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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Sequência de Fibonacci e regularidades numéricas - 221

A Sequência de Fibonacci é formada repetindo-se o número 1 duas vezes e após o terceiro elemento, somando-se dois números anteriores.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,...

A razão entre um termo posterior e anterior a partir do termo 5 tem como resultado aproximado o número de ouro: 1,6.

5 :3 = 1,66

8 : 5 = 1,6

13 : 8 = 1,625

21 : 13 = 1,615

Número que representava para os antigos gregos: equilíbrio, harmonia e beleza.

A razão áurea, secão dourada, número de ouro, bem como a Sequência de Fibonacci aparecem em vários elementos da natureza como a fauna, a flora, geometria e matemática.

A tabela abaixo apresenta as dimensões de retângulos, a área e o perímetro relacionados a cada dois pares de números consecutivos de números da Sequência de Fibonacci.

Nesta demonstração constata-se que também há regularidades numéricas entre a Sequência de Fibonacci relacionada a áreas e perímetros.

Números de Fibonacci e áreas retângulares

A diferença entre duas áreas retângulares formadas com números de Fibonacci tem como resultado um número quadrado perfeito.

Regularidades numéricas na
Sequência de Fibonnaci
       
Largura Comprimento área perímetro
(cm) (cm) (cm2)  
1 2 2 6
Diferença   4
2 3 6 10
Diferença   9
3 5 15 16
Diferença   25
5 8 40 26
Diferença   64
8 13 104 42
Diferença   169
13 21 273 68
Diferença   441
21 34 714 110
Diferença   1156
34 55 1870 178
Diferença   3025
55 89 4895 288
Diferença   7921
89 144 12816 466
       
       
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Números de Fibonacci e números quadrados perfeitos

Números de Fibonacci elevado ao quadrado e posteriormente dividindo-se um número quadrado posterior com um número quadrado anterior tem como razão aproximada de 2,6 a partir do quadrado 169 de raiz 13.

Números de Fibonacci
e números quadrados perfeitos
   
Número de Fibonacci Número quadrado Razão
   
1 1
2 4 4
3 9 2,25
5 25 2,777778
8 64 2,56
13 169 2,640625
21 441 2,609467
34 1156 2,621315
55 3025 2,616782
89 7921 2,618512
144 20736 2,617851
233 54289 2,618104
377 142129 2,618007
610 372100 2,618044
987 974169 2,61803
1597 2550409 2,618035
2584 6677056 2,618033
4181 17480761 2,618034
6765 45765225 2,618034
10946 119814916 2,618034
     
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Números de Fibonacci e perímetro de retângulo

O perímetro de área retângular formados por Números de Fibonacci tem como resultado o dobro de um número de Fibonacci.

Exemplo a)

6 é o dobro de 3

3 é um número de Fibonacci

Exemplo b)

10 é o dobro de 5

5 é um número de Fibonacci

Exemplo c)

16 é o dobro de 8

8 é um número de Fibonacci

Regularidades numéricas na
Sequência de Fibonacci
       
Largura Comprimento área perímetro
(cm) (cm) (cm2)  
1 2 2 6
Diferença   4 1,6
2 3 6 10
Diferença   9 1,6
3 5 15 16
Diferença   25 1,6
5 8 40 26
Diferença   64 1,6
8 13 104 42
Diferença   169 1,6
13 21 273 68
Diferença   441 1,6
21 34 714 110
Diferença   1156 1,6
34 55 1870 178
Diferença   3025 1,6
55 89 4895 288
Diferença   7921 1,6
89 144 12816 466
       
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A soma de dois perímetros consecutivos tem como resultado outro perímetro, seguindo a lei de formação da Sequência de Fibonacci.

Exemplo a)

6 + 10 = 16

10 + 16 = 26

16 + 26 = 42

A razão entre dois perímetros consecutivos tem como resultado aproximado 1,6.

10 : 6 = 1,6

16 : 10 = 1,6

26 : 16 = 1,6

Autor: Ricardo Silva - julho/2019

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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