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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Sequência de Fibonacci e Ternos Pitagóricos- 223

A Sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,... é formada com a repetição do número 1 duas vezes e a partir do terceiro termo soma-se com o antecessor, ela apareceu em um problema em que se desejava saber o crescimento de população de coelhos e foi publicada no livro Liber Abacci - Livro do Ábaco ou do Cálculo - (1202) de autoria de Leonardo de Pisa (1175-?), conhecido como Fibonacci.

François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático e estudioso das obras de Leonardo de Pisa foi quem popularizou os Números de Fibonacci e que através dela criou outra sequência semelhante chamada de Sequência de Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,...

Terno Pitagórico é uma sequência de três números inteiros que satisfazem o Teorema de Pitágoras, onde (a2= b2 + c2) - O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Fórmulas de Euclides para se gerar terno pitagórico:

a=m2 - n2

b=2mn

c=m2 + n2

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n (tem que ser primos entre si, into é, o mdc é igual a 1)

Observação 1: dois números consecutivos são primos entre si.

Observação 2: as Fórmulas de Euclides não geram ternos pitagóricos derivados ímpares, elas geram o dobro, do dobro, do dobro de um terno pitagórico primitivo, estudos estes publicados no livro digital Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas.

Exemplo 1)

2 e 1

a= 22 - 12 = 4 - 1 = 3

b= 2 . 2 . 1 = 4 . 1 = 4

c= 22 + 12 = 4 + 1 = 5

3, 4 e 5 é um Terno Pitagórico Primitivo.

Exemplo 2)

3 e 2

a= 32 - 22 = 9 - 4 = 5

b= 2 . 3 . 2 = 6 . 2 = 12

c= 32 + 22 = 9 + 4 = 13

5, 12 e 13 é um Terno Pitagórico Primitivo.

Números de Fibonacci e ternos pitagóricos

Entre várias propriedades matemáticas, com a Sequência de Fibonacci também são possíveis de se gerarem ternos pitagóricos.

Primeiros 54 termos da Sequência de Fibonacci.

Sequência de Fibonacci
   
Posição Números de Fibonacci
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
13 233
14 377
15 610
16 987
17 1.597
18 2584
19 4.181
20 6.765
21 10.946
22 17.711
23 28.657
24 46.368
25 75.025
26 121.393
27 196.418
28 317.811
29 514.229
30 832.040
31 1.346.269
32 2.178.309
33 3.524.578
34 5.702.887
35 9.227.465
36 14.930.352
37 24.157.817
38 39.088.169
39 63.245.986
40 102.334.155
41 165.580.141
42 267.914.296
43 433.494.437
44 701.408.733
45 1.134.903.170
46 1.836.311.903
47 2.971.215.073
48 4.807.526.976
49 7.778.742.049
50 12.586.269.025
51 20.365.011.074
52 32.951.280.099
53 53.316.291.173
54 86.267.571.272
   
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Esta propriedade foi descoberta pelo matemático Charles Raine. [1]

Escolhe-se 4 termos consecutivos da Sequência de Fibonacci:

Sequência de Fibonacci 1, 1, 2 e 3

Produtos dos extremos

1 x 3 = 3

O dobro do produto dos meios

2 x 1 x 2 = 4

Soma do quadrados dos meios

12 + 22 = 1 + 4 = 5

Terno pitagórico com Números de Fibonacci: 3, 4 e 5

Observação:

5 é o quinto número de Fibonacci.

5 é a medida da hipotenusa.

5 é um número primo.

Sequência de Fibonacci 1, 2, 3 e 5

Produto dos extremos

1 x 5 = 5

O dobro do produto dos meios

2 x 2 x 3 = 12

Soma do quadrados dos meios

22 + 32 = 4 + 9 = 13

Terno pitagórico com Números de Fibonacci: 5, 12 e 13

Observação:

13 é o sétimo número de Fibonacci.

13 é a medida da hipotenusa.

13 é um número primo.

Sequência de Fibonacci 2, 3, 5 e 8

Produto dos extremos

2 x 8 = 16

O dobro do produto dos meios

2 x 3 x 5 = 30

Soma do quadrados dos meios

32 + 52 = 9 + 25 = 34

Terno pitagórico derivado com Números de Fibonacci: 16, 30 e 34

Observação:

34 é o nono número de Fibonacci.

34 é a medida da hipotenusa.

Sequência de Fibonacci 3, 5, 8 e 13

Produto dos extremos

3 x 13 = 39

O dobro do produto dos meios

2 x 5 x 8 = 80

Soma do quadrados dos meios

52 + 82 = 25 + 64 = 89

Terno pitagórico com Números de Fibonacci: 39, 80 e 89

Observação:

89 é o décimo primeiro número de Fibonacci.

89 é a medida da hipotenusa.

89 é primo.

Sequência de Fibonacci 5, 8, 13 e 21

Produto dos extremos

5 x 21 = 105

O dobro do produto dos meios

2 x 8 x 13 = 204

Soma do quadrados dos meios

82 + 132 = 64 + 169 = 233

Terno pitagórico com Números de Fibonacci: 105, 204 e 233

Observação:

233 é o décimo terceiro número de Fibonacci.

233 é a medida da hipotenusa.

233 é primo.

Sequência de Fibonacci 8, 13, 21 e 34

Produto dos extremos

8 x 34 = 272

O dobro do produto dos meios

2 x 13 x 21 = 546

Soma do quadrados dos meios

132 + 212 = 169 + 441 = 610

Terno pitagórico com Números de Fibonacci: 272, 546 e 610

Observação:

610 é o décimo quinto número de Fibonacci.

610 é a medida da hipotenusa.

Conclusão:

A partir de quatro números consecutivos da Sequência de Fibonacci é possível formar terno pitagórico.

Os números que se referem à hipotenusa em um triângulo retângulo escaleno são números que estão em posições ímpares na Sequência de Fibonacci e entre eles números primos.

A soma dos quadrados de dois termos centrais de cada sequência tem como resultado um número de Fibonacci (hipotenusa).

A posição entre o último termo de cada sequência de 4 números e o resultado da soma dos quadrados de dois termos centrais (hipotenusa) segue um deslocamento natural.

Interessante observar que nos estudos publicados no Livro Ternos Pitagóricos e sequências numéricas, em um rol com mais de 200.000 números naturais, encontrou-se apenas 5 ternos pitagóricos primitivos utilizando progressão aritmética (sequência em que são gerados números a partir do número 1, somado-se sempre o número 1). As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos primitivos sequencialmente, mas não ternos pitagóricos derivados. [2]

Sequência de Fibonacci
e
Ternos Pitagóricos
         
4 números de        
Fibonacci hipotenusa   posição deslocamento
         
1, 1, 2, 3 5 primo 5 1 linha abaixo
1, 2, 3, 5 13 primo 7 2 linhas abaixo
2, 3, 5, 8 34   9 3 "
3, 5, 8, 13 89 primo 11 4 "
5, 8, 13, 21 233 primo 13 5 "
8,13, 21, 34 610   15 6 "
13, 21 34, 55 1597 primo 17 7 "
21, 34, 55, 89 4181   19 8 "
34, 55, 89, 144 10946   21 9 "
55, 89, 144, 233 28657 primo 23 10 "
         
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Autor: Ricardo Silva - julho/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] Ferreira, Rogério Augusto. Sequência de Fibonacci - Trabalho apresentado à disciplina de Pesquisa em Matemática II, do Curso de Matemática Bacharelado e Licenciatura do Centro UNIFIEO, 2007

[2] Silva, Ricardo José. Ternos Pitagóricos e sequências numéricas - livro digital, São Paulo, 2017.

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