dissertação de Mestrado PROFMAT-UFBA, 2016.

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

SILVEIRA, J.F. Porto da. O triângulo de Pascal é de Pascal? http://athena.mat. ufrgs.br/~portosil/histo2.html

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