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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Sequência de Fibonacci e Ternos Pitagóricos- 223

A Sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,... é formada com a repetição do número 1 duas vezes e a partir do terceiro termo soma-se com o antecessor, ela apareceu em um problema em que se desejava saber o crescimento de população de coelhos e foi publicada no livro Liber Abacci - Livro do Ábaco ou do Cálculo - (1202) de autoria de Leonardo de Pisa (1175-?), conhecido como Fibonacci.

François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático e estudioso das obras de Leonardo de Pisa foi quem popularizou os Números de Fibonacci e que através dela criou outra sequência semelhante chamada de Sequência de Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,...

Terno Pitagórico é uma sequência de três números inteiros que satisfazem o Teorema de Pitágoras, onde (a2= b2 + c2) - O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Fórmulas de Euclides para se gerar terno pitagórico:

a=m2 - n2

b=2mn

c=m2 + n2

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n (tem que ser primos entre si, into é, o mdc é igual a 1)

Observação: dois números consecutivos são primos entre si.

Exemplo 1)

2 e 1

a= 22 - 12 = 4 - 1 = 3

b= 2 . 2 . 1 = 4 . 1 = 4

c= 22 + 12 = 4 + 1 = 5

3, 4 e 5 é um Terno Pitagórico Primitivo.

Exemplo 2)

3 e 2

a= 32 - 22 = 9 - 4 = 5

b= 2 . 3 . 2 = 6 . 2 = 12

c= 32 + 22 = 9 + 4 = 13

5, 12 e 13 é um Terno Pitagórico Primitivo.

Números de Fibonacci e ternos pitagóricos

Entre várias propriedades matemáticas, com a Sequência de Fibonacci também são possíveis de se gerarem ternos pitagóricos.

Primeiros 54 termos da Sequência de Fibonacci.

Sequência de Fibonacci
   
Posição
Números de Fibonacci
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
7
13
8
21
9
34
10
55
11
89
12
144
13
233
14
377
15
610
16
987
17
1.597
18
2584
19
4.181
20
6.765
21
10.946
22
17.711
23
28.657
24
46.368
25
75.025
26
121.393
27
196.418
28
317.811
29
514.229
30
832.040
31
1.346.269
32
2.178.309
33
3.524.578
34
5.702.887
35
9.227.465
36
14.930.352
37
24.157.817
38
39.088.169
39
63.245.986
40
102.334.155
41
165.580.141
42
267.914.296
43
433.494.437
44
701.408.733
45
1.134.903.170
46
1.836.311.903
47
2.971.215.073
48
4.807.526.976
49
7.778.742.049
50
12.586.269.025
51
20.365.011.074
52
32.951.280.099
53
53.316.291.173
54
86.267.571.272

Esta propriedade foi descoberta pelo matemático Charles Raine. [1]

Escolhe-se 4 termos consecutivos da Sequência de Fibonacci:

Sequência 1, 1, 2 e 3

Produtos dos extremos

1 x 3 = 3

O dobro do produto dos meios

2 x 1 x 2 = 4

Soma do quadrados dos meios

12 + 22 = 1 + 4 = 5

Terno pitagórico com Números de Fibonacci: 3, 4 e 5

Observação:

5 é o quinto número de Fibonacci.

5 é a medida da hipotenusa.

5 é um número primo.

Sequência 1, 2, 3 e 5

Produto dos extremos

1 x 5 = 5

O dobro do produto dos meios

2 x 2 x 3 = 12

Soma do quadrados dos meios

22 + 32 = 4 + 9 = 13

Terno pitagórico com Números de Fibonacci: 5, 12 e 13

Observação:

13 é o sétimo número de Fibonacci.

13 é a medida da hipotenusa.

13 é um número primo.

Sequência 2, 3, 5 e 8

Produto dos extremos

2 x 8 = 16

O dobro do produto dos meios

2 x 3 x 5 = 30

Soma do quadrados dos meios

32 + 52 = 9 + 25 = 34

Terno pitagórico derivado com Números de Fibonacci: 16, 30 e 34

Observação:

34 é o nono número de Fibonacci.

34 é a medida da hipotenusa.

Sequência 3, 5, 8 e 13

Produto dos extremos

3 x 13 = 39

O dobro do produto dos meios

2 x 5 x 8 = 80

Soma do quadrados dos meios

52 + 82 = 25 + 64 = 89

Terno pitagórico com Números de Fibonacci: 39, 80 e 89

Observação:

89 é o décimo primeiro número de Fibonacci.

89 é a medida da hipotenusa.

89 é primo.

Sequência 5, 8, 13 e 21

Produto dos extremos

5 x 21 = 105

O dobro do produto dos meios

2 x 8 x 13 = 204

Soma do quadrados dos meios

82 + 132 = 64 + 169 = 233

Terno pitagórico com Números de Fibonacci: 105, 204 e 233

Observação:

233 é o décimo terceiro número de Fibonacci.

233 é a medida da hipotenusa.

233 é primo.

Sequência 8, 13, 21 e 34

Produto dos extremos

8 x 34 = 272

O dobro do produto dos meios

2 x 13 x 21 = 546

Soma do quadrados dos meios

132 + 212 = 169 + 441 = 610

Terno pitagórico com Números de Fibonacci: 272, 546 e 610

Observação:

610 é o décimo quinto número de Fibonacci.

610 é a medida da hipotenusa.

Conclusão:

A partir de quatro números consecutivos da Sequência de Fibonacci é possível formar terno pitagórico.

Os números que se referem à hipotenusa em um triângulo retângulo escaleno são números que estão em posições ímpares na Sequência de Fibonacci e entre eles números primos.

A soma dos quadrados de dois termos centrais de cada sequência tem como resultado um número de Fibonacci (hipotenusa).

A posição entre o último termo de cada sequência de 4 números e o resultado da soma dos quadrados de dois termos centrais (hipotenusa) segue um deslocamento natural.

Interessante observar que nos estudos publicados no Livro Ternos Pitagóricos e sequências numéricas, em um rol com mais de 200.000 números naturais, encontrou-se apenas 5 ternos pitagóricos primitivos utilizando progressão aritmética (sequência em que são gerados números a partir do número 1, somado-se sempre o número 1). As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos primitivos sequencialmente, mas não ternos pitagóricos derivados. [2]

         
4 números de        
Fibonacci hipotenusa   posição deslocamento
         
1, 1, 2, 3 5 primo 5 1 linha abaixo
1, 2, 3, 5 13 primo 7 2 linhas abaixo
2, 3, 5, 8 34   9 3 "
3, 5, 8, 13 89 primo 11 4 "
5, 8, 13, 21 233 primo 13 5 "
8,13, 21, 34 610   15 6 "
13, 21 34, 55 1597 primo 17 7 "
21, 34, 55, 89 4181   19 8 "
34, 55, 89, 144 10946   21 9 "
55, 89, 144, 233 28657 primo 23 10 "

 

Autor: Ricardo Silva - julho/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] Ferreira, Rogério Augusto. Sequência de Fibonacci - Trabalho apresentado à disciplina de Pesquisa em Matemática II, do Curso de Matemática Bacharelado e Licenciatura do Centro UNIFIEO, 2007

[2] Silva, Ricardo José. Ternos Pitagóricos e sequências numéricas - livro digital, São Paulo, 2017.

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