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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Sequência de Lucas e Ternos Pitagóricos - 224

François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático e estudioso das obras de Leonardo de Pisa foi quem popularizou os Números de Fibonacci em sua obra Recherches Sur Plusierurs Ouvrages de Léonard de Pisa (1877) que através dela criou outra sequência semelhante chamada de Sequência de Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,...

Foi um dos precursores da Matemática Recreativa com a publicação da obra Récréations mathématiques (4 Bände), Gauthier-Villars, Paris 1882–1894 e também criador do Jogo Torre de Hanoi.

Outro feito, foi ter descoberto o 120 número primo de Mersenne com 39 dígitos:

M127 = 2127-1

=17141183404692317316873037158844105727

e que permanece como recorde (75 anos) tal descoberta sem uso de computador.[2]

A Sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,... é formada com a repetição do número 1 duas vezes e a partir do terceiro termo soma-se com o antecessor, ela apareceu em um problema em que se desejava saber o crescimento de população de coelhos e foi publicada no livro Liber Abacci - Livro do Ábaco ou do Cálculo - (1202) de autoria de Leonardo de Pisa (1175-?), conhecido como Fibonacci.

Terno Pitagórico é uma sequência de três números inteiros que satisfazem o Teorema de Pitágoras, onde (a2= b2 + c2) - O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Fórmulas de Euclides para se gerar terno pitagórico:

a=m2 -n2

b=2mn

c=m2+n2

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n (tem que ser primos entre si, into é, o mdc é igual a 1)

Observação: dois números consecutivos são primos entre si.

Exemplo 1)

2 e 1

a= 22 - 12 = 4 - 1 = 3

b= 2 . 2 . 1 = 4 . 1 = 4

c= 22 + 12 = 4 + 1 = 5

3, 4 e 5 é um Terno Pitagórico Primitivo.

Exemplo 2)

3 e 2

a= 32 - 22 = 9 - 4 = 5

b= 2 . 3 . 2 = 6 . 2 = 12

c= 32 + 22 = 9 + 4 = 13

5, 12 e 13 é um Terno Pitagórico Primitivo.

Sequência de Lucas

Primeiros 54 termos da Sequência de Lucas.

Sequência de Lucas
   
Posição
Números de Lucas
1
2
2
1
3
3
4
4
5
7
6
11
7
18
8
29
9
47
10
76
11
123
12
199
13
322
14
521
15
843
16
1.364
17
2.207
18
3.571
19
5.778
20
9.349
21
15.127
22
24.476
23
39.603
24
64.079
25
103.682
26
167.761
27
271.443
28
439.204
29
710.647
30
1.149.851
31
1.860.498
32
3.010.349
33
4.870.847
34
7.881.196
35
12.752.043
36
20.633.239
37
33.385.282
38
54.018.521
39
87.403.803
40
141.422.324
41
228.826.127
42
370.248.451
43
599.074.578
44
969.323.029
45
156.839.7607
46
2.537.720.636
47
4.106.118.243
48
6.643.838.879
49
10.749.957.122
50
17.393.796.001
51
28.143.753.123
52
45.537.549.124
53
73.681.302.247
54 11.921.885.1371
   
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Relação entre Números de Lucas e Números de Fibonacci

Eis algumas relações numéricas, dentre outras, entre Números de Lucas e Números de Fibonacci.

Escolhendo-se 3 termos de Fibonacci e somando-se o extremos tem-se como resultado um número de Lucas.

Exemplos:

0 + 1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 3 = 4

Posiçao 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
                     
Números de Fibonacci
                     
  0 1 1 2 3 5 8 13 21 34
                     
Número de Lucas
                     
  2 1 3 4 7 11 18 29 47 76

Escolhendo-se 3 termos de Lucas e somando-se o extremos tem-se como resultado um múltiplo de 5 e consequentemente número divisor de Lucas.

Exemplos:

2 + 3 = 5 (divisor de 1 e 5 )

1 + 4 = 5 (divisor de 1 e de 5)

3 + 7 = 10 (divisor de 2 e de 5)

4 + 11 = 15 (divisor de 3 e de 5)

7 + 18 = 25 (divsor de 5)

Números de Lucas e ternos pitagóricos

Esta propriedade foi descoberta pelo matemático Charles Raine, a qual foi utilizada para encontrar ternos pitagóricos na Sequência de Fibonacci (ver matérias relacionadas). [1]

Baseia-se no mesmo princípio, escolhe-se 4 termos consecutivos, neste caso, da Sequência de Lucas e executam-se as seguintes etapas:

Sequência 2, 1, 3 e 4

Produto dos extremos

2 x 4 = 8

O dobro do produto dos meios

2 x 1 x 3 = 6

Soma do quadrados dos meios

12 + 32 = 1 + 9 = 10

Terno pitagórico derivado: 8, 6 e 10.

Sequência 1, 3, 4 e 7

Produto dos extremos

1 x 7 = 7

O dobro do produto dos meios

2 x 3 x 4 = 24

Soma do quadrados dos meios

32 + 42 = 9 + 16 = 25

Terno pitagórico primitivo: 7, 24 e 25.

Sequência 3, 4, 7, 11

Produto dos extremos

3 x 11 = 33

O dobro do produto dos meios

2 x 4 x 7 = 56

Soma do quadrados dos meios

42 + 72 = 16 + 49 = 65

Terno pitagórico primitivo: 33, 56 e 65

Sequência 4, 7, 11 e 18

Produto dos extremos

4 x 18 = 72

O dobro do produto dos meios

2 x 7 x 11 = 154

Soma do quadrados dos meios

72 + 112 = 49 + 121 = 170

Terno pitagórico derivado: 72, 154 e 170

Sequência 7, 11, 18, 29

Produto dos extremos

7 x 29 = 203

O dobro do produto dos meios

2 x 11 x 18 = 396

Soma do quadrados dos meios

112 + 182 = 121 + 324 = 445

Terno pitagórico primitivo: 203, 396 e 445.

Conclusão:

A partir de quatro números consecutivos da Sequência de Lucas é possível formar terno pitagórico.

Diferentemente dos ternos pitagóricos gerados por números de Fibonacci em que nos ternos pitagóricos aparecem números de Fibonacci sequencialmente, nos ternos pitagóricos gerados por números de Lucas não há esta regularidade.

Interessante observar que nos estudos publicados no Livro Ternos Pitagóricos e sequências numéricas, em um rol com mais de 200.000 números naturais, encontrou-se apenas 5 ternos pitagóricos primitivos utilizando progressão aritmética (sequência em que são gerados números a partir do número 1, somado-se sempre o número 1). As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos primitivos sequencialmente, mas não ternos pitagóricos derivados [3]

Aqui no exemplos expostos, em um rol com 54 termos, da Sequência de Lucas em que os números são gerados sempre somando dois números anteriores, foram gerados 5 ternos pitagóricos sequenciais.

A Sequência de Lucas não é um progressão aritmética e nem geométrica e mesmo assim possui diversas propriedades numéricas e matemáticas.

 

Autor: Ricardo Silva - julho/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] Ferreira, Rogério Augusto. Sequência de Fibonacci - Trabalho apresentado à disciplina de Pesquisa em Matemática II, do Curso de Matemática Bacharelado e Licenciatura do Centro UNIFIEO, 2007

[2] Astrolino e Silva, Bruno. Números de Fibonacci e números de Lucas. Dissertação (Mestrado de Pós Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) --Instituto de Ciências Matemáicas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2017.

[3] Silva, Ricardo José. Ternos Pitagóricos e sequências numéricas - livro digital, São Paulo, 2017.

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